江苏省南通市通州区2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题 15页

‎2018-2019学年末学业质量监测 高二数学（选修历史）‎ 参考公式：‎ 样本数据的方差，其中。‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎1.在复平面内，复数1-i（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于第________象限.‎ ‎【答案】一 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据共轭复数的概念，即可得到答案.‎ ‎【详解】的共轭复数是，在复平面对应的点为，故位于第一象限.‎ ‎【点睛】本题主要考查共轭复数的概念，难度很小.‎ ‎2.在半径为2的圆内任取一点，则该点到圆心的距离不大于1的概率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过计算对应面积，即可求得概率.‎ ‎【详解】该点取自圆内，占有面积为，而该点到圆心的距离不大于1占有面积为：，故所求概率为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查几何概型的相关计算，难度不大.‎ ‎3.根据所示的伪代码，若输入的的值为-1,则输出的结果为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过读条件语句，该程序是分段函数，代入即可得到答案.‎ ‎【详解】根据伪代码，可知，当时，，故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查条件程序框图的理解，难度不大.‎ ‎4.甲、乙两位射击爱好者在某次射击比赛中各射靶5次，命中的环数分别为：甲：7,8,7,4,9；乙：9,5,7,8,6,则射击更稳定的爱好者成绩的方差为________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别计算出甲，乙的方差，较小的更加稳定，故为答案.‎ ‎【详解】根据题意，，‎ ‎，同理，，故更稳定的为乙，方差为2.‎ ‎【点睛】本题主要考查统计量方差的计算，难度不大.‎ ‎5.己知复数和均是纯虚数，则的模为________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过纯虚数的概念，即可求得，从而得到模长.‎ ‎【详解】根据题意设，则，又为虚数，则，故，则，故答案为1.‎ ‎【点睛】本题主要考查纯虚数及模的概念，难度不大.‎ ‎6.某校为了解高二年级学生对教师教学的意见，打算从高二年级500名学生中用系统抽样的方法抽取50名进行调查，记500名学生的编号依次为1,2,…，500,若抽取的前两个号码为6,16,则抽取的最大号码为________.‎ ‎【答案】496‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过系统抽样的特征，即可计算出最大编号.‎ ‎【详解】由于间距为，而前两个号码为6,16,则编号构成是以6为首项，10为公差的等差数列，因此最大编号为，故答案为496.‎ ‎【点睛】本题主要考查系统抽样相关计算，难度不大.‎ ‎7.如图所示的流程图中，输出的结果S为________.‎ ‎【答案】25‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按照程序框图的流程，写出每次循环后得到的结果，并判断每个结果是否满足判断框的条件，直到不满足条件，输出即可.‎ ‎【详解】经过第一次循环，；经过第二次循环，；经过第三次循环，；经过第四次循环，；经过第五次循环，；此时已不满足条件，输出.于是答案为25.‎ ‎【点睛】本题主要考查循环结构程序框图的输出结果，难度不大.‎ ‎8.某种饮料每箱装6听，若其中有2听不合格，质检员从中随机抽出2听，则含有不合格品的概率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 含有不合格品分为两类：一件不合格和两件不合格，分别利用组合公式即可得到答案.‎ ‎【详解】质检员从中随机抽出2听共有种可能，而其中含有不合格品共有种可能，于是概率为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查超几何分布的相关计算，难度不大.‎ ‎9.已知集合若，则a的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先可先求出二次方程的两根，由于可判断两根与0 的大小，于是可得到答案.‎ ‎【详解】由于的两根为，由于，所以，即，解得，故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查含参数的一元二次不等式解法，意在考查学生的分析能力和计算能力，难度不大.‎ ‎10.在平面直角坐标系中，己知直线与圆相切，则k的值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过圆心到直线的距离等于半径构建等式，于是得到答案.‎ ‎【详解】根据题意，可知圆心为，半径为2，于是圆心到直线的距离，而直线与圆相切，故，因此解得.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力，难度不大.‎ ‎11.在中，己知，则的值为________.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过展开，然后利用已知可得，于是整理化简即可得到答案.‎ ‎【详解】由于，因此，所以，即，所以 ‎,则，故答案为0.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式的运用，意在考查学生的基础知识，难度中等.‎ ‎12.已知函数，存在唯一的负数零点，则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对，，三种情况分别讨论可得到取值范围.‎ ‎【详解】当时，而时，，则零点在右段函数取得，故时，，解得；当时，不成立；当时，负零点在左端点取得，于是时，，成立；综上所述，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数含参零点问题，意在考查学生的分类讨论能力，计算能力，分析能力，难度较大.‎ ‎13.将一根长为1米的木条锯成两段，分别作三角形ABC的两边AB，AC，且.则当AC最短时，第三边BC的长为________米.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出边长，利用余弦定理可找出关系式，化为二次函数用配方法即可得到最小值.‎ ‎【详解】设，则，设，通过余弦定理可得：，即，化简整理得，要使AC最短，则使AB最长，故当时，AB最长，故答案.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的实际应用，意在考查学生的分析能力及计算能力，难度不大.‎ ‎14.在平面凸四边形ABCD中，，点M，N分别是边AD，BC的中点，且，若，，则的值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过表示，再利用可计算出，再计算出可得答案.‎ ‎【详解】由于M，N分别是边AD，BC的中点，故，，所以 ‎，所以，所以，而，所以，即，故，故答案为 ‎【点睛】本题主要考查向量的基底表示，数量积运算，意在考查学生的空间想象能力，运算能力，逻辑分析能力，难度较大.‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15.如图，在四棱锥中，是棱PD的中点，且.‎ ‎（1）求证：CD∥平面ABE；‎ ‎（2）求证：平面ABE丄平面PCD.‎ ‎【答案】(1)见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)要证CD∥平面ABE，只需说明即可；‎ ‎（2）要证平面ABE丄平面PCD，只需证明平面CDP即可.‎ ‎【详解】（1）证明：根据题意，,故CD∥平面ABE；‎ ‎（2）证明：由于是棱PD的中点，故，而，，因此，显然，故平面CDP，而平面ABE，平面ABE丄平面PCD.‎ ‎【点睛】本题主要考查线面平行，面面垂直的判定，意在考查学生的空间想象能力和分析能力，难度不大.‎ ‎16.在中，己知 ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求值.‎ ‎【答案】(1) ;(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过，可计算出C角正弦及余弦值，于是通过诱导公式可得答案；‎ ‎（2）通过，可得，再利用可得答案.‎ ‎【详解】(1) 在中, 由于，故 ，解得 ‎，所以；‎ ‎（2）由（1）可知，而，所以，所以 ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系，诱导公式的运用，意在考查学生的转化能力，计算能力及分析能力，难度不大.‎ ‎17.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，右准线，过椭圆的右焦点F作轴的垂线，椭圆的切线与直线分别交于两点.‎ ‎（1）求椭圆标准方程；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由椭圆的离心率公式和准线的方程，可得到关于两个等式，这样可以求出的值，再利用，可以求出，然后写出椭圆的标准方程；‎ ‎（2）因为是椭圆的切线，所以方程组有唯一解，利用代入消元法，根据根的判别式为零，可以求出的值，而后由题意可以求出的坐标，利用两点间距离公式可以求出的值.‎ ‎【详解】（1）椭圆的离心率为，所以有，椭圆右准线，所以有，而，所以，而，因此椭圆的标准方程为；‎ ‎（2）因为是椭圆的切线，所以方程组有唯一解，‎ 把直接方程代入椭圆方程中得：，‎ 所以有，解得 ‎，‎ 所以椭圆的切线方程为，‎ 因此椭圆的切线与准线的交点为，‎ 因为过椭圆的右焦点F作轴的垂线的方程为，‎ 所以椭圆的切线与的交点为，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的方程、椭圆的切线方程、两点间距离公式，考查了数学运算能力.‎ ‎18.某农场灌溉水渠长为1000m,横截面是等腰梯形ABCD（如图），,其中渠底BC宽为1m，渠口AD宽为3m,渠深.‎ 根据国家对农田建设补贴的政策，该农场计划在原水渠的基础上分别沿AD方向加宽、AB方向加深，若扩建后的水渠横截面仍是等腰梯形，且面积是原面积的2倍.设扩建后渠深为hm，若挖掘费为ah2元/m3，扩建后的水渠的内壁AB1，C1D1和渠底B1C1铺设混凝土费为3a元/m2.‎ ‎（1）试用h表示渠底B1C1的宽，并确定h的取值范围； ‎ ‎（2）问：渠深h为多少时，可使总建设费最少？‎ ‎（注：总建设费为挖掘费与铺设混凝土费之和）‎ ‎【答案】（1），h的取值范围；（2）1m ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过前后面积是两倍关系可计算出扩建后的面积，通过梯形面积公式可找出关系式，于是可得答案；‎ ‎（2）找出总建设费用关于h的函数，利用导函数求出极值，于是可得答案.‎ ‎【详解】（1）设，由于，原来的横截面面积，故扩建后的面积为，扩建后，可列方程为：，化简整理得到，而，故，故渠底B1C1的宽为，h的取值范围；‎ ‎（2）由（1）可表示，故 ‎，因此总建设费用为：，令 ‎，则，当时，，当时，，故在处取得极小值，故总建设费用最小为，即渠深h为时，可使总建设费最少.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的实际应用，意在考查学生的转化能力，分析能力，计算能力，逻辑推理能力，难度中等.‎ ‎19.己知数列的首项均为1,各项均为正数，对任意的不小于2的正整数n，总有，成立，‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前n项和分别为，求所有使得等式成立的正整数m, 的值.‎ ‎【答案】（1），；（2），.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)通过因式分解可判断为等差数列，于是可得通项，通过等比中项性质可知为等比数列，于是可求通项；‎ ‎（2）计算出前n项和，化简式子，通过分解因式找出因子，然后利用正整数解可求得，.‎ ‎【详解】(1)由于 ，整理得，而，故，所以为等差数列，所以；由于，可知为等比数列，，所以；‎ ‎（2）由（1）可得，，所以转化为，整理即，要m, 都为正整数，则 都分别是2的倍数，且，故2的幂指数中，只有4与16相差12，故，故，此时.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式，前n项和的计算，意在考查学生的转化能力，分析能力，计算能力，难度中等.‎ ‎20.已知函数，.‎ ‎（1）求函数的极值；‎ ‎（2）若，其中为自然对数底数，求证：函数有2个不同的零点；‎ ‎（3）若对任意的，恒成立，求实数的最大值.‎ ‎【答案】（1）极小值为；无极大值（2）证明过程见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对函数求导，利用导数判断出函数的单调性，利用极值定义求出函数的极值；‎ ‎（2）利用导数可求出函数的单调性和最大值，然后分类讨论在不同单调区间上函数存在零点，最后能证明出函数有2个不同的零点；‎ ‎（3）构造新函数，利用导数，求出的值域，然后能求出实数的最大值.‎ ‎【详解】（1）函数的定义域为，因为，所以，‎ 当时，，所以函数单调递增；当时，，所以函数单调递减，因此是函数的极小值，故函数的极值为极小值，值为；无极大值 ‎（2）函数的定义域为，因为所以，‎ 因为，所以当时，，因此函数是递减函数，当时，‎ ‎，函数是递增函数，‎ 所以函数的最大值为： ，‎ 因为，所以，因此有，‎ ‎ 因为，所以，因此当时，函数有唯一零点；‎ 因为，所以，，故函数在时，必有唯一的零点，因此函数有2个不同的零点；‎ ‎（3）设，，‎ ‎，因为，所以函数在时单调递增，即 当时，即，时，，函数在时单调递增，因此有，即当时，恒成立；‎ 当时，所以存在，使得，即当时，函数单调递减，所以此时，显然对于当时，不恒成立，综上所述，，所以实数的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值、零点，考查了不等式恒成立问题.‎ ‎ ‎ ‎ ‎