江西省上饶市2019-2020学年高二上学期第一次联考数学（理）试题 18页

‎2019-2020学年江西省上饶市“山江湖”协作体统招班高二（上）第一次联考数学试卷（理科）‎ 一、选择题（本大题共12小题）‎ ‎1.若，，则不等式等价于（ ）‎ A. 或 B. 或 C. 或 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式和，再将两个不等式解集取交集可得出答案.‎ ‎【详解】，，解不等式，即，解得或；‎ 解不等式，即，解得或.‎ 综上所述，或，故选C.‎ ‎【点睛】本题考查分式不等式的求解，一般将分式不等式进行通分，然后化为整式不等式进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎2.如果的解集为，那么对于函数有（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得出的两根为和，且有，由韦达定理得出、与的等量关系，并求出、、的值，即可得出三个数的大小关系.‎ ‎【详解】由于关于的不等式的解集为，‎ 则关于的方程的两根为和，且.‎ 由韦达定理得，解得，，‎ ‎，，，因此，，故选C.‎ ‎【点睛】本题考查一元二次不等式解集与一元二次不等式之间的关系，考查根与系数之间的关系，在解题时还应根据解集得出首项系数的符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎3.已知，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因，故选D.‎ ‎4.已知点和点在直线的两侧，则a的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用点在直线的异侧时，对应的代数式（将点代入直线方程的左侧）的符号是异号，故可求实数的取值范围．‎ ‎【详解】因为点和在直线的两侧，所以，所以．故选B．‎ ‎【点睛】本题考查二元一次不等式表示的平面区域的性质，属于基础题．‎ ‎5.当时，不等式的解集是（   ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用穿针引线法可得出该不等式的解集.‎ ‎【详解】如下图所示：‎ 由上图可知，不等式解集为，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查分式不等式的解法，同时也考查了高次不等式的解法，一般利用穿针引线法来求解，考查数形结合思想，属于基础题.‎ ‎6.方程(x2＋y2－4))＝0的曲线形状是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由可得：‎ ‎ 或 它表示直线和圆在直线右上方的部分 故选 ‎7.若两个正实数满足,且恒成立，则实数的取值范围是（　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，然后解不等式，可得出实数的取值范围．‎ ‎【详解】由基本不等式得，‎ 当且仅当，由于，，即当时，等号成立，‎ 所以，的最小值为，由题意可得，即，‎ 解得，因此，实数的取值范围是，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查利用基本不等式求最值，对于不等式成立的问题，需要结合量词来决定所选择的最值，考查计算能力，属于中等题．‎ ‎8.对于实数，规定表示不大于的最大整数，那么不等式成立的的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由不等式得出的取值范围，再由的定义得出的取值范围.‎ ‎【详解】不等式即为，解得，‎ 则，因此，，故选A.‎ ‎【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，同时也考查了取整函数的定义，解题的关键要结合不等式得出的取值，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎9.数列的通项公式为，则数列的前项和（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，数列的通项公式为，所以数列的前项和，故选B.‎ 考点：数列的求和.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中涉及到数列的通项公式及通项公式的裂项、数列的裂项求和等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中把数列的通项公式化简为是解答的关键，属于基础题.‎ ‎10.在中，，则是（ ）‎ A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将等式化简，因式分解后得出，即可判断出的形状.‎ ‎【详解】，，即，‎ 因式分解得，得或，‎ 因此，是等腰三角形或直角三角形，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查三角形形状的判断，可充分利用正弦定理边角互化思想、余弦定理结合三角恒等变换思想进行化简，同时也可以利用代数思想进行化简计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎11.已知等腰三角形的底边长为，一腰长为，则它的外接圆半径为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等腰三角形的顶角为，利用余弦定理计算出，再利用同角三角函数的平方关系计算出，然后利用正弦定理可计算出该三角形的外接圆半径.‎ ‎【详解】设等腰三角形的顶角为，其外接圆半径为，由余弦定理得，‎ 所以，，‎ 由正弦定理得，因此，该三角形外接圆的半径为，‎ 故选C ‎【点睛】本题考查利用正弦定理计算三角形的外接圆半径，同时也考查了余弦定理解三角形，解题时要根据三角形已知元素类型选择正弦定理或余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎12.已知函数，函数有四个不同的零点、、、，且满足:，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出函数的图象，可得出当直线与函数的图象有四个交点时的取值范围，根据图象得出，，并求出实数的取值范围，将代数式转化为关于的函数，利用双勾函数的基本性质求出的取值范围.‎ ‎【详解】作出函数的图象如下图所示：‎ 由图象可知，当时，直线与函数的图象有四个交点，‎ 由于二次函数的图象关于直线对称，则，‎ 又，由题意可知，，，，可得，‎ ‎，由，即，解得.‎ ‎，令，则，‎ 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，‎ 当时，，当时，，所以，，‎ 因此，的取值范围是，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查函数零点的取值范围，解题时要充分利用图象的对称性以及对数的运算性质得出一些定值条件，并将所求代数式转化为以某个变量为自变量的函数，转化为函数值域求解，考查化归与转化思想、函数方程思想的应用，属于中等题.‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ ‎13.已知正数满足则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将变形为后，可将变形为，展开并用基本不等式求解即可.‎ ‎【详解】由题可知：，‎ 故=‎ ‎=当且仅当x=y时取得等号 ‎【点睛】本题考查了 “乘1法”和基本不等式求最值，考查了变形的能力，计算能力，是中档题.‎ ‎14.设，则__________．‎ ‎【答案】1008‎ ‎【解析】‎ ‎∵函数，∴，∴，故答案为1008.‎ ‎15.已知0＜a＜1，loga(2x－y＋1)＞loga(3y－x＋2)，且λ＜x＋y，则λ的最大值为________．‎ ‎【答案】－2‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】解：根据题意得：‎ 即 ‎ 画出不等式表示的平面区域 设目标函数z＝x+y，则z表示直线在y轴上截距，截距越大，z越大 作出目标函数对应的直线L：y＝﹣x 由得A（﹣1，﹣1）‎ 直线过A（﹣1，﹣1）‎ 时，直线的纵截距最小，z最小，最小值为z＝﹣2‎ 则目标函数z＝x+y的取值范围是（﹣2，+∞）．‎ 又λ＜x+y，则λ的最大值为﹣2‎ 故答案为﹣2．‎ ‎16.在上定义运算:若存在使得成立，则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题中定义结合得出，再由题意得出，可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】由题意可得，‎ 由得，即，‎ 由题意可知，存在使得成立，则，即，即，解得或.‎ 因此，实数的取值范围是，故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查在新定义下二次不等式能成立的问题，解题时要结合题中的定义对不等式进行化简，并结合二次不等式首项系数的符号和判别式来解题，考查化归与转化思想，属于中等题.‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ ‎17.（1）关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围；‎ ‎（2）已知，求函数的最大值.‎ ‎【答案】(1)(2) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）要使关于的不等式的解集非空，只需，解不等式可得结果；（2），利用基本不等式可求得实数的取值范围.‎ 试题解析：（1）设．则关于的不等式的解集不是空集 在R上能成立，即解得 或．（或由的解集非空得亦可得）‎ ‎（2）解：，‎ 当且仅当，解得x=1或而 即时，上式等号成立，故当时，．‎ ‎18.已知二次函数的两个零点为和，且．‎ 求函数的解析式；‎ 解关于x的不等式．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次函数的性质得到关于关于m的方程，解出即可；‎ 问题转化为，解出即可．‎ ‎【详解】解：由题意得：的两个根为和，‎ 由韦达定理得，‎ 故，‎ 故，，，‎ 故；‎ 由得，‎ ‎，‎ 即，‎ 即，‎ 解得：，‎ 故不等式的解集是．‎ ‎【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查韦达定理以及解一元二次不等式问题，是一道常规题．‎ ‎19.在中，角的对边分别是，且.‎ ‎(1)求角；‎ ‎(2)若的面积为，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎⑴运用正弦定理进行边角的互化，然后再利用余弦定理求出结果 ‎⑵由已知条件得到，再利用余弦定理和不等式求出范围 详解】解：(1)由正弦定理得, ‎ ‎, , , ‎ 又在中，, . ‎ ‎(2) ， , ‎ 由余弦定理得 ‎, ‎ 当且仅当时，等号成立. ‎ ‎ ,则实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理的边角互化及运用余弦定理求出结果，本题较为综合，在计算过程中一定要数量掌握解题方法．‎ ‎20.已知在等比数列中，，是和的等差中项，‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据是和的等差中项列等式解得,可得公比,从而可得通项公式;‎ ‎(2)分组后利用等差数列与等比数列求和公式可得答案.‎ ‎【详解】（1）设等比数列的公比为q，是和的等差中项，‎ ‎，‎ ‎，；‎ ‎（2），‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查了等差中项,考查了等比数列的通项公式,考查了等差数列与等比数列的前项和的公式,属于基础题.‎ ‎21.若变量满足约束条件，求：‎ ‎（1） 的最大值；‎ ‎（2） 的取值范围；‎ ‎（3） 的取值范围．‎ ‎【答案】（1）5；（2）；（3）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出可行域，求得三点的坐标，(1)中，根据直线的几何意义，即可求解目标函数的最大值； (2) 中，转化为点与取的斜率的范围，即可求解；(3)中，转化为 与距离平方，即可求解.‎ ‎【详解】作出可行域，如图阴影部分所示．‎ ‎ ‎ 由 即 ‎ 由 即 ‎ 由 即 ‎ ‎(1)如图可知 ，在点处取得最优解，； ‎ ‎(2) ，可看作与取的斜率的范围，‎ ‎ 在点，处取得最优解，，‎ 所以 ‎ ‎(3)‎ ‎ 可看作与距离的平方，如图可知 ‎ 所以 ‎ 在点处取得最大值，‎ 所以 ‎【点睛】本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：（1）截距型：形如 .求这类目标函数的最值常将函数 转化为直线的斜截式： ，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如 ；（3）斜率型：形如.‎ ‎22.已知函数（）．‎ ‎（1）若不等式的解集为，求的取值范围；‎ ‎（2）当时，解不等式；‎ ‎（3）若不等式的解集为，若，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.；（3）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）对二项式系数进行讨论，可得求出解集即可；（2）分为，，分别解出3种情形对应的不等式即可；（3）将问题转化为对任意的，不等式恒成立，利用分离参数的思想得恒成立，求出其最大值即可.‎ 试题解析：（1）①当即时，，不合题意；‎ ‎ ②当即时，‎ ‎，即， ‎ ‎∴，∴ ‎ ‎（2）即 即 ‎①当即时，解集为 ‎ ‎②当即时，‎ ‎∵，∴解集为 ‎ ‎③当即时，‎ ‎∵，所以，所以 ‎∴解集为 ‎ ‎（3）不等式的解集为，，‎ 即对任意的，不等式恒成立，‎ 即恒成立，‎ 因为恒成立，所以恒成立， ‎ 设则，，‎ 所以，‎ 因为，当且仅当时取等号，‎ 所以，当且仅当时取等号，‎ 所以当时，，‎ 所以 点睛：本题主要考查了含有参数的一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的思想以及转化与化归的能力，难度一般；对于含有参数的一元二次不等式常见的讨论形式有如下几种情形：1、对二次项系数进行讨论；2、对应方程的根进行讨论；3、对应根的大小进行讨论等；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.‎ ‎ ‎ ‎ ‎