新教材数学北师大版（2019）必修第二册课件：1-1 周期变化 课件（69张） 69页

第一章　三 角 函 数 §1　周 期 变 化 必备知识·自主学习 1.周期现象 (1)以相同_____重复出现的变化叫作周期现象. (2)要判断一种现象是否为周期现象,关键是看每隔相同间隔,这种变化是否会 _________,若重复出现,则为周期现象;否则不是周期现象. 导 思 1.所有的函数都是周期函数吗? 2.周期函数都有最小正周期吗? 间隔 重复出现 【思考】 2020年7月6日再过200天是星期几? 提示:2020年7月6日是星期一,由200=28×7+4知自2020年7月6日再过200天是星 期五. 2.周期函数 (1)一般地,对于函数y=f(x),x∈D,如果存在一个非零常数T,使得对于任意的 x∈D,都有_______且满足f(x+T)=_____,那么函数y=f(x),x∈D称作周期函数, 非零常数T称作这个函数的周期. (2)如果在周期函数y=f(x),x∈D的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个 最小正数就称作函数y=f(x),x∈D的最小正周期.如果不加特别说明,本书所指 周期均为函数的最小正周期. x+T∈D f(x) 【思考】 周期函数的周期是否只有一个? 提示:不是,例如函数f(x)=x-[x]的周期就不止一个. 【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)钟表的秒针的运动是周期现象. (　　) (2)某交通路口每次绿灯通过的车辆数是周期现象. (　　) (3)函数f(x)=x,x∈N是周期函数. (　　) 提示:(1)√.秒针每分钟转一圈,它的运动是周期现象. (2)×.虽然每次绿灯经过相同的时间间隔重复变化,但每次绿灯经过的车辆数 不一定相同,故不是周期现象. (3)×.因为f(x+T)≠f(x),所以不是周期函数. 2.观察“2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7,…”寻找规律,则第25个数字是______.  【解析】观察可知2,0,1,7每隔四个数字重复出现一次,具有周期性,故第25个 数字为2. 答案:2 3.(教材二次开发:例题改编)讨论函数f(x)=8·(-1)n+1,n∈N*是否为周期函数, 如果是,请指出它的周期. 【解析】当n∈N*时,该函数的取值为8,-8,8,-8,…可见它是周期函数,且周期 T=2. 关键能力·合作学习 类型一　生活中的周期现象(直观想象) 【题组训练】 1.我国农历用鼠牛虎兔龙蛇马羊猴鸡狗猪这12种动物按顺序轮流代表各年的年 号,2016年是猴年,那么1949年是(　　)　　　 A.牛年 B.虎年 C.兔年 D.龙年 【解析】选A.2016-1949=67,67÷12=5……7,从猴年往前数第7个即可,也就是 牛年. 2.如果今天是星期五,则58天后的那一天是星期 (　　) A.五　 B.六 C.日 D.一 【解析】选C.因为每星期含有7天,而58=7×8+2,即58天后是过去8个星期后第2 天,即星期日. 3.受日月的引力,海水会发生涨落,这种现象叫做潮汐.已知某海滨浴场的海浪 高度y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记作y=f(t),下表是某日各时的 浪高数据: t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 根据规定,当海浪高度不低于1米时才对冲浪爱好者开放,判断一天内对冲浪爱 好者能开放几次?时间最长的一次是什么时候?有多长时间? 【解析】由题中表可知,潮汐呈周期性变化,所以一天内能开放三次,时间最长 的一次是上午9时至下午3时,共6个小时. 【解题策略】 判断生活问题的周期现象的依据是周期变化的特征,即每次都以相同的间隔(比 如时间间隔或长度间隔)出现,且现象是无差别的重复出现. 类型二　周期函数(数学抽象) 角度1 利用函数图象判断  【典例】下列是定义在R上的四个函数图象的一部分,其中不是周期函数的是 (　 　) 【思路导引】观察对任意一个实数x,每变化多少,函数值保持不变,观察这种变 化是否是重复进行的. 【解析】选D.结合周期函数的定义可知,A,B,C均为周期函数,D不是周期函数. 【变式探究】 在如图所示的y=f(x)的图象中,若f(0.005)=3,则f(0.025)=______.  【解析】由图象知周期为0.02, 所以f(0.025)=f(0.005+0.02)=f(0.005)=3. 答案:3 　角度2　利用周期定义判断  【典例】已知定义在N上的函数f(n)满足:f(n+2)=f(n+1)-f(n). (1)求证:f(n)是周期函数,并求出其周期; (2)若f(1)=1,f(2)=3,求f(2 012)的值. 【思路导引】(1)利用周期函数的定义和已知条件证明周期即可;(2)根据周期 函数的定义得f(2012)=f(2),即可得出答案. 【解析】(1)因为f(n+2)=f(n+1)-f(n), 所以f(n+3)=f(n+2)-f(n+1) = -f(n+1)=-f(n), 所以f(n+6)=-f(n+3)=- =f(n). 所以f(n)是周期函数,周期为6. (2)因为f(n)是周期为6的函数,且f(1)=1,f(2)=3, 所以f(2 012)=f(335×6+2)=f(2)=3.    [f n 1 f n ]   [ f n ] 【解题策略】 1.观察函数图象判断周期性,关键是观察图象是否是周而复始重复出现. 2.用定义法判断周期性,关键是证明对于任意的x∈D,都有x+T∈D且满足 f(x+T)=f(x). 【题组训练】 1.如图是一向右传播的光波在某一时刻各点的位置图,经过 周期后,甲点和乙 点的位置将分别移到________点和________点.  答案:丁　戊 3 4 2.如图是一个单摆振动的函数图象,根据图象,回答下面问题: (1)单摆的振动函数图象是周期变化吗? (2)若是周期变化,其振动的周期是多少? (3)单摆离开平衡位置的最大距离是多少? 【解析】(1)观察图象可知,图象从t=0.8 s开始重复,所以单摆的振动是周期变 化; (2)振动的周期为0.8 s; (3)由图象知最高点和最低点偏离t轴的距离相等且等于0.5 cm,所以单摆离开 平衡位置的最大距离是0.5 cm. 3.根据周期性的定义,请回答以下问题: (1)函数f(x)=x2满足f(-3+6)=f(-3),这个函数是不是以6为周期的周期函数? (2)函数f(x)= 是周期函数,且f =f(0),为什么 不是它的周期? [x]1 1(0 )2  1 2 【解析】(1)不是.因为f(x+6)=(x+6)2=f(x)不恒成立,所以f(x)不是以6为周期 的周期函数; (2)因为当x= 时,f =(-1)0=1,f =f(1)=(-1)1=-1, 所以 所以 不是它的周期. 1 2 1( )2 1 1( )2 2  1 1 1f ( ) f( ),2 2 2   1 2 类型三　周期函数的应用(数学抽象、逻辑推理) 【典例】已知f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[0,1]时,f(x)=4x-1,则 f(4.5)的值为(　　)　　　　　　　　　 A.2 B.-1 C.- D.11 2 【思路导引】先利用函数的周期转化,f(4.5)=f(0.5),代入即可. 【解析】选D.因为f(x)的周期为2,所以f(4.5)= f(0.5);又因为当x∈[0,1]时,f(x)=4x-1, 所以f(4.5)=f(0.5)=40.5-1=1. 【解题策略】 确定好周期函数中重复出现的“最小正周期”,就可以把问题转化到一个周期 内来解决. 【跟踪训练】 　已知函数f(x)对任意实数x都满足f(x+1)=-f(x),若f(1)=1,则f(10)= (　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 【解析】选A.由f(x+1)=-f(x)可得f(x+2)=-f(x+1),据此可得f(x)=f(x+2),即 函数f(x)是周期为2的函数,且f(2)=-f(1)=-1,据此可知f(10)=f(10-2×4) =f(2)=-1. 【拓展延伸】 具有周期性的抽象函数: 函数y=f(x),定义域内任一实数x(其中a为常数), ①f(x)=f(x+a),则y=f(x)是以T=a为周期的周期函数; ②f(x+a)=-f(x),则y=f(x)是以T=2a为周期的周期函数; ③f(x+a)=± ,则y=f(x)是以T=2a为周期的周期函数; ④f(x+a)=f(x-a),则y=f(x)是以T=2a为周期的周期函数.   1 f x 【拓展训练】 已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(2+x)=f(-x),若f(1)=4,则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)=________.  【解题指南】由题意首先确定函数的周期,然后结合函数的关系式求解函数值 即可. 【解析】因为f(x)是奇函数且f(2+x)=f(-x), 所以f(4+x)=-f(x+2)=f(x), 即函数f(x)是周期为4的周期函数, 因为f(1)=4所以f(2)=f(0)=0, f(3)=f(-1)=-f(1)=-4, f(4)=f(0)=0 , 所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8) =4+0-4+0+4+0-4+0=0. 答案:0 1.下列是周期现象的为 (　　)　　　　　　 ①某交通路口的红绿灯每30秒转换一次; ②某超市每天的营业额; ③某地每年6月份的平均降雨量. A.①③ B.②③ C.① D.①② 【解析】选C.①是周期现象;②中每天的营业额是随机的,不是周期现象;③中 每年6月份的降雨量也是随机的,不是周期现象. 课堂检测·素养达标 2.把 化成小数,小数点后第20位是 (　　) A.1　 B.2 C.4 D.8 【解析】选C. =0. 42 85 ,小数点后“142857”呈周期性变化且周期为6. 因为20=3×6+2,所以第20位为4. 1 7 1 7 1  7  3.把一批小球按2个红色,5个白色的顺序排列,第30个小球是______色. 【解析】周期为7,30=4×7+2,所以第30个小球与第2个小球颜色相同,为红色. 答案:红 4.设函数f(x)是以2为最小正周期的周期函数,且x∈[0,2]时,f(x)=(x-1)2, 则f =______. 7( )2 【解题指南】根据f(x)是以2为最小正周期的周期函数,将f 整理成 又因为 ∈[0,2],则根据f(x)=(x-1)2求解即可. 【解析】因为f(x)是以2为最小正周期的周期函数,所以 又因为x∈[0,2]时,f(x)=(x-1)2,所以 答案: 7( )2 3 3f( 2) f( ),2 2   3 2 7 3 3f ( ) f ( 2) f ( ),2 2 2    27 3 3 1f ( ) f ( ) ( 1) .2 2 2 4     1 4 5.(教材二次开发:练习改编)已知周期函数y=f(x)的图象如图所示, (1)求函数的周期; (2)画出函数y=f(x+1)的图象. 【解题指南】(1)根据周期定义结合图象求得结果; (2)把y=f(x)向左平移一个单位长度得y=f(x+1)的图象. 【解析】(1)T=2. (2)把y=f(x)向左平移一个单位长度得y=f(x+1)的图象,即如图所示. 一　周 期 变 化 【基础通关-水平一】(15分钟　30分) 1.下列现象是周期现象的是 (　　) ①日出日落;②潮汐;③海啸;④地震. A.①② B.①②③ C.①②④ D.③④ 【解析】选A.日出日落是周期现象;潮汐是周期现象;海啸、地震不是周期现象. 课时素养评价 2.如图所示的是一个单摆,让摆球从A点开始摆,最后又回到A点,单摆所经历的 时间是一个周期T,则摆球在O →B→O→A→O的运动过程中,经历的时间是 (　　) A.2T B.T C. D. 3T 4 T 2 【解析】选B.整个运动恰好是一个周期,所以运动的时间是T. 3.2019年,小明17岁了,与小明属相相同的老师的年龄可能是 (　　) A.26 B.32 C.36 D.41 【解析】选D.由十二生肖知,属相是12年循环一次. 4.定义域为R的偶函数f(x)为周期函数,其周期为8,当x∈[-4,0]时f(x)=x+1, 则f(25)=________. 【解题指南】利用函数y=f(x)的周期和奇偶性可得出f(25)=f(1)=f(-1),进而 得解. 【解析】由于函数f(x)是R上周期为8的偶函数,且当x∈[-4,0]时,f(x)=x+1, 因此,f(25)=f(1)=f(-1)=-1+1=0. 答案:0 5.水车上装有16个盛水槽,每个盛水槽最多盛水10升,假设水车5分钟转一圈, 计算1小时内最多盛水多少升? 【解析】因为1小时=60分钟=12×5分钟,且水车5分钟转一圈,所以1小时内水 车转12圈.又因为水车上装有16个盛水槽,每个盛水槽最多盛水10升,所以每转 一圈,最多盛水16×10=160(升),所以水车1小时内最多盛水160×12= 1 920(升). 【能力进阶-水平二】 (20分钟　40分) 一、单选题(每小题5分,共15分) 1.钟表分针的运动是一个周期现象,其周期为60分钟,现在分针恰好指在2点处, 则100分钟后分针指在 (　　) A.8点处 B.10点处 C.11点处 D.12点处 【解析】选B.由于100=1×60+40,所以100分钟后分针所指位置与40分钟后分 针所指位置相同,现在分针恰好指在2点处,经过40分钟后分针应指在10点处. 2.探索图所呈现的规律,判断2 018至2 020箭头的方向是 (　　) 【解析】选C.观察图可知每增加4个数字就重复相同的位置,则2 018至2 020 箭头的方向与2至4箭头的方向是相同的. 3.对任意实数x,[x]表示不超过x的最大整数,如[3.6]=3,[-3.4]=-4,关于函数 f(x)= ,有下列命题:①f(x)是周期函数;②f(x)是偶函数;③函数 f(x)的值域为{0,1},其中正确的命题为 (　　) A.①③ B.② C.①②③ D.①② x 1 x[ [ ]]3 3   【解析】选A.因为f(x+3)= =f(x),所以f(x)是 周期函数,3是它的一个周期,故①正确. f(x)= 结合函数的周期性可得函数的值域为{0,1}, 则函数不是偶函数,故②错误. x 4 x+3 x 1 x[ [ ]] [ 1 [ 1]]3 3 3 3       0,x 0,2)x 1 x[ [ ]]3 3 1,x 2,3),      ［ ［ 二、多选题(共5分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分) 4.已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件f(x+2)=-f(x),且函数y=f(x-1)为奇 函数,则下列结论正确的是 (　　) A.函数y=f(x)是周期函数 B.函数y=f(x)的图象关于点(-1,0)对称 C.函数y=f(x)为R上的偶函数 D.函数y=f(x)为R上的单调函数 【解题指南】利用f(x+2)=-f(x)可以判断函数y=f(x)的周期性,利用y=f(x-1) 为奇函数可以判断函数y=f(x)的对称性和奇偶性,最后选出正确答案. 【解析】选ABC.因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即T=4,故A正 确;因为函数y=f(x-1)为奇函数,所以函数y=f(x-1)图象关于原点对称,所以B 正确;又函数y=f(x-1)为奇函数,所以f(-x-1)=-f(x-1),根据f(x+2)=-f(x),有 f(x+1)=-f(x-1),所以f(x+1)=f(-x-1),有f(-x)=f(x),即函数f(x)为R上的偶 函数,C正确; 因为函数y=f(x-1)为奇函数,所以f(-1)=0,又函数f(x)为R上的偶函数,f(1)=0, 所以函数不单调,D不正确. 三、填空题(每小题5分,共10分) 5.已知函数f(x)的定义域为R,且对任意x1,x2∈R都有f(x1+x2)=100f(x1)f(x2), 则下列结论一定正确的是________. (1)f(x)是偶函数;(2)f(x)是周期函数; (3)存在常数k,对任意x∈R,都有f(x+1)=kf(x); (4)对任意m∈R,存在x0∈R,使得f(x0)=m. 【解题指南】取f(x)=10x-2,说明(1),(2),(4)不正确;在f(x1+x2)=100f(x1)f(x2) 中,令x1=x,x2=1,分析可得存在常数k=100f(1)满足题意,所以(3)正确. 【解析】取f(x)=10x-2,则对任意x1,x2∈R有f(x1+x2)= , 100f(x1)f(x2)= 所以f(x1+x2)=100f(x1)f(x2),所以f(x)=10x-2满足题意.对于(1),由于 f(x)=10x-2不是偶函数,所以(1)不正确.对于(2),由于f(x)=10x-2不是周期函数, 所以(2)不正确. 1 2x x 210   1 2 1 2 1 2x 2 x 2 x x 4 x x 2100 10 10 100 10 10          ， 对于(4),由于f(x)=10x-2>0,所以当m≤0时,不存在x0∈R,使得f(x0)=m成立,所 以(4)不正确.对于(3),在f(x1+x2)=100f(x1)f(x2)中,令x1=x,x2=1,得 f(x+1)=100f(1)f(x),令k=100f(1), 则f(x+1)=kf(x),所以存在常数k=100f(1),对任意x∈R,都有f(x+1)=kf(x),所 以(3)正确. 答案:(3) 6.如图所示的弹簧振子在A,B之间做简谐运动,振子向右运动时,先后以相同的 速度通过M,N两点,经历的时间为t1=1 s,过N点后,再经过t2=1 s第一次反向通 过N点,振子在这2 s内共通过了8 cm的路程,则振子的振动周期T=______s. 【解析】设振子的振动周期为T,则振子由平衡位置O运动到B的时间为 ,而 振子以相同的速度通过M,N的时间为t1=1 s,则O到N的时间为 ,又向右经N— B—N的时间为t2=1,则N到B的时间为 ,所以 所以T=4. 答案:4 【误区警示】本题容易把N—B的时间当作半个周期. T 4 1t 2 2t 2 1 2t tT 1 1 14 2 2 2 2 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ， 四、解答题 7.(10分)游乐场中的摩天轮匀速旋转,每转一圈需要12分钟,其中心O距离地面 40.5米,半径40米.如果你从最低处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间 的变化而变化,以你登上摩天轮的时刻开始计时,请解答下列问题: (1)你与地面的距离随时间的变化而变化,这个现象是周期现象吗? (2)转四圈需要多少时间? (3)你第四次距地面最高需要多少时间? (4)转60分钟时,你距离地面是多少? 【解析】(1)是周期现象. (2)转四圈需要时间为4×12=48(分钟). (3)第1次距离地面最高需 =6(分钟),而周期是12分钟,所以第四次距地面 最高需12×3+6=42(分钟). (4)因为60÷12=5,所以转60分钟时你距离地面与开始时刻距离地面相同, 即40.5-40=0.5(米). 12 2 【补偿训练】 1.设f(x)是定义域为R的函数,对任意x∈R,都满足f(x+1)=f(x-1), f(1-x)=f(1+x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x2-2x. (1)请指出f(x)在区间[-1,1]上的奇偶性、单调区间、零点; (2)试证明f(x)是周期函数,并求其在区间[2k-1,2k](k∈Z)上的解析式. 【解题指南】根据f(x+1)=f(x-1),f(1-x)=f(1+x)可推出函数为偶函数,由 f(x+1)=f(x-1)可推出周期为2,根据周期及奇偶性可求出函数在[2k-1,2k]上 的解析式. 【解析】(1)因为f(x+1)=f(x-1),f(1-x)=f(1+x),所以f(x-1)=f(1-x), 所以f(-x)=f(x),所以函数f(x)为定义域R上的偶函数, 故f(x)在区间[-1,1]上是偶函数,[0,1]是递减区间,[-1,0]是递增区间,零点 是0. (2)因为f(x+1)=f(x-1),所以f(x)=f(x-2), 故函数是周期为2的周期函数. 设x∈[2k-1,2k],则x-2k∈[-1,0],-(x-2k)∈[0,1],所以f[-(x-2k)]= (x-2k)2+2(x-2k), 又函数是偶函数,且周期为2, 所以f[-(x-2k)]=f(x-2k)=f(x), 故f(x)=(x-2k)2+2(x-2k),x∈[2k-1,2k],k∈Z. 2.已知函数f(x)(x∈D),若存在常数T(T>0),对任意x∈D都有f(x+T)=T·f(x), 则称函数f(x)为T倍周期函数. (1)判断h(x)=x是否是T倍周期函数,并说明理由; (2)证明g(x)= 是T倍周期函数,且T的值是唯一的.x1( )4 【解析】(1) 设h(x+T)=T·h(x), 则x+T=T·x对任意x恒成立, 因为T无解,所以 h(x)=x 不是T倍周期函数. (2) 设g(x+T)=T·g(x), 则 =T· 对任意x恒成立, 即 =T,可得 T= , x T1( )4  x1( )4 T1( )4 1 2 下证唯一性:若 矛盾; 若 矛盾, 所以 T= 是唯一的. 1 T 21 1 1 1T ,T ( ) ( ) ,2 4 4 2     1 T 21 1 1 1T ,T ( ) ( ) ,2 4 4 2     1 2