陕西省汉中市重点中学2020届高三4月开学第一次联考数学（理）试题 12页

高三数学试卷（理科）‎ 考生注意：‎ ‎1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．‎ ‎2．请将各题答案填写在答题卡上．‎ ‎3．本试卷主要考试内容；高考全部内容．‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，若，则（ ）‎ A．4 B． C．8 D．‎ ‎2．已知a，，，则（ ）‎ A． B． C．3 D．4‎ ‎3．设双曲线的焦距为12．则（ ）‎ A．1 B．‎3 C．2 D．4‎ ‎4．设非零向量，满足，，，则（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎5．将甲、乙、丙、丁、戊5名护士派往5所医院（含A医院），每所医院派1名护士，则甲和乙都不派往A医院的总派法数为（ ）‎ A．48 B．‎60 C．72 D．96‎ ‎6．如图所示的曲线图是‎2020年1月25日至‎2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断错误的是（ ）‎ A．‎1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了 B．‎1月25日至‎2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势 C．‎2月2日后到‎2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例 D．‎2月8日到‎2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于‎2月6日到‎2月8日的增长率 ‎7．若，则的最小值为（ ）‎ A．2 B． C．4 D．‎ ‎8．若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知函数的图象关于点对称，当时，，且在上单调递增，则m的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知函数，则（ ）‎ A．的最小正周期为 B．曲线关于对称 C．的最大值为2 D．曲线关于对称 ‎11．如图，在正四棱柱中，，E，F分别为AB，BC的中点，异面直线与所成角的余弦值为m，则（ ）‎ A．直线与直线异面，且 B．直线与直线共面，且 C．直线与直线异面，且 D．直线与直线共面，且 ‎12．若曲线存在两条垂直于y轴的切线，则m的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎13．a，b，c分别为内角A，B，C的对边．已知．则________．‎ ‎14．若x，y满足约束条件，则的取值范围为________．‎ ‎15．四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB，AC，AD两两垂直，且，，，则四面体ABCD的体积为________，球O的表面积为________．（本题第一空2分．第二空3分）‎ ‎16．设，，若直线上存在一点P满足，且的内心到x轴的距离为，则________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17．（12分）‎ 设等差数列的公差为2，等比数列的公比为2，且，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前n项和．‎ ‎18．（12分）‎ 如图，四棱锥的底面是正方形，E为AB的中点，，，，．‎ ‎（1）证明：平面PCD．‎ ‎（2）求DA与平面PCE所成角的正弦值．‎ ‎19．（12分）‎ 某厂加工的零件按箱出厂，每箱有10个零件，在出厂之前需要对每箱的零件作检验，人工检验方法如下：先从每箱的零件中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是正品或都是次品，则停止检验；若抽取的零件至少有1个至多有3个次品，则对剩下的6个零件逐一检验．已知每个零件检验合格的概率为0.8，每个零件是否检验合格相互独立，且每个零件的人工检验费为2元．‎ ‎（1）设1箱零件人工检验总费用为X元，求X的分布列；‎ ‎（2）除了人工检验方法外还有机器检验方法，机器检验需要对每箱的每个零件作检验，每个零件的检验费为1.6元．现有1000箱零件需要检验，以检验总费用的数学期望为依据，在人工检验与机器检验中，应该选择哪一个?说明你的理由．‎ ‎20．（12分）‎ 设抛物线的焦点为F，准线为l，AB为抛物线C．过焦点F的弦，已知以AB为直径的圆与l相切于点．‎ ‎（1）求p的值及圆的方程；‎ ‎（2）设M为l上任意一点，过点M作C的切线，切点为N，证明：．‎ ‎21．（12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）讨论在上的单调性；‎ ‎（2）若，求不等式的解集．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求曲线C的极坐标方程；‎ ‎（2）若点P的极坐标为，过P的直线与曲线C交于A，B两点，求的最大值．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）记函数的最小值为m，若a，b，c均为正实数，且，求的最小值．‎ 参考答案 ‎1．B 由，可知，所以，解得．‎ ‎2．A 因为，所以，解得，则．‎ ‎3．C 因为可化为，所以，则．‎ ‎4．A ，，，．‎ ‎5．C 因为甲和乙都不去A医院，所以去A医院的只有丙、丁、戊3名护士，故甲和乙都不派往A医院的总派法数为．‎ ‎6．D ‎1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有87例，其中西安32例，所以西安所占比例为，故A正确；由曲线图可知，‎1月25日至‎2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势，故B正确；‎2月2日后到‎2月10日 陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了例，故C正确；‎2月8日到‎2月10日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了，‎2月6日到‎2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了，显然，故D错误．‎ ‎7．C 因为，所以，‎ 则，当且仅当时，等号成立，故的最小值为4．‎ ‎8．D 因为，所以，所以．‎ ‎9．C 依题意可得在上单调递增，则，即．‎ ‎10．D ，则．的最大值为，曲线关于对称，但曲线不关于对称．‎ ‎11．B 连接EF，，，DF，易证，所以直线与直线共面．易证，所以异面直线与所成角为．设，则，则，，，由余弦定理．‎ ‎12．A 由题意可得，即在上有两个不同的解．设，．当时，；当时，．所以，当时，‎ ‎ ，故．‎ ‎13． 因为，所以，又，所以．‎ ‎14． 作出可行域，如图所示，则，故z的取值范围为．‎ ‎15．1； 因为AB，AC，AD两两垂直，且，，，所以四面体ABCD的体积，球O的表面积为．‎ ‎16． 由题可得点P为直线与椭圆的交点，‎ 联立与，消去y得，则．‎ 因为的内心到x轴的距离为，所以的内切圆的半径，‎ 所以的面积为，‎ 即，，解得，又，则．‎ ‎17．解：（1）因为，，所以，， 2分 依题意可得，， 3分 ‎， 4分 故． 6分 ‎（2）由（1）可知，， 8分 故 9分 ‎． 12分 ‎18．（1）证明：因为E为AB的中点，，‎ 所以， 1分 所以，从而． 2分 又，， 3分 所以底面ABCD，所以． 4分 因为四边形ABCD是正方形，所以． 5分 又，所以平面PCD． 6分 ‎（2）解：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，‎ 则，，，， 7分 所以，，． 8分 设平面PCE的法向量为，‎ 则，即， 9分 令，得． 10分 ‎， 11分 故DA与平面PCE所成角的正弦值为． 12分 ‎19．解：（1）X的可能取值为8，20， 1分 ‎， 3分 ‎， 5分 则X的分布列为 X ‎8‎ ‎20‎ P ‎0.4112‎ ‎0.5888‎ ‎ 6分 ‎（2）由（1）知，， 8分 所以1000箱零件的人工检验总费用的数学期望为元． 9分 因为1000箱零件的机器检验总费用的数学期望为元， 10分 且， 11分 所以应该选择人工检验． 12分 ‎20．（1）解：由题意得l的方程为， 1分 所以解得． 3分 又由抛物线和圆的对称性可知，所求圆的圆心为， 4分 所以圆的方程为． 5分 ‎（2）证明：易知直线MN的斜率存在且不为0，‎ 设，MN的方程为，代入C的方程，‎ 得． 6分 令，得， 7分 所以，解得．‎ 将代入C的方程，得，即N点的坐标为， 9分 所以，， 10分 ‎， 11分 故． 12分 ‎21．解：（1）． 1分 当时，，则在上单调递增． 2分 当时，令，得． 3分 ‎（ⅰ）当时，，‎ 令，得；令，得．‎ 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． 4分 ‎（ⅱ）当时，，‎ 令，得；令，得或．‎ 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，． 5分 ‎（ⅲ）当时，，‎ 令，得﹔令，得．‎ 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． 6分 ‎（2）因为，所以，当时，，所以在上单调递增． 8分 因为，‎ 所以原不等式等价于． 9分 因为，， 10分 所以， 11分 解得，故所求不等式的解集为． 12分 ‎22．解：（1）由，得， 2分 即，所以， 4分 即，故曲线C的极坐标方程为． 5分 ‎（2）因为P的极坐标为，所以P的直角坐标为，‎ 故可设AB的参数方程为（为参数）． 6分 将代入，得， 7分 则，， 8分 所以， 9分 故的最大值为． 10分 ‎23．解：（1）当时，由，得，则； 1分 当时，由，得，又，则； 2分 当时，由，得，则． 3分 故不等式的解集为． 5分 ‎ （2）因为，所以当时，取得最小值，故． 7分 由柯西不等式， 8分 当且仅当，即，时，等号成立， 9分 所以，故的最小值为1． 10分