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  • 2021-06-16 发布

【数学】2018届一轮复习人教A版简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案

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‎ ‎ ‎1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.‎ ‎2.理解全称量词和存在量词的意义.‎ ‎3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.‎ 知识点一 简单的逻辑联结词 ‎ ‎1.命题中的____、____、____叫做逻辑联结词.‎ ‎2.命题p且q、p或q、非p的真假判断 p q p且q p或q 非p 真 真 ‎____‎ ‎____‎ 假 真 假 ‎____‎ 真 ‎____‎ 假 真 假 ‎____‎ ‎____‎ 假 假 假 ‎____‎ 真 答案 ‎1.且 或 非 2.真 真 假 假 真 真 假 ‎1.判断正误 ‎(1)命题p和綈p不可能都是真命题.(  )‎ ‎(2)若p∧q为真,则p为真或q为真.(  )‎ ‎(3)p∧q为假的充要条件是p,q至少有一个为假.(  )‎ 答案:(1)√ (2)× (3)√‎ ‎2.(2017·汾阳模拟)已知命题p:∀x∈R,x2-5x+6>0,命题q:∃α,β∈R,使sin(α+β)=sinα+sinβ,则下列命题为真命题的是(  )‎ A.p∧q B.p∨(綈q)‎ C.(綈p)∨q D.p∧(綈q)‎ 解析:当2≤x≤3时,x2-5x+6≤0,所以命题p假.当α=0,β∈R时,sin(α+β)=sinα+sinβ成立,所以命题q真,即綈p为真,綈q为假.‎ 答案:C 知识点二 全称量词与存在量词 ‎ ‎1.全称量词有:所有的,任意一个,任给,用符号“____”表示;存在量词有:存在一个,至少有一个,有些,用符号“____”表示.‎ ‎2.含有全称量词的命题,叫做全称命题.“对M中任意一个x,有p(x)成立”用符号简记为:____________.‎ ‎3.含有存在量词的命题,叫做特称命题.“存在M中元素x0,使p(x0)成立”用符号简记为:____________.‎ ‎4.含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ‎∀x∈M,p(x)‎ ‎________________‎ ‎∃x0∈M,p(x0)‎ ‎________________‎ 答案 ‎1.∀ ∃ 2.∀x∈M,p(x)‎ ‎3.∃x0∈M,p(x0)‎ ‎4.∃x0∈M,綈p(x0) ∀x∈M,綈p(x)‎ ‎3.命题“∃x0∈(0,+∞),lnx0=x0-‎1”‎的否定是(  )‎ A.∀x∈(0,+∞),lnx≠x-1‎ B.∀x∉(0,+∞),lnx=x-1‎ C.∃x0∈(0,+∞),lnx0≠x0-1‎ D.∃x0∉(0,+∞),lnx0=x0-1‎ 解析:特称命题的否定为全称命题,所以∃x0∈(0,+∞),lnx0=x0-1的否定是∀x∈(0,+∞),lnx≠x-1,故选A.‎ 答案:A ‎4.(选修1-1P27习题‎1.4A组第3(2)题改编)命题“所有可以被5整除的整数,末位数字都是‎5”‎的否定为________________________‎ ‎___________________________________________________________.‎ 解析:全称命题的否定为特称命题,其否定为“有些可以被5整除的整数,末位数字不是‎5”‎.‎ 答案:有些可以被5整除的整数,末位数字不是5‎ ‎5.命题“任意末位数字是5的整数都能被5整除”,该命题的否定是________________________,该命题的否命题是______‎ ‎______________.‎ 解析:命题的否定是否定命题的结论,即“存在末位数字是5的整数不能被5整除”.原命题可以改写为“若整数的末位数字为5,则该整数能被5整除”,其否命题是“若整数的末位数字不是5,则该整数不能被5整除”,简化为“末位数字不是5的整数不能被5整除”.‎ 答案:存在末位数字是5的整数不能被5整除 末位数字不是5的整数不能被5整除 热点一 含逻辑联结词的命题的真假判断 ‎ ‎【例1】 (1)已知命题p:m,n为直线,α为平面,若m∥n,n⊂α,则m∥α,命题q:若a>b,则ac>bc,则下列命题为真命题的是(  )‎ A.p∨q B.綈p∨q C.綈p∧q D.p∧q ‎(2)已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(綈q);④(綈p)∨q中,真命题是(  )‎ A.①③ B.①④‎ C.②③ D.②④‎ ‎【解析】 (1)命题q:若a>b,则ac>bc为假命题,命题p:m,n为直线,α为平面,若m∥n,n⊂α,则m∥α也为假命题,因此只有“綈p∨q”为真命题.‎ ‎(2)当x>y时,-x<-y,故命题p为真命题,从而綈p为假命题.当x>y时,x2>y2不一定成立,故命题q为假命题,从而綈q为真命题.‎ 由真值表知:①p∧q为假命题;②p∨q为真命题;③p∧(綈q)为真命题;④(綈p)∨q为假命题.故选C.‎ ‎【答案】 (1)B (2)C ‎【总结反思】‎ ‎“p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤 ‎(1)确定命题的构成形式;‎ ‎(2)判断其中命题p、q的真假;‎ ‎(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假.‎ ‎(1)(2017·广东韶关调研)已知命题p:对任意x∈R,总有2x>0;命题q:“x>‎1”‎是“x>‎2”‎的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是(  )‎ A.p∧q B.(綈p)∧(綈q)‎ C.(綈p)∧q D.p∧(綈q)‎ ‎(2)(2017·河南开封一模)已知命题p1:∀x∈(0,+∞),有3x>2x,p2:∃θ∈R,sinθ+cosθ=,则在命题q1:p1∨p2;q2:p1∧p2;q3:(綈p1)∨p2和q4:p1∧(綈p2)中,真命题是(  )‎ A.q1,q3 B.q2,q3‎ C.q1,q4 D.q2,q4‎ 解析:(1)命题p是真命题,命题q是假命题,所以p∧q是假命题,(綈p)∧(綈q)是假命题,(綈p)∧q是假命题,p∧(綈q)是真命题,故选D.‎ ‎(2)因为y=x在R上是增函数,即y=x>1,在(0,+∞)上恒成立,所以p1是真命题;sinθ+cosθ=sin≤,所以命题p2是假命题,綈p2是真命题,所以命题q1:p1∨p2;q4:p1∧(綈p2)是真命题,选C.‎ 答案:(1)D (2)C 热点二 含有一个量词的命题 ‎ 考向1 全称命题与特称命题真假判断 ‎【例2】 下列命题中,真命题是(  )‎ A.∃m0∈R,使函数f(x)=x2+m0x(x∈R)是偶函数 B.∃m0∈R,使函数f(x)=x2+m0x(x∈R)是奇函数 C.∀m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是偶函数 D.∀m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是奇函数 ‎【解析】 由函数奇偶性概念知,当m0=0时,f(x)=x2为偶函数,故选A.‎ ‎【答案】 A 考向2 含有一个量词的命题的否定 ‎【例3】 写出下列命题的否定,并判断其真假:‎ ‎(1)p:∀x∈R,x2-x+≥0;‎ ‎(2)q:所有的正方形都是矩形;‎ ‎(3)r:∃x0∈R,x+2x0+2≤0;‎ ‎(4)s:至少有一个实数x0,使x+1=0.‎ ‎【解】 (1)綈p:∃x0∈R,x-x0+<0,假命题.‎ ‎(2)綈q:至少存在一个正方形不是矩形,假命题.‎ ‎(3)綈r:∀x∈R,x2+2x+2>0,真命题.‎ ‎(4)綈s:∀x∈R,x3+1≠0,假命题.‎ ‎【总结反思】‎ ‎(1)判定全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内至少找到一个x=x0,使p(x0)成立.‎ ‎(2)对全(特)称命题进行否定的方法 ‎①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词.‎ ‎②对原命题的结论进行否定.‎ ‎(1)下列命题中的真命题是(  )‎ A.∃x∈R,使得sinx+cosx= B.∀x∈(0,+∞),ex>x+1‎ C.∃x∈(-∞,0),2x<3x D.∀x∈(0,π),sinx>cosx ‎(2)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则綈p为(  )‎ A.∀n∈N,n2>2n B.∃n∈N,n2≤2n C.∀n∈N,n2≤2n D.∃n∈N,n2=2n 解析:(1)因为sinx+cosx=sin(x+)≤<,故A错误;当x<0时,y=2x的图象在y=3x的图象上方,故C错误;因为x∈(0,)时有sinx2n”改为“n2≤2n”.‎ 答案:(1)B (2)C 热点三 由命题的真假求参数取值范围 ‎ ‎【例4】 已知p:∃x∈R,mx2+1≤0,q:∀x∈R,x2+mx+1>0,若p∨q为假命题,则实数m的取值范围为(  )‎ A.m≥2 B.m≤-2‎ C.m≤-2或m≥2 D.-2≤m≤2‎ ‎【解析】 依题意知p,q均为假命题,当p是假命题时,mx2+1>0恒成立,则有m≥0;当q是真命题时,则有Δ=m2-4<0,-20,∴m>2或m<-2.由得0≤m≤2,∴m的取值范围是[0,2].‎ 答案:[0,2]‎ ‎【总结反思】‎ 根据命题真假求参数的方法步骤 ‎(1)先根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况);‎ ‎(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围;‎ ‎(3)最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.‎ ‎(1)已知命题p:“∀x∈[1,2],x2-a≥‎0”‎,命题q:“∃x∈R,使x2+2ax+2-a=‎‎0”‎ ‎,若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围是(  )‎ A.{a|a≤-2或a=1}‎ B.{a|a≥1}‎ C.{a|a≤-2或1≤a≤2}‎ D.{a|-2≤a≤1}‎ ‎(2)命题“∃x∈R,2x2-3ax+9<‎0”‎为假命题,则实数a的取值范围为________.‎ 解析:(1)∵“p且q”为真命题,∴p、q均为真命题,‎ ‎∴p:a≤1,q:a≤-2或a≥1,∴a≤-2或a=1.‎ ‎(2)因题中的命题为假命题,则它的否定“∀x∈R,2x2-3ax+9≥‎0”‎为真命题,也就是常见的“恒成立”问题,因此只需Δ=‎9a2-4×2×9≤0,即-2≤a≤2.‎ 答案:(1)A (2)[-2,2]‎ ‎1.把握含逻辑联结词的命题的形式,特别是字面上未出现“或”、“且”,要结合语句的含义理解.‎ ‎2.要写一个命题的否定,需先分清其是全称命题还是特称命题,对照否定结构去写,并注意与否命题区别;否定的规律是“改量词,否结论”.‎ 利用逻辑推理解决实际问题 ‎【例1】 (1)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C 三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.‎ 由此可判断乙去过的城市为________.‎ ‎(2)对于中国足球参与的某次大型赛事,有三名观众对结果作如下猜测:‎ 甲:中国非第一名,也非第二名;‎ 乙:中国非第一名,而是第三名;‎ 丙:中国非第三名,而是第一名.‎ 竞赛结束后发现,一人全猜对,一人猜对一半,一人全猜错,则中国足球队得了第________名.‎ ‎【解析】 (1)由题意可推断:甲没去过B城市,但比乙去的城市多,而丙说“三人去过同一城市”,说明甲去过A,C城市,而乙“没去过C城市”,说明乙去过城市A,由此可知,乙去过的城市为A.‎ ‎(2)由上可知:甲、乙、丙均为“p且q”形式,所以猜对一半者也说了错误“命题”,即只有一个为真,所以可知丙是真命题,因此中国足球队得了第一名.‎ ‎【答案】 (1)A (2)一 ‎(2016·新课标全国卷Ⅱ)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是‎2”‎,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是‎1”‎,丙说:“我的卡片上的数字之和不是‎5”‎,则甲的卡片上的数字是________.‎ 解析:为方便说明,不妨将分别写有1和2,1和3,2和3的卡片记为A,B,C.从丙出发,由于丙的卡片上的数字之和不是5,则丙只可能是卡片A或B,无论是哪一张,均含有数字1,再由乙与丙的卡片上相同的数字不是1可知,乙所拿的卡片必然是C,最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是2,知甲所拿的卡片为B,此时丙所拿的卡片为A.‎ 答案:1和3‎

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