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  • 2021-06-16 发布

江苏省南通市通州区2018-2019学年高二下学期期末考试数学(文)试题

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‎2018-2019学年末学业质量监测 高二数学(选修历史)‎ 参考公式:‎ 样本数据的方差,其中。‎ 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎1.在复平面内,复数1-i(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于第________象限.‎ ‎【答案】一 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据共轭复数的概念,即可得到答案.‎ ‎【详解】的共轭复数是,在复平面对应的点为,故位于第一象限.‎ ‎【点睛】本题主要考查共轭复数的概念,难度很小.‎ ‎2.在半径为2的圆内任取一点,则该点到圆心的距离不大于1的概率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过计算对应面积,即可求得概率.‎ ‎【详解】该点取自圆内,占有面积为,而该点到圆心的距离不大于1占有面积为:,故所求概率为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查几何概型的相关计算,难度不大.‎ ‎3.根据所示的伪代码,若输入的的值为-1,则输出的结果为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过读条件语句,该程序是分段函数,代入即可得到答案.‎ ‎【详解】根据伪代码,可知,当时,,故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查条件程序框图的理解,难度不大.‎ ‎4.甲、乙两位射击爱好者在某次射击比赛中各射靶5次,命中的环数分别为:甲:7,8,7,4,9;乙:9,5,7,8,6,则射击更稳定的爱好者成绩的方差为________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别计算出甲,乙的方差,较小的更加稳定,故为答案.‎ ‎【详解】根据题意,,‎ ‎,同理,,故更稳定的为乙,方差为2.‎ ‎【点睛】本题主要考查统计量方差的计算,难度不大.‎ ‎5.己知复数和均是纯虚数,则的模为________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过纯虚数的概念,即可求得,从而得到模长.‎ ‎【详解】根据题意设,则,又为虚数,则,故,则,故答案为1.‎ ‎【点睛】本题主要考查纯虚数及模的概念,难度不大.‎ ‎6.某校为了解高二年级学生对教师教学的意见,打算从高二年级500名学生中用系统抽样的方法抽取50名进行调查,记500名学生的编号依次为1,2,…,500,若抽取的前两个号码为6,16,则抽取的最大号码为________.‎ ‎【答案】496‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过系统抽样的特征,即可计算出最大编号.‎ ‎【详解】由于间距为,而前两个号码为6,16,则编号构成是以6为首项,10为公差的等差数列,因此最大编号为,故答案为496.‎ ‎【点睛】本题主要考查系统抽样相关计算,难度不大.‎ ‎7.如图所示的流程图中,输出的结果S为________.‎ ‎【答案】25‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按照程序框图的流程,写出每次循环后得到的结果,并判断每个结果是否满足判断框的条件,直到不满足条件,输出即可.‎ ‎【详解】经过第一次循环,;经过第二次循环,;经过第三次循环,;经过第四次循环,;经过第五次循环,;此时已不满足条件,输出.于是答案为25.‎ ‎【点睛】本题主要考查循环结构程序框图的输出结果,难度不大.‎ ‎8.某种饮料每箱装6听,若其中有2听不合格,质检员从中随机抽出2听,则含有不合格品的概率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 含有不合格品分为两类:一件不合格和两件不合格,分别利用组合公式即可得到答案.‎ ‎【详解】质检员从中随机抽出2听共有种可能,而其中含有不合格品共有种可能,于是概率为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查超几何分布的相关计算,难度不大.‎ ‎9.已知集合若,则a的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先可先求出二次方程的两根,由于可判断两根与0 的大小,于是可得到答案.‎ ‎【详解】由于的两根为,由于,所以,即,解得,故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查含参数的一元二次不等式解法,意在考查学生的分析能力和计算能力,难度不大.‎ ‎10.在平面直角坐标系中,己知直线与圆相切,则k的值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过圆心到直线的距离等于半径构建等式,于是得到答案.‎ ‎【详解】根据题意,可知圆心为,半径为2,于是圆心到直线的距离,而直线与圆相切,故,因此解得.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,意在考查学生的计算能力和转化能力,难度不大.‎ ‎11.在中,己知,则的值为________.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过展开,然后利用已知可得,于是整理化简即可得到答案.‎ ‎【详解】由于,因此,所以,即,所以 ‎,则,故答案为0.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式的运用,意在考查学生的基础知识,难度中等.‎ ‎12.已知函数,存在唯一的负数零点,则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对,,三种情况分别讨论可得到取值范围.‎ ‎【详解】当时,而时,,则零点在右段函数取得,故时,,解得;当时,不成立;当时,负零点在左端点取得,于是时,,成立;综上所述,实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数含参零点问题,意在考查学生的分类讨论能力,计算能力,分析能力,难度较大.‎ ‎13.将一根长为1米的木条锯成两段,分别作三角形ABC的两边AB,AC,且.则当AC最短时,第三边BC的长为________米.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出边长,利用余弦定理可找出关系式,化为二次函数用配方法即可得到最小值.‎ ‎【详解】设,则,设,通过余弦定理可得:,即,化简整理得,要使AC最短,则使AB最长,故当时,AB最长,故答案.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的实际应用,意在考查学生的分析能力及计算能力,难度不大.‎ ‎14.在平面凸四边形ABCD中,,点M,N分别是边AD,BC的中点,且,若,,则的值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过表示,再利用可计算出,再计算出可得答案.‎ ‎【详解】由于M,N分别是边AD,BC的中点,故,,所以 ‎,所以,所以,而,所以,即,故,故答案为 ‎【点睛】本题主要考查向量的基底表示,数量积运算,意在考查学生的空间想象能力,运算能力,逻辑分析能力,难度较大.‎ 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15.如图,在四棱锥中,是棱PD的中点,且.‎ ‎(1)求证:CD∥平面ABE;‎ ‎(2)求证:平面ABE丄平面PCD.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)要证CD∥平面ABE,只需说明即可;‎ ‎(2)要证平面ABE丄平面PCD,只需证明平面CDP即可.‎ ‎【详解】(1)证明:根据题意,,故CD∥平面ABE;‎ ‎(2)证明:由于是棱PD的中点,故,而,,因此,显然,故平面CDP,而平面ABE,平面ABE丄平面PCD.‎ ‎【点睛】本题主要考查线面平行,面面垂直的判定,意在考查学生的空间想象能力和分析能力,难度不大.‎ ‎16.在中,己知 ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求值.‎ ‎【答案】(1) ;(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)通过,可计算出C角正弦及余弦值,于是通过诱导公式可得答案;‎ ‎(2)通过,可得,再利用可得答案.‎ ‎【详解】(1) 在中, 由于,故 ,解得 ‎,所以;‎ ‎(2)由(1)可知,而,所以,所以 ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系,诱导公式的运用,意在考查学生的转化能力,计算能力及分析能力,难度不大.‎ ‎17.如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,右准线,过椭圆的右焦点F作轴的垂线,椭圆的切线与直线分别交于两点.‎ ‎(1)求椭圆标准方程;‎ ‎(2)求的值.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由椭圆的离心率公式和准线的方程,可得到关于两个等式,这样可以求出的值,再利用,可以求出,然后写出椭圆的标准方程;‎ ‎(2)因为是椭圆的切线,所以方程组有唯一解,利用代入消元法,根据根的判别式为零,可以求出的值,而后由题意可以求出的坐标,利用两点间距离公式可以求出的值.‎ ‎【详解】(1)椭圆的离心率为,所以有,椭圆右准线,所以有,而,所以,而,因此椭圆的标准方程为;‎ ‎(2)因为是椭圆的切线,所以方程组有唯一解,‎ 把直接方程代入椭圆方程中得:,‎ 所以有,解得 ‎,‎ 所以椭圆的切线方程为,‎ 因此椭圆的切线与准线的交点为,‎ 因为过椭圆的右焦点F作轴的垂线的方程为,‎ 所以椭圆的切线与的交点为,‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的方程、椭圆的切线方程、两点间距离公式,考查了数学运算能力.‎ ‎18.某农场灌溉水渠长为1000m,横截面是等腰梯形ABCD(如图),,其中渠底BC宽为1m,渠口AD宽为3m,渠深.‎ 根据国家对农田建设补贴的政策,该农场计划在原水渠的基础上分别沿AD方向加宽、AB方向加深,若扩建后的水渠横截面仍是等腰梯形,且面积是原面积的2倍.设扩建后渠深为hm,若挖掘费为ah2元/m3,扩建后的水渠的内壁AB1,C1D1和渠底B1C1铺设混凝土费为3a元/m2.‎ ‎(1)试用h表示渠底B1C1的宽,并确定h的取值范围; ‎ ‎(2)问:渠深h为多少时,可使总建设费最少?‎ ‎(注:总建设费为挖掘费与铺设混凝土费之和)‎ ‎【答案】(1),h的取值范围;(2)1m ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)通过前后面积是两倍关系可计算出扩建后的面积,通过梯形面积公式可找出关系式,于是可得答案;‎ ‎(2)找出总建设费用关于h的函数,利用导函数求出极值,于是可得答案.‎ ‎【详解】(1)设,由于,原来的横截面面积,故扩建后的面积为,扩建后,可列方程为:,化简整理得到,而,故,故渠底B1C1的宽为,h的取值范围;‎ ‎(2)由(1)可表示,故 ‎,因此总建设费用为:,令 ‎,则,当时,,当时,,故在处取得极小值,故总建设费用最小为,即渠深h为时,可使总建设费最少.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的实际应用,意在考查学生的转化能力,分析能力,计算能力,逻辑推理能力,难度中等.‎ ‎19.己知数列的首项均为1,各项均为正数,对任意的不小于2的正整数n,总有,成立,‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设数列的前n项和分别为,求所有使得等式成立的正整数m, 的值.‎ ‎【答案】(1),;(2),.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)通过因式分解可判断为等差数列,于是可得通项,通过等比中项性质可知为等比数列,于是可求通项;‎ ‎(2)计算出前n项和,化简式子,通过分解因式找出因子,然后利用正整数解可求得,.‎ ‎【详解】(1)由于 ,整理得,而,故,所以为等差数列,所以;由于,可知为等比数列,,所以;‎ ‎(2)由(1)可得,,所以转化为,整理即,要m, 都为正整数,则 都分别是2的倍数,且,故2的幂指数中,只有4与16相差12,故,故,此时.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式,前n项和的计算,意在考查学生的转化能力,分析能力,计算能力,难度中等.‎ ‎20.已知函数,.‎ ‎(1)求函数的极值;‎ ‎(2)若,其中为自然对数底数,求证:函数有2个不同的零点;‎ ‎(3)若对任意的,恒成立,求实数的最大值.‎ ‎【答案】(1)极小值为;无极大值(2)证明过程见解析;(3).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)对函数求导,利用导数判断出函数的单调性,利用极值定义求出函数的极值;‎ ‎(2)利用导数可求出函数的单调性和最大值,然后分类讨论在不同单调区间上函数存在零点,最后能证明出函数有2个不同的零点;‎ ‎(3)构造新函数,利用导数,求出的值域,然后能求出实数的最大值.‎ ‎【详解】(1)函数的定义域为,因为,所以,‎ 当时,,所以函数单调递增;当时,,所以函数单调递减,因此是函数的极小值,故函数的极值为极小值,值为;无极大值 ‎(2)函数的定义域为,因为所以,‎ 因为,所以当时,,因此函数是递减函数,当时,‎ ‎,函数是递增函数,‎ 所以函数的最大值为: ,‎ 因为,所以,因此有,‎ ‎ 因为,所以,因此当时,函数有唯一零点;‎ 因为,所以,,故函数在时,必有唯一的零点,因此函数有2个不同的零点;‎ ‎(3)设,,‎ ‎,因为,所以函数在时单调递增,即 当时,即,时,,函数在时单调递增,因此有,即当时,恒成立;‎ 当时,所以存在,使得,即当时,函数单调递减,所以此时,显然对于当时,不恒成立,综上所述,,所以实数的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值、零点,考查了不等式恒成立问题.‎ ‎ ‎ ‎ ‎

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