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- 2021-06-16 发布
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第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：dr⇔相离．
(2)代数法：联立直线l与圆C的方程，消去y(或x)，得一元二次方程，计算判别式Δ＝b2－4ac，Δ>0⇔相交，Δ＝0⇔相切，Δ<0⇔相离．
2．圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0).
方法
位置关系
几何法：圆心距d与r1，r
2的关系
代数法：联立两个圆的方程
组成方程组的解的情况
相离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r2－r1|0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
B [法一：由得两交点为(0,0)，(－a，a)．
∵圆M截直线所得线段长度为2，
∴＝2.又a>0，∴a＝2.
∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0,2)，半径r1＝2.
又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心N(1,1)，半径r2＝1，
∴|MN|＝＝.
∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1<|MN|<3，∴两圆相交．
法二：∵x2＋y2－2ay＝0(a>0)⇔x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，
∴M(0，a)，r1＝a.
∵圆M截直线x＋y＝0所得线段的长度为2，∴圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝＝，解得a＝2.
以下同法一．]
[规律方法] 1.圆与圆的位置关系取决于圆心距与两个半径的和与差的大小关系．
2．若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
3．若两圆相交，则两圆的连心线垂直平分公共弦．
[变式训练2] 若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是__________．
4 [由题意⊙O1与⊙O在A处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，
∴O1A⊥OA.
又∵|OA|＝，|O1A|＝2，
∴|OO1|＝5.
又A，B关于OO1对称，
∴AB为Rt△OAO1斜边上高的2倍．
又∵·OA·O1A＝OO1·AC，得AC＝2.
∴AB＝4.]
直线与圆的综合问题
如图841，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．
图841
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程．
[解] 圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，
所以圆心M(6,7)，半径为5.2分
(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．
因为圆N与x轴相切，与圆M外切，
所以01，圆心到直线的距离d＝<1，故直线与圆相交．]
2．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )
A．21 B．19
C．9 D．－11
C [圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝(m<25)．从而|C1C2|＝＝5.
两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋＝5，解得m＝9.]
3．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是( )
A．－2 B．－4
C．－6 D．－8
B [由x2＋y2＋2x－2y＋a＝0，
得(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，
所以圆心坐标为(－1,1)，半径r＝，
圆心到直线x＋y＋2＝0的距离为＝，
所以22＋()2＝2－a，解得a＝－4.]
4．(2017·浙江金丽衢十二校模拟)过点P(4,2)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则△OAB外接圆的方程是( )
【导学号：51062276】
A．(x－2)2＋(y－1)2＝5
B．(x－4)2＋(y－2)2＝20
C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5
D．(x＋4)2＋(y＋2)2＝20
A [由题意知，O，A，B，P四点共圆，所以所求圆的圆心为线段OP的中点(2,1)．
又圆的半径r＝|OP|＝，
所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.]
5．(2017·杭州二中三模)已知圆C：(x－1)2＋y2＝25，则过点P(2，－1)的圆C的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( )
A．10 B．9
C．10 D．9
C [易知最长弦为圆的直径10.又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC|＝，∴最短弦的长为2＝2＝2.故所求四边形的面积S＝×10×2＝10]．
二、填空题
6．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为________________．
x＋y－3＝0 [∵圆C1的圆心C1(3,0)，圆C2的圆心C2(0,3)，∴直线C1C2的方程为x＋y－3＝0，
AB的中垂线即直线C1C2，故其方程为x＋y－3＝0.]
7．若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝__________.
2 [如图，过点O作OD⊥AB于点D，则
|OD|＝＝1.
∵∠AOB＝120°，OA＝OB，
∴∠OBD＝30°，
∴|OB|＝2|OD|＝2，即r＝2.]
8．(2017·浙江金华十校联考)已知圆C：(x＋2)2＋y2＝4，直线l：kx－y－2k＝0(k∈R)，若直线l与圆C恒有公共点，则实数k的最小值是__________.
【导学号：51062277】
－ [圆心C(－2,0)，半径r＝2.
又圆C与直线l恒有公共点．
所以圆心C(－2,0)到直线l的距离d≤r.
因此≤2，解得－≤k≤.
所以实数k的最小值为－.]
三、解答题
9．已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点A(3,5)．
(1)求过点A的圆的切线方程；
(2)O点是坐标原点，连接OA，OC，求△AOC的面积S.
[解] (1)由圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，
得(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆心C(2,3)．当斜率存在时，设过点A的圆的切线方程为y－5＝k(x－3)，
即kx－y＋5－3k＝0.3分
由d＝＝1，得k＝.
又斜率不存在时直线x＝3也与圆相切，
故所求切线方程为x＝3或3x－4y＋11＝0.6分
(2)直线OA的方程为y＝x，即5x－3y＝0，
又点C到OA的距离d＝＝.12分
又|OA|＝＝.
所以S＝|OA|d＝.15分
10．(2017·宁波镇海中学模拟)已知定点M(0,2)，N(－2,0)，直线l：kx－y－2k＋2＝0(k为常数)．
(1)若点M，N到直线l的距离相等，求实数k的值；
(2)对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，求实数k的取值范围．
[解] (1)∵点M，N到直线l的距离相等，
∴l∥MN或l过MN的中点．
∵M(0,2)，N(－2,0)，∴直线MN的斜率kMN＝1，
MN的中点坐标为C(－1,1).3分
又∵直线l：kx－y－2k＋2＝0过定点D(2,2)，
∴当l∥MN时，k＝kMN＝1；
当l过MN的中点时，k＝kCD＝.
综上可知，k的值为1或.6分
(2)∵对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，
∴l与以MN为直径的圆相离，即圆心(－1,1)到直线l的距离大于半径，10分
∴d＝>，解得k<－或k>1.15分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．若圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)内切，则ab的最大值为( )
A. B．2
C．4 D．2
B [圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)．
化为(x－a)2＋y2＝9，圆心坐标为(a,0)，半径为3.
圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)，化为x2＋(y＋b)2＝1，圆心坐标为(0，－b)，半径为1.
∵圆C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)内切，
∴＝3－1，即a2＋b2＝4，ab≤(a2＋b2)＝2.
∴ab的最大值为2.]
2．(2017·杭州质检)过点P(1，)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则·＝__________. 【导学号：51062278】
[如图所示，可知OA⊥AP，OB⊥BP，OP＝＝2.
又OA＝OB＝1，可以求得AP＝BP＝，∠APB＝60°.
故·＝××cos 60°＝.]
3．已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝4，点O是坐标原点，直线l：y＝kx与圆C交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比为的两段弧？
若能，求出直线l的方程；若不能，请说明理由．
[解] (1)将y＝kx代入圆C的方程x2＋(y－4)2＝4.
得(1＋k2)x2－8kx＋12＝0.2分
∵直线l与圆C交于M，N两点，
∴Δ＝(－8k)2－4×12(1＋k2)>0，得k2>3，(*)
∴k的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞).6分
(2)假设直线l将圆C分割成弧长的比为的两段弧，
则劣弧所对的圆心角∠MCN＝90°，
由圆C：x2＋(y－4)2＝4知圆心C(0,4)，半径r＝2.9分
在Rt△MCN中，可求弦心距d＝r·sin 45°＝，
故圆心C(0,4)到直线kx－y＝0的距离＝，
∴1＋k2＝8，k＝±，经验证k＝±满足不等式(*)，12分
故l的方程为y＝±x.
因此，存在满足条件的直线l，其方程为y＝±x.15分
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