高中数学高考总复习函数的奇偶性习题及详解+几何证明选讲习题及详解 29页

高中数学高考总复习 函数的奇偶性习题及详解+几何证明选讲习题及详解 高中数学高考总复习函数的奇偶性习题(附参考答案) 一、选择题 1．(文)下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) A．y＝x＋x3(x∈R) B．y＝3x(x∈R) C．y＝－log2x(x>0，x∈R) D．y＝－1 x(x∈R，x≠0) [答案] A [解析] 首先函数为奇函数、定义域应关于原点对称，排除 C，若 x＝0 在定义域内，则 应有 f(0)＝0，排除 B；又函数在定义域内单调递增，排除 D，故选 A. (理)下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是( ) A．f(x)＝sinx B．f(x)＝－|x＋1| C．f(x)＝1 2(ax＋a－x) D．f(x)＝ln2－x 2＋x [答案] D [解析] y＝sinx 与 y＝ln 2－x 2＋x 为奇函数，而 y＝1 2(ax＋a－x)为偶函数，y＝－|x＋1|是非奇 非偶函数．y＝sinx 在[－1,1]上为增函数．故选 D. 2．(2010·安徽理，4)若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数，且满足 f(1)＝1，f(2)＝2，则 f(3) －f(4)＝( ) A．－1 B．1 C．－2 D．2 [答案] A [解析] f(3)－f(4)＝f(－2)－f(－1)＝－f(2)＋f(1)＝－2＋1＝－1，故选 A. 3．(2010·河北唐山)已知 f(x)与 g(x)分别是定义在 R 上奇函数与偶函数，若 f(x)＋g(x)＝ log2(x2＋x＋2)，则 f(1)等于( ) A．－1 2 B.1 2 C．1 D.3 2 [答案] B [解析] 由条件知，f1＋g1＝2 f－1＋g－1＝1 ， ∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数． ∴ f1＋g1＝2 g1－f1＝1 ，∴f(1)＝1 2. 4．(文)(2010·北京崇文区)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，并满足 f(x＋2)＝－ 1 fx ，当 1≤x≤2 时，f(x)＝x－2，则 f(6.5)＝( ) A．4.5 B．－4.5 C．0.5 D．－0.5 [答案] D [解析] ∵f(x＋2)＝－ 1 fx ，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－ 1 fx＋2 ＝f(x)，∴f(x)周期为 4， ∴f(6.5)＝f(6.5－8)＝f(－1.5)＝f(1.5)＝1.5－2＝－0.5. (理)(2010·山东日照)已知函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数，且 f(x＋2)＝f(x)，若 f(x)在[－ 1,0]上是减函数，则 f(x)在[2,3]上是( ) A．增函数 B．减函数 C．先增后减的函数 D．先减后增的函数 [答案] A [解析] 由 f(x＋2)＝f(x)得出周期 T＝2， ∵f(x)在[－1,0]上为减函数， 又 f(x)为偶函数，∴f(x)在[0,1]上为增函数，从而 f(x)在[2,3]上为增函数． 5．(2010·辽宁锦州)已知函数 f(x)是定义在区间[－a，a](a>0)上的奇函数，且存在最大值 与最小值．若 g(x)＝f(x)＋2，则 g(x)的最大值与最小值之和为( ) A．0 B．2 C．4 D．不能确定 [答案] C [解析] ∵f(x)是定义在[－a，a]上的奇函数，∴f(x)的最大值与最小值之和为 0，又 g(x) ＝f(x)＋2 是将 f(x)的图象向上平移 2 个单位得到的，故 g(x)的最大值与最小值比 f(x)的最大 值与最小值都大 2，故其和为 4. 6．定义两种运算：a⊗b＝ a2－b2，a⊕b＝|a－b|，则函数 f(x)＝ 2⊗x x⊕2－2 ( ) A．是偶函数 B．是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 [答案] B [解析] f(x)＝ 4－x2 |x－2|－2 ， ∵x2≤4，∴－2≤x≤2， 又∵x≠0，∴x∈[－2,0)∪(0,2]． 则 f(x)＝ 4－x2 －x ， f(x)＋f(－x)＝0，故选 B. 7．已知 f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设 a＝f(log47)， b＝f(log1 23)，c＝f(0.20.6)，则 a、b、c 的大小关系是( ) A．c1，|log1 23|＝log23>log2 7，0<0.20.6<1， ∴|log1 23|>|log47|>|0.20.6|. 又∵f(x)在(－∞，0]上是增函数，且 f(x)为偶函数， ∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数． ∴b0 得，－22，排除 D， 当 x＝π 6 时，y＝ π 6 sinπ 6 ＝π 3>1，排除 B，故选 C. 二、填空题 11．(文)已知 f(x)＝ sinπx x<0 fx－1－1 x>0 ，则 f －11 6 ＋f 11 6 的值为________． [答案] －2 [解析] f 11 6 ＝f 5 6 －1＝f －1 6 －2 ＝sin －π 6 －2＝－5 2 ， f －11 6 ＝sin －11π 6 ＝sinπ 6 ＝1 2 ，∴原式＝－2. (理)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 y＝f(x)的图象关于直线 x＝1 2 对称，则 f(1)＋f(2) ＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝________. [答案] 0 [解析] ∵f(x)的图象关于直线 x＝1 2 对称， ∴f 1 2 ＋x ＝f 1 2 －x ，对任意 x∈R 都成立， ∴f(x)＝f(1－x)，又 f(x)为奇函数， ∴f(x)＝－f(－x)＝－f(1＋x) ＝f(－1－x)＝f(2＋x)， ∴周期 T＝2 ∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝0 又 f(1)与 f(0)关于 x＝1 2 对称 ∴f(1)＝0 ∴f(3)＝f(5)＝0 填 0. 12．(2010·深圳中学)已知函数 y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域都是[－ π，π]，且它们在 x∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式fx gx<0 的解集是________． [答案] －π 3 ，0 ∪ π 3 ，π [解析] 依据偶函数的图象关于 y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全 f(x)、 g(x)的图象， ∵fx gx<0，∴ fx<0 gx>0 ，或 fx>0 gx<0 ，观察两函数的图象，其中一个在 x 轴上方，一个 在 x 轴下方的，即满足要求，∴－π 30 得，－218 11 ，∴18 110，当 x∈(－1，－1 3)时，g′(x)<0，当 x∈(－1 3 ，＋∞) 时，g′(x)>0， ∴g(x)在 x＝－1 处取得极大值，在 x＝－1 3 处取得极小值． 又∵g(－1)＝2，g(－1 3)＝50 27 ，且方程 g(x)＋b＝0 即 g(x)＝－b 有三个不同的实数解，∴50 27< －b<2， 解得－20 且 a≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数． (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的值域； (3)当 x∈(0,1]时，tf(x)≥2x－2 恒成立，求实数 t 的取值范围． [解析] (1)∵f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，即 f(－x)＝－f(x)恒成立，∴f(0)＝ 0. 即 1－ 4 2×a0＋a ＝0， 解得 a＝2. (2)∵y＝2x－1 2x＋1 ，∴2x＝1＋y 1－y ， 由 2x>0 知1＋y 1－y >0， ∴－10 －fx x<0 . (1)若 f(－1)＝0，曲线 y＝f(x)通过点(0,2a＋3)，且在点(－1，f(－1))处的切线垂直于 y 轴，求 F(x)的表达式； (2)在(1)的条件下，当 x∈[－1,1]时，g(x)＝kx－f(x)是单调函数，求实数 k 的取值范围； (3)设 mn<0，m＋n>0，a>0，且 f(x)为偶函数，证明 F(m)＋F(n)>0. [解析] (1)因为 f(x)＝ax2＋bx＋c，所以 f ′(x)＝2ax＋b. 又曲线 y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线垂直于 y 轴，故 f ′(－1)＝0， 即－2a＋b＝0，因此 b＝2a.① 因为 f(－1)＝0，所以 b＝a＋c.② 又因为曲线 y＝f(x)通过点(0,2a＋3)， 所以 c＝2a＋3.③ 解由①，②，③组成的方程组得，a＝－3，b＝－6，c＝－3. 从而 f(x)＝－3x2－6x－3. 所以 F(x)＝ －3x＋12 x>0 3x＋12 x<0 . (2)由(1)知 f(x)＝－3x2－6x－3， 所以 g(x)＝kx－f(x)＝3x2＋(k＋6)x＋3. 由 g(x)在[－1,1]上是单调函数知： －k＋6 6 ≤－1 或－k＋6 6 ≥1，得 k≤－12 或 k≥0. (3)因为 f(x)是偶函数，可知 b＝0. 因此 f(x)＝ax2＋c. 又因为 mn<0，m＋n>0， 可知 m，n 异号． 若 m>0，则 n<0. 则 F(m)＋F(n)＝f(m)－f(n)＝am2＋c－an2－c ＝a(m＋n)(m－n)>0. 若 m<0，则 n>0. 同理可得 F(m)＋F(n)>0. 综上可知 F(m)＋F(n)>0. 高中数学高考总复习函数概念习题(附参考答案) 一、选择题 1．(文)(2010·浙江文)已知函数 f(x)＝log2(x＋1)，若 f(a)＝1，则 a＝( ) A．0 B．1 C．2 D．3 [答案] B [解析] 由题意知，f(a)＝log2(a＋1)＝1，∴a＋1＝2， ∴a＝1. (理)(2010·广东六校)设函数 f(x)＝ 2x x∈－∞，2] log2x x∈2，＋∞ ，则满足 f(x)＝4 的 x 的值是 ( ) A．2 B．16 C．2 或 16 D．－2 或 16 [答案] C [解析] 当 f(x)＝2x 时.2x＝4，解得 x＝2. 当 f(x)＝log2x 时，log2x＝4，解得 x＝16. ∴x＝2 或 16.故选 C. 2．(文)(2010·湖北文，3)已知函数 f(x)＝ log3x x>0 2x x≤0 ，则 f(f(1 9))＝( ) A．4 B.1 4 C．－4 D．－1 4 [答案] B [解析] ∵f(1 9)＝log3 1 9 ＝－2<0 ∴f(f(1 9))＝f(－2)＝2－2＝1 4. (理)设函数 f(x)＝ 21－x－1 x<1 lgx x≥1 ，若 f(x0)>1，则 x0 的取值范围是( ) A．(－∞，0)∪(10，＋∞) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－2)∪(－1,10) D．(0,10) [答案] A [解析] 由 x0<1 21－x0－1>1 或 x0≥1 lgx0>1 ⇒x0<0 或 x0>10. 3．(2010·天津模拟)若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这 些函数为“同族函数”，那么函数解析式为 f(x)＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有( ) A．7 个 B．8 个 C．9 个 D．10 个 [答案] C [解析] 由 x2＝1 得 x＝±1，由 x2＝4 得 x＝±2，故函数的定义域可以是{1,2}，{－1,2}， {1，－2}，{－1，－2}，{1,2，－1}，{1,2，－2}，{1，－2，－1}，{－1,2，－2}和{－1， －2,1,2}，故选 C. 4．(2010·柳州、贵港、钦州模拟)设函数 f(x)＝1－2x 1＋x ，函数 y＝g(x)的图象与 y＝f(x)的图 象关于直线 y＝x 对称，则 g(1)等于( ) A．－3 2 B．－1 C．－1 2 D．0 [答案] D [解析] 设 g(1)＝a，由已知条件知，f(x)与 g(x)互为反函数，∴f(a)＝1，即1－2a 1＋a ＝1， ∴a＝0. 5．(2010·广东六校)若函数 y＝f(x)的图象如图所示，则函数 y＝f(1－x)的图象大致为 ( ) [答案] A [解析] 解法 1：y＝f(－x)的图象与 y＝f(x)的图象关于 y 轴对称．将 y＝f(－x)的图象向 右平移一个单位得 y＝f(1－x)的图象，故选 A. 解法 2：由 f(0)＝0 知，y＝f(1－x)的图象应过(1,0)点，排除 B、C；由 x＝1 不在 y＝f(x) 的定义域内知，y＝f(1－x)的定义域应不包括 x＝0，排除 D，故选 A. 6．(文)(2010·广东四校)已知两个函数 f(x)和 g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定 义如下表，填写下列 g(f(x))的表格，其三个数依次为( ) x 1 2 3 f(x) 2 3 1 x 1 2 3 g(x) 1 3 2 x 1 2 3 g(f(x)) A.3,1,2 B．2,1,3 C．1,2,3 D．3,2,1 [答案] D [解析] 由表格可知，f(1)＝2，f(2)＝3，f(3)＝1，g(1)＝1，g(2)＝3，g(3)＝2， ∴g(f(1))＝g(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝2，g(f(3))＝g(1)＝1， ∴三个数依次为 3,2,1，故选 D. (理)(2010·山东肥城联考)已知两个函数 f(x)和 g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其 定义如下表： x 1 2 3 f(x) 2 3 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 则方程 g[f(x)]＝x 的解集为( ) A．{1} B．{2} C．{3} D．∅ [答案] C [解析] g[f(1)]＝g(2)＝2，g[f(2)]＝g(3)＝1； g[f(3)]＝g(1)＝3，故选 C. 7．若函数 f(x)＝loga(x＋1) (a>0 且 a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则 a 等于( ) A.1 3 B. 2 C. 2 2 D．2 [答案] D [解析] ∵0≤x≤1，∴1≤x＋1≤2， 又∵0≤loga(x＋1)≤1，故 a>1，且 loga2＝1，∴a＝2. 8．(文)(2010·天津文)设函数 g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝ gx＋x＋4，x＜gx gx－x，x≥gx ，则 f(x) 的值域是( ) A. －9 4 ，0 ∪(1，＋∞) B．[0，＋∞) C. －9 4 ，＋∞ D. －9 4 ，0 ∪(2，＋∞) [答案] D [解析] 由题意可知 f(x)＝ x2＋x＋2 x<－1 或 x>2 x2－x－2 －1≤x≤2 1°当 x<－1 或 x>2 时，f(x)＝x2＋x＋2＝ x＋1 2 2＋7 4 由函数的图可得 f(x)∈(2，＋∞)． 2°当－1≤x≤2 时，f(x)＝x2－x－2＝ x－1 2 2－9 4 ， 故当 x＝1 2 时，f(x)min＝f 1 2 ＝－9 4 ， 当 x＝－1 时，f(x)max＝f(－1)＝0， ∴f(x)∈ －9 4 ，0 . 综上所述，该分段函数的值域为 －9 4 ，0 ∪(2，＋∞)． (理)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)＝ log21－x x≤0 fx－1－fx－2 x>0 ，则 f(2010)的值为( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 [答案] B [解析] f(2010)＝f(2009)－f(2008)＝(f(2008)－f(2007))－f(2008)＝－f(2007)，同理 f(2007) ＝－f(2004)，∴f(2010)＝f(2004)， ∴当 x>0 时，f(x)以 6 为周期进行循环， ∴f(2010)＝f(0)＝log21＝0. 9．(文)对任意两实数 a、b，定义运算“*”如下：a*b＝ a，若 a≤b； b，若 a>b 函数 f(x)＝log1 2 (3x －2)*log2x 的值域为( ) A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－∞，0] D．[0，＋∞) [答案] C [解析] ∵a*b＝ a，若 a≤b， b，若 a>b. 而函数 f(x)＝log1 2 (3x－2)与 log2x 的大 致图象如右图所示， ∴f(x)的值域为(－∞，0]． (理)定义 max{a、b、c}表示 a、b、c 三个数中的最大值，f(x)＝max{ 1 2 x，x－2，log2x(x>0)}， 则 f(x)的最小值所在范围是( ) A．(－∞，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,3) [答案] C [解析] 在同一坐标系中画出函数 y＝ 1 2 x，y＝x－2 与 y＝log2x 的图象，y＝ 1 2 x 与 y＝ log2x 图象的交点为 A(x1，y1)，y＝x－2 与 y＝log2x 图象的交点为 B(x2，y2)，则由 f(x)的定义 知，当 x≤x1 时，f(x)＝ 1 2 x，当 x10 ，若 f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于 x 的方程 f(x) ＝x 的解的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 [答案] C [解析] 解法 1：当 x≤0 时，f(x)＝x2＋bx＋c. ∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2， ∴ －42＋b·－4＋c＝c －22＋b·－2＋c＝－2 ，解得 b＝4 c＝2 ， ∴f(x)＝ x2＋4x＋2 x≤0 2 x>0 ， 当 x≤0 时，由 f(x)＝x 得，x2＋4x＋2＝x， 解得 x＝－2，或 x＝－1； 当 x>0 时，由 f(x)＝x 得，x＝2， ∴方程 f(x)＝x 有 3 个解． 解法 2：由 f(－4)＝f(0)且 f(－2)＝－2 可得，f(x)＝x2＋bx＋c 的对称轴是 x＝－2，且顶 点为(－2，－2)，于是可得到 f(x)的简图如图所示．方程 f(x)＝x 的解的个数就是函数图象 y ＝f(x)与 y＝x 的图象的交点的个数，所以有 3 个解． 二、填空题 11．(文)(2010·北京东城区)函数 y＝ x＋1＋lg(2－x)的定义域是________． [答案] [－1,2) [解析] 由 x＋1≥0 2－x>0 得，－1≤x<2. (理)函数 f(x)＝ x＋ 4－x的最大值与最小值的比值为________． [答案] 2 [解析] ∵ x≥0 4－x≥0 ，∴0≤x≤4，f 2(x)＝4＋2 x4－x≤4＋[x＋(4－x)]＝8，且 f 2(x)≥4， ∵f(x)≥0，∴2≤f(x)≤2 2，故所求比值为 2. [点评] (1)可用导数求解；(2)∵0≤x≤4，∴0≤x 4 ≤1，故可令x 4 ＝sin2θ(0≤θ≤π 2)转化为 三角函数求解． 12．函数 y＝cosx－1 sinx－2 x∈[0，π]的值域为________． [答案] 0，4 3 [解析] 函数表示点(sinα，cosα)与点(2,1)连线斜率．而点(sinα， cosα)α∈[0，π]表示单位圆右半部分，由几何意义，知 y∈[0，4 3]． 13．(2010·湖南湘潭市)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点， 如果函数 f(x)的图象恰好通过 n(n∈N*)个整点，则称函数 f(x)为 n 阶整点函数，有下列函数 ①f(x)＝sin2x ②g(x)＝x3 ③h(x)＝ 1 3 x ④φ(x)＝lnx. 其中是一阶整点函数的是________．(写出所有正确结论的序号) [答案] ①④ [解析] 其中①只过(0,0)点，④只过(1,0)点；②过(0,1)，(1,1)，(2,8)等，③过(0,1)，(－ 1,3)等． 14．(文)若 f(a＋b)＝f(a)·f(b)且 f(1)＝1，则f2 f1 ＋f3 f2 ＋…＋f2012 f2011 ＝________. [答案] 2011 [解析] 令 b＝1，则fa＋1 fa ＝f(1)＝1， ∴f2 f1 ＋f3 f2 ＋…＋f2012 f2011 ＝2011. (理)设函数 f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出下列命题： ①b＝0，c>0 时，方程 f(x)＝0 只有一个实数根； ②c＝0 时，y＝f(x)是奇函数； ③方程 f(x)＝0 至多有两个实根． 上述三个命题中所有的正确命题的序号为________． [答案] ①② [解析] ①f(x)＝x|x|＋c ＝ x2＋c，x≥0 －x2＋c，x<0 ， 如右图与 x 轴只有一个交点． 所以方程 f(x)＝0 只有一个实数根正确． ②c＝0 时，f(x)＝x|x|＋bx 显然是奇函数． ③当 c＝0，b<0 时，f(x)＝x|x|＋bx＝ x2＋bx，x≥0 －x2＋bx，x<0 如右图方程 f(x)＝0 可以有三个实数根． 综上所述，正确命题的序号为①②. 三、解答题 15．(文)(2010·深圳九校)某自来水厂的蓄水池存有 400 吨水，水厂每小时可向蓄水池中 注水 60 吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为 120 6t吨，(0≤t≤24)． (1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？ (2)若蓄水池中水量少于 80 吨时，就会出现供水紧张现象，请问在一天的 24 小时内， 有几小时出现供水紧张现象． [解析] (1)设 t 小时后蓄水池中的水量为 y 吨， 则 y＝400＋60t－120 6t(0≤t≤24) 令 6t＝x，则 x2＝6t 且 0≤x≤12， ∴y＝400＋10x2－120x＝10(x－6)2＋40(0≤x≤12)； ∴当 x＝6，即 t＝6 时，ymin＝40， 即从供水开始到第 6 小时时，蓄水池水量最少，只有 40 吨． (2)依题意 400＋10x2－120x<80， 得 x2－12x＋32<0， 解得 40，当 201 时，有 h(x)≥4(当且仅当 x＝2 时，取“＝”)； 当 x<1 时，有 h(x)≤0(当且仅当 x＝0 时，取“＝”)． 则函数 h(x)的值域是(－∞，0]∪{1}∪[4，＋∞)． (3)可取 f(x)＝sin2x＋cos2x，α＝π 4 ，则 g(x)＝f(x＋α)＝cos2x－sin2x， 于是 h(x)＝f(x)f(x＋α)＝cos4x. (或取 f(x)＝1＋ 2sin2x，α＝π 2 ，则 g(x)＝f(x＋α)＝1－ 2sin2x.于是 h(x)＝f(x)f(x＋α)＝ cos4x)． [点评] 本题中(1)、(2)问不难求解，关键是读懂 h(x)的定义，第(3)问是一个开放性问题， 乍一看可能觉得无从下手，但细加观察不难发现，cos4x＝cos22x－sin22x＝(cos2x＋ sin2x)(cos2x－sin2x)积式的一个因式取作 f(x)，只要能够找到α，使 f(x＋α)等于另一个因式也 就找到了 f(x)和 g(x)． 17．(文)某种商品在 30 天内每件的销售价格 P(元)与时间 t(天)的函数关系如图所示： 该商品在 30 天内日销售量 Q(件)与时间 t(天)之间的关系如表所示： 第 t 天 5 15 20 30 Q(件) 35 25 20 10 (1)根据提供的图象，写出该商品每件的销售价格 P 与时间 t 的函数关系式； (2)在所给直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(t，Q)的对应点，并确定日销 售量 Q 与时间 t 的一个函数关系式； (3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是 30 天中的第几 天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量) [解析] (1)P＝ t＋20 0900，知 ymax＝1125， ∴这种商品日销售金额的最大值为 1125 元，30 天中的第 25 天的日销售金额最大． (理)(2010·广东六校)某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当 地政府通过投资对该项特产的销售进行扶持，已知每投入 x 万元，可获得纯利润 P＝－ 1 160(x －40)2＋100 万元(已扣除投资，下同)，当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产 的销售，其规划方案为：在未来 10 年内对该项目每年都投入 60 万元的销售投资，其中在前 5 年中，每年都从 60 万元中拨出 30 万元用于修建一条公路，公路 5 年建成，通车前该特产 只能在当地销售；公路通车后的 5 年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售 的投资收益为：每投入 x 万元，可获纯利润 Q＝－159 160(60－x)2＋119 2 ·(60－x)万元，问仅从这 10 年的累积利润看，该规划方案是否可行？ [解析] 在实施规划前，由题设 P＝－ 1 160(x－40)2＋100(万元)，知每年只需投入 40 万， 即可获得最大利润 100 万元，则 10 年的总利润为 W1＝100×10＝1000(万元) 实施规划后的前 5 年中，由题设 P＝－ 1 160(x－40)2＋100 知，每年投入 30 万元时，有最 大利润 Pmax＝795 8 (万元) 前 5 年的利润和为795 8 ×5＝3975 8 (万元) 设在公路通车的后 5 年中，每年用 x 万元投资于本地的销售，而剩下的(60－x)万元用于 外地区的销售投资， 则其总利润为 W2＝[－ 1 160(x－40)2＋100]×5＋(－159 160x2＋119 2 x)×5＝－5(x－30)2＋4950. 当 x＝30 时，W2＝4950(万元)为最大值， 从而 10 年的总利润为3975 8 ＋4950(万元)． ∵3975 8 ＋4950>1000， ∴该规划方案有极大实施价值． 高中数学高考总复习几何证明选讲习题(附参考答案) 一、选择题 1．已知矩形 ABCD，R、P 分别在边 CD、BC 上，E、F 分别为 AP、PR 的中点，当 P 在 BC 上由 B 向 C 运动时，点 R 在 CD 上固定不变，设 BP＝x，EF＝y，那么下列结论中正 确的是( ) A．y 是 x 的增函数 B．y 是 x 的减函数 C．y 随 x 的增大先增大再减小 D．无论 x 怎样变化，y 为常数 [答案] D [解析] ∵E、F 分别为 AP、PR 中点，∴EF 是△PAR 的中位线，∴EF＝1 2AR，∵R 固 定，∴AR 是常数，即 y 为常数． 2．(2010·湖南考试院)如图，四边形 ABCD 中，DF⊥AB，垂足为 F，DF＝3，AF＝2FB ＝2，延长 FB 到 E，使 BE＝FB，连结 BD，EC.若 BD∥EC，则四边形 ABCD 的面积为( ) A．4 B．5 C．6 D．7 [答案] C [解析] 由条件知 AF＝2，BF＝BE＝1， ∴S△ADE＝1 2AE×DF＝1 2 ×4×3＝6， ∵CE∥DB，∴S△DBC＝S△DBE，∴S 四边形 ABCD＝S△ADE＝6. 3．(2010·广东中山)如图，⊙O 与⊙O′相交于 A 和 B，PQ 切⊙O 于 P，交⊙O′于 Q 和 M，交 AB 的延长线于 N，MN＝3，NQ＝15，则 PN＝( ) A．3 B. 15 C．3 2 D．3 5 [答案] D [解析] 由切割线定理知： PN2＝NB·NA＝MN·NQ＝3×15＝45， ∴PN＝3 5. 4．如图，Rt△ABC 中，CD 为斜边 AB 上的高，CD＝6，且 AD BD＝3 2，则斜边 AB 上的中线 CE 的长为( ) A．5 6 B.5 6 2 C. 15 D.3 10 2 [答案] B [解析] 设 AD＝3x，则 DB＝2x，由射影定理得 CD2＝AD·BD，∴36＝6x2，∴x＝ 6， ∴AB＝5 6， ∴CE＝1 2AB＝5 6 2 . 5．已知 f(x)＝(x－2010)(x＋2009)的图象与 x 轴、y 轴有三个不同的交点，有一个圆恰好 经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是( ) A．(0,1) B．(0,2) C．(0， 2010 2009) D．(0， 2009 2010) [答案] A [解析] 由题意知圆与 x 轴交点为 A(2010,0)， B(－2009,0)，与 y 轴交点为 C(0，－2010×2009)，D(0，y2)．设圆的方程为：x2＋y2＋ Dx＋Ey＋F＝0 令 y＝0 得 x2＋Dx＋F＝0，此方程两根为 2010 和－2009，∴F＝－2010×2009 令 x＝0 得 y2＋Ey－2010×2009＝0 ∴－2010×2009×y2＝－2010×2009 ∴y2＝1，故选 A. [点评] 圆与 x 轴交点 A(2010,0)，B(－2009,0)与 y 轴交点 C(0，－2010×2009)，D(0， y2)， ∵A、C、B、D 四点共圆，∴AO·OB＝OC·OD， ∴OD＝1，∴y2＝1. 6．设平面π与圆柱的轴的夹角为β (0°<β<90°)，现放入 Dandelin 双球使之与圆柱面和 平面π都相切，若已知 Dandelin 双球与平面π的两切点的距离恰好等于圆柱的底面直径，则 截线椭圆的离心率为( ) A.1 2 B. 2 2 C. 3 3 D. 3 2 [答案] B [解析] ∵Dandelin 双球与平面π的两切点是椭圆的焦点，圆柱的底面直径恰好等于椭 圆的短轴长， ∴2b＝2c，∴e＝c a ＝ c b2＋c2 ＝ c 2c ＝ 2 2 . 二、填空题 7．如图，PT 切⊙O 于点 T，PA 交⊙O 于 A、B 两点，且与直径 CT 交于点 D，CD＝2， AD＝3，BD＝6，则 PB＝________. [答案] 15 [解析] 由相交弦定理得 DC·DT＝DA·DB，则 DT＝9. 由切割线定理得 PT2＝PB·PA，即(PB＋BD)2－DT2＝PB(PB＋AB)．又 BD＝6，AB＝AD ＋BD＝9，∴(PB＋6)2－92＝PB(PB＋9)，得 PB＝15. 8．(09·天津)如图，AA1 与 BB1 相交于点 O，AB∥A1B1 且 AB＝1 2A1B1.若△AOB 的外接圆 的直径为 1，则△A1OB1 的外接圆的直径为______________． [答案] 2 [解析] ∵AB∥A1B1 且 AB＝1 2A1B1，∴△AOB∽△A1OB1，∴两三角形外接圆的直径之 比等于相似比， ∴△A1OB1 的外接圆直径为 2. 9．如图，EB、EC 是⊙O 的两条切线，B、C 是切点，A、D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝46°，∠DCF＝32°，则∠A 的度数是________． [答案] 99° [解析] 连接 OB、OC、AC，根据弦切角定理得， ∠EBC＝∠BAC，∠CAD＝∠DCF， 可得∠A＝∠BAC＋∠CAD＝1 2(180°－∠E)＋∠DCF＝67°＋32°＝99°. [点评] 可由 EB＝EC 及∠E 求得∠ECB，由∠ECB 和∠DCF 求得∠BCD，由圆内接四 边形对角互补求得∠A. 10．PC 是⊙O 的切线，C 为切点，PAB 为割线，PC＝4，PB＝8，∠B＝30°，则 BC＝ ________. [答案] 4 3 [解析] (1)由切割线定理 PC2＝PA·PB， ∴PA＝2，∠ACP＝∠B＝30°， 在△PAC 中，由正弦定理 2 sin30° ＝ 4 sin∠PAC ， ∴sin∠PAC＝1， ∴∠PAC＝90°，从而∠P＝60°，∠PCB＝90°， ∴BC＝ PB2－PC2＝ 82－42＝4 3. 11．(2010·重庆文)如图中实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线 C，各段弧所在的 圆经过同一点 P(点 P 不在 C 上)且半径相等，设第 i 段弧所对的圆心角为αi(i＝1,2,3)，则 cosα1 3 cosα2＋α3 3 －sinα1 3 sinα2＋α3 3 ＝____________. [答案] －1 2 [解析] 如图，O1、O2、O3 为三个圆的圆心，A1、A2、A3 分别是每两个圆的交点，则 ∠A1PA2＋∠A2PA3＋∠A3PA1＝1 2(α1＋α2＋α3)＝2π，∴α1＋α2＋α3＝4π， ∴cosα1 3 cosα2＋α3 3 －sinα1 3 sinα2＋α3 3 ＝cosα1＋α2＋α3 3 ＝cos4π 3 ＝cos π＋π 3 ＝－cosπ 3 ＝－1 2. 12．(2010·广东中山市四校联考)如图，PA 切圆 O 于点 A， 割线 PBC 经过圆心 O，OB＝PB＝1，OA 绕点 O 逆时针旋转 60° 到 OD，则 PD 的长为________． [答案] 7 [解析] 由图可知，PA2＝PB·PC＝PB·(PB＋BC)＝3，∴PA＝ 3，∴∠AOP＝60°， 又∠AOD＝60°，∴∠POD＝120°，∵PO＝2，OD＝1， ∴cos∠POD＝22＋12－PD2 2×2×1 ＝－1 2 ，∴PD＝ 7. 三、解答题 13．(2010·南京市调研)如图，AB 是⊙O 的直径，点 P 在 AB 的延长线上，PC 与⊙O 相 切于点 C，PC＝AC＝1，求⊙O 的半径． [解析] 连接 OC. 设∠PAC＝θ.因为 PC＝AC，所以∠CPA＝θ，∠COP＝2θ. 又因为 PC 与⊙O 相切于点 C，所以 OC⊥PC. 所以 3θ＝90°.所以θ＝30°. 设⊙O 的半径为 r，在 Rt△POC 中， r＝CP·tan30°＝1× 3 3 ＝ 3 3 . 14．(2010·江苏盐城调研)如图，圆 O 的直径 AB＝8，C 为圆周上一点，BC＝4，过 C 作圆的切线 l，过 A 作直线 l 的垂线 AD，D 为垂足，AD 与圆 O 交于点 E，求线段 AE 的长． [解析] 连结 OC、BE、AC，则 BE⊥AE. ∵BC＝4，∴OB＝OC＝BC＝4，即△OBC 为正三角形， ∴∠CBO＝∠COB＝60°， 又直线 l 切⊙O 于 C， ∴∠DCA＝∠CBO＝60°， ∵AD⊥l，∴∠DAC＝90°－60°＝30°， 而∠OAC＝∠ACO＝1 2 ∠COB＝30°，∴∠EAB＝60°， 在 Rt△BAE 中，∠EBA＝30°，∴AE＝1 2AB＝4. 15．(2010·辽宁实验中学)如图，⊙O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P， E 为⊙O 上一点，AE＝AC，DE 交 AB 于点 F，且 AB＝2BP＝4， (1)求 PF 的长度． (2)若圆 F 与圆 O 内切，直线 PT 与圆 F 切于点 T，求线段 PT 的长度． [解析] (1)连结 OC，OD，OE，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系， 结合题中条件弧长 AE 等于弧长 AC 可得∠CDE＝ ∠AOC， 又∠CDE＝∠P＋∠PFD，∠AOC＝∠P＋∠OCP， 从而∠PFD＝∠OCP，故△PFD∽△PCO， ∴PF PC ＝PD PO ， 由割线定理知 PC·PD＝PA·PB＝12， 故 PF＝PC·PD PO ＝12 4 ＝3. (2)若圆 F 与圆 O 内切，设圆 F 的半径为 r， 因为 OF＝2－r＝1，即 r＝1， 所以 OB 是圆 F 的直径，且过 P 点的圆 F 的切线为 PT， 则 PT2＝PB·PO＝2×4＝8，即 PT＝2 2.