【数学】2018届一轮复习人教A版数列的概念与简单表示法学案 10页

‎　‎ ‎1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．‎ ‎2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．‎ 知识点一　数列的定义、分类与通项公式 ‎ ‎1．数列的定义 ‎(1)数列：按照________排列的一列数．‎ ‎(2)数列的项：数列中的________．‎ ‎2．数列的分类 ‎3.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与______之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．‎ 答案 ‎1．(1)一定顺序　(2)每一个数 ‎2．有限　无限　>　<　3.序号n ‎1．给出下列有关数列的说法：‎ ‎(1)数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}；‎ ‎(2)数列1,3,5,7与数列7,5,3,1是同一数列；‎ ‎(3)数列1,3,5,7与数列1,3,5,7，…是同一数列；‎ ‎(4)数列an＝n－2的图象是一群孤立的点．‎ 其中说法正确的序号是________．‎ 解析：(1)错误，构成数列的数是有顺序的，而集合中的元素是无序的，这是数列与数集的差别．‎ ‎(2)错误，两数列的数相同但排列次序不相同，不是相同的数列．‎ ‎(3)错误，数列1,3,5,7是有限数列，而数列1,3,5,7，…是无穷数列．‎ ‎(4)正确．‎ 答案：(4)‎ ‎2．(必修⑤P31练习第4(1)题改编)数列1，，，，，…的一个通项公式an是________．‎ 解析：由已知得，数列可写成，，，…，故通项为.‎ 答案： 知识点二　　数列的递推公式 ‎ 如果已知数列{an}的________(或________)，且任何一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即an＝f(an－1)或an＝f(an－1，an－2)，那么这个式子叫做数列{an}的递推公式．‎ 答案 第一项　前几项 ‎3．(必修⑤P31例3改编)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a4＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：由题意知，a1＝1，a2＝2，a3＝，a4＝.‎ 答案：B ‎4．已知数列{an}中，an∈，an＋1＝＋a，则数列{an}是________数列(填“递增”或“递减”)．‎ 解析：∵an＋1－an＝a－an＋＝(an－1)2－，又0，即(an－1)2－>0，∴an＋1－an>0，即an＋1>an对一切正整数n都成立，故数列{an}是递增数列．‎ 答案：递增 知识点三　数列的前n项和与通项的关系 ‎ 数列的前n项和通常用Sn表示，记作__________________，则通项__________________．‎ 若当n≥2时求出的an也适合n＝1时的情形，则用一个式子表示an，否则分段表示．‎ 答案 Sn＝a1＋a2＋…＋an　an＝ ‎5．数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________.‎ 解析：当n＝1时，a1＝S1＝2；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋1)－[(n－1)2＋1]＝n2－(n－1)2＝2n－1，∴an＝ 答案： ‎6．若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________.‎ 解析：当n＝1时，a1＝1；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，故＝－2，故an＝(－2)n－1.‎ 当n＝1时，也符合an＝(－2)n－1.综上，an＝(－2)n－1.‎ 答案：(－2)n－1‎ 热点一　由数列的前n项求数列的通项公式 ‎ ‎【例1】　(1)已知数列{an}的前4项为2,5,8,11，则数列{an}的一个通项公式是________．‎ ‎(2)已知数列{an}的前4项为－，，－，，则数列{an}的一个通项公式是________．‎ ‎(3)如图所示，这是一个正六边形的序列，则第n个图形的边数为(　　)‎ A．5n－1 B．6n C．5n＋1 D．4n＋2‎ ‎【解析】　(1)从第二项起，每一项都比前一项大3，且每一项都比项数的3倍少1，故其通项公式可以为an＝3n－1.‎ ‎(2)原数列为－，，－，，对于分子1,3,6,10，其通项公式为bn＝，对于分母2,5,10,17，其通项公式为cn＝n2＋1，故可得数列{an}的一个通项公式为an＝‎ ‎(－1)n.‎ ‎(3)第一个图形是六边形，即a1＝6，以后每个图形是在前一个图形的基础上增加5条边，所以a2＝6＋5＝11 ，a3＝11＋5＝16，观察可得选项C满足此条件．‎ ‎【答案】　(1)an＝3n－1‎ ‎(2)an＝(－1)n　(3)C ‎【总结反思】‎ 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征．应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想.‎ ‎(1)(2017·湖南长沙一模)已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项不可能是(　　)‎ A．an＝(－1)n－1＋1‎ B．an＝ C．an＝2sin D．an＝cos(n－1)π＋1‎ ‎(2)(2017·石家庄模拟)把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)．‎ 则第7个三角形数是(　　)‎ A．27 B．28‎ C．29 D．30‎ 解析：(1)对n＝1,2,3,4进行验证，an＝2sin不合题意，故选C.‎ ‎(2)由图可知，第7个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.‎ 答案：(1)C　(2)B 热点二 an与Sn关系的应用 ‎ 考向1　已知Sn求an ‎【例2】　已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为________．‎ ‎【解析】　当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为an＝ ‎【答案】　an＝ 若本例中条件“前n项和Sn＝3n2－2n＋‎1”‎改为“前n项积为Tn＝3n2－2n＋‎1”‎，求an.‎ 解：当n＝1时，a1＝T1＝3×12－2×1＋1＝2，当n≥2时，an＝＝＝.‎ 显然当n＝1时，满足上式．‎ 故数列的通项公式为an＝.‎ 考向2　利用an与Sn的关系求Sn ‎【例3】　(2016·新课标全国卷Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.‎ ‎【解析】　将an＋1转化为Sn与Sn＋1，再求解．‎ 由已知得an＋1＝Sn＋1－Sn＝Sn＋1·Sn，两边同时除以－Sn＋1·Sn，得－＝－1，故数列是以－1为首项，－1为公差的等差数列，则＝－1－(n－1)＝－n，所以Sn＝－.‎ ‎【答案】　－ ‎【总结反思】‎ 数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝‎ 当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示.‎ ‎(2016·浙江卷)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________.‎ 解析：由于解得a1＝1，由an＋1＝Sn＋1－Sn＝2Sn＋1得Sn＋1＝3Sn＋1，所以Sn＋1＋＝3(Sn＋)，所以{Sn＋}是以为首项，3为公比的等比数列，所以Sn＋＝×3n－1，即Sn＝，所以S5＝121.‎ 答案：1　121‎ 热点三 由递推公式求通项公式 ‎ ‎【例4】　设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则an＝________.‎ ‎【解析】　由条件知an＋1－an＝n＋1，‎ 则an＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＋a1＝(2＋3＋4＋…＋n)＋2＝.‎ ‎【答案】　 ‎1．若将“an＋1＝an＋n＋‎1”‎改为“an＋1＝an”，如何求解？‎ 解：∵an＋1＝an，∴＝.‎ ‎∴an＝···…···a1，‎ ‎＝···…··2＝.‎ ‎2．若将“an＋1＝an＋n＋‎1”‎改为“an＋1＝2an＋‎3”‎，如何求解？‎ 解：设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，解得t＝－3.故an＋1＋3＝2(an＋3)．令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝5，且＝＝2.所以{bn}是以5为首项，2为公比的等比数列．‎ 所以bn＝5×2n－1，故an＝5×2n－1－3.‎ ‎3．若将“an＋1＝an＋n＋‎1”‎改为“an＋1＝”，如何求解？‎ 解：∵an＋1＝，a1＝2，∴an≠0，‎ ‎∴＝＋，即－＝，‎ 又a1＝2，则＝，‎ ‎∴是以为首项，为公差的等差数列．‎ ‎∴＝＋(n－1)×＝.∴an＝.‎ ‎4．若将本例条件换为“a1＝1，an＋1＋an＝2n”，如何求解？‎ 解：∵an＋1＋an＝2n，∴an＋2＋an＋1＝2n＋2，故an＋2－an＝2.‎ 即数列{an}是奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列．‎ 当n为偶数时，a2＝1，故an＝a2＋2＝n－1.‎ 当n为奇数时，∵an＋1＋an＝2n，an＋1＝n(n＋1为偶数)，故an＝n.‎ 综上所述，an＝n≥1，n∈N*.‎ ‎【总结反思】‎ 由递推关系式求通项公式的常用方法 ‎(1)已知a1且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an.‎ ‎(2)已知a1且＝f(n)，可用“累乘法”求an.‎ ‎(3)已知a1且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{an＋k}．‎ ‎(4)形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．‎ ‎(5)形如an＋1＋an＝f(n)的数列，可将原递推关系改写成an＋2＋an＋1＝f(n＋1)，两式相减即得an＋2－an＝f(n＋1)－f(n)，然后按奇偶分类讨论即可.‎ 热点四 数列性质的应用 ‎ ‎【例5】　(1)(2017·云南一模)在数列{an}中，a1＝，a2＝，anan＋2＝1，则a2 016＋a2 017＝(　　)‎ A. B. C. D．5‎ ‎(2)已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.‎ ‎①若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；‎ ‎②对于n∈N*，都有an＋1>an，求实数k的取值范围．‎ ‎【解析】　(1)因为a1＝，a2＝，anan＋2＝1，所以a3＝2，a4＝3，a5＝，a6＝，即数列{an}是周期数列，周期为4，则a2 016＋a2 017＝a4＋a1＝3＋＝，故选C.‎ ‎(2)解：①由n2－5n＋4<0，‎ 解得1an知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－<，即得k>－3.‎ 所以实数k的取值范围为(－3，＋∞)．‎ ‎【答案】　(1)C ‎【总结反思】‎ ‎(1)解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．‎ ‎(2)解决数列的单调性问题可用以下三种方法 ‎①用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或是常数列．‎ ‎②用作商比较法，根据(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断．‎ ‎③结合相应函数的图象直观判断．‎ ‎(3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解.‎ ‎(1)(2017·安徽皖江名校联考)已知数列{an}的首项为2，且数列{an}满足an＋1＝，数列{an}的前n项的和为Sn，则S2 016为(　　)‎ A．504 B．588‎ C．－588 D．－504‎ ‎(2)已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为________．‎ 解析：(1)∵a1＝2，an＋1＝，∴a2＝，a3＝－，a4＝－3，a5＝2，……，∴数列{an}的周期为4，且a1＋a2＋a3＋a4＝－，∵2 016÷4＝504，∴S2 016＝504×＝－588，故选C.‎ ‎(2)an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2[1＋2＋…＋(n－1)]＋33＝33＋n2－n，所以＝＋n－1.‎ 构造函数f(x)＝＋x－1(x>0)，求导得到f′(x)＝－＋1.令f′(x)>0，解得x>；令f′(x)<0，解得0