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- 2021-06-16 发布
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定远县民族中学2019-2020学年上学期期中考试
高一数学试题
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)
1.设全集U＝R，A＝{x|<2}，B＝{x|>－log2(x2＋2)}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. {x|1≤x<2} B. {x|x≥1} C. {x|00时，f(x)>1，且f(3)＝4，则（ ）
A. f(x)在R上是减函数，且f(1)＝3
B. f(x)在R上是增函数，且f(1)＝3
C. f(x)在R上是减函数，且f(1)＝2
D. f(x)在R上是增函数，且f(1)＝2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据定义判断函数的单调性,根据,利用赋值法即可求得的值.
【详解】函数在R上单调递增,证明过程如下:
任取,且
则
因为,所以
又因为当时,
所以,即
则,可得
所以函数在R上单调递增
令,由
可得
令
可得
因为
所以
综上可知,D为正确选项
故选:D
【点睛】本题考查了利用定义证明抽象函数的单调性,赋值法求函数值的应用,属于中档题.
4.设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：设是函数的图像上任意一点，它关于直线对称为（），由已知（）在函数的图像上，∴，解得，即，∴，解得，故选C．
考点：函数求解析式及求值
5.f(x)是定义在R上的增函数，则下列结论一定正确的是（ ）
A. f(x)＋f(－x)是偶函数且是增函数
B. f(x)＋f(－x)是偶函数且是减函数
C. f(x)－f(－x)是奇函数且是增函数
D. f(x)－f(－x)是奇函数且是减函数
【答案】C
【解析】
【分析】
举出反例,可以说明错误的选项;根据奇偶性和单调性的定义证明正确选项即可.
【详解】令,则
对于A选项, ,偶函数但不是增函数,所以A错误;
对于B选项, ,是偶函数但不是减函数,所以B错误;
对于C选项, 因为是定义在R上的增函数,则是定义在R上的减函数,所以是定义在R上的增函数,所以是定义在R上的增函数.
令,则
所以为奇函数,所以C正确;
对于D选项, ,是奇函数但不是减函数,所以D错误;
综上可知,C为正确选项
故选:C
【点睛】本题考查了函数奇偶性及单调性的综合应用,举反例法说明错误选项,正确选项需要证明,属于基础题.
6.已知定义在R上的奇函数和偶函数满足
，若，则（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】
故选：C.
7.若函数的值域是，则函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：设=t,则,从而的值域就是函数的值域，由“勾函数”的图象可知，，故选B．
考点：函数的值域．
8.如图，正方形的顶点，，顶点位于第一象限，直线
将正方形分成两部分，记位于直线左侧阴影部分的面积为，则函数的图象大致是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
可知正方形边长为。当时，阴影部分为边长为的等腰直角三角形，此时；当时，阴影部分为正方形减去一个边长为的等腰直角三角形，此时。综上可得，函数的图象大致为C
9.已知，，若对任意的，存在，使，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
将问题转化为来列不等式，解不等式求得的取值范围.
【详解】要使对任意的，存在，使，则需.当时，取得最解得小值为.当时，取得最小值为，故，解得，故选D.
【点睛】本小题主要考查恒成立问题和存在性问题，考查函数最大值最小值的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
10.设0loga5，则m的取值范围是________．
【答案】(0,5)
【解析】
分析】
根据对数函数的单调性,即可求得的取值范围.
【详解】因为,即
所以函数单调递减
所以若,则
由对数定义域可知
综上可知, 的取值范围为
故答案为:
【点睛】本题考查了对数函数的单调性及简单应用,属于基础题.
三、解答题(共6小题,共70分)
17.设函数f(x)＝log2(ax－bx)，且f(1)＝1，f(2)＝log212.
(1)求a，b的值；
(2)当x∈[1,3]时，求f(x)的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
(1)根据两个式子，代入得关于a、b的方程组，解方程即可求得a、b的值。
(2)利用换元法，转化为二次函数形式，根据x的取值范围即可求得对数的最大值。
【详解】(1)由
得
∴ 即
∴a＝4，b＝2.
(2)由(1)知f(x)＝log2(4x－2x)，
设t＝2x，∵x∈[1,3]，∴t∈[2,8]．
令u＝4x－2x＝t2－t＝－ ，
∴当t＝8，即x＝3时，umax＝56.
故f(x)的最大值为log256.
【点睛】本题考查了对数函数的求值，换元法的简单应用，属于基础题。
18.已知函数f(x)＝|－1|.
(1)作出函数y＝f(x)的图象；
(2)若af(c)，求证：2a＋2c<4.
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【详解】(1)f(x)＝其图象如图所示．
(2)证明：由图知，f(x)在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，故结合条件知必有a<1.
若c≤1，则2a<2，2c≤2，所以2a＋2c<4；
若c>1，则由f(a)>f(c)，得1－>－1，即＋<2，所以2a＋2c<4.
综上知，总有2a＋2c<4.
19.已知a＝，b＝9.求：
(1)÷；
(2).
【答案】（1）3；（2）
【解析】
【分析】
(1) 由根式与分数指数幂的转化,结合分数指数幂的运算,化简即可得解.
(2) 将负分数指数化为分母形式,去分母,代入的值即可求解.
【详解】(1)
因为
所以
(2)去负指数后化简,可得
因为,
所以
【点睛】本题考查了根式与分数指数幂的化简运算,立方和公式的用法,属于基础题.
20.已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)画出f(x)的图像，并指出f(x)的单调区间．
【答案】(1) 见解析； (2)增区间为[－1,0)及(0,1]，减区间为(－∞，－1]及[1，＋∞)
【解析】
【分析】
（1）只需先求出x≤0时的表达式．由奇函数的性质可得f（﹣0）=﹣f（0），可求得f（0）；当x＜0时，﹣x＞0，利用已知表达式可求得f（﹣x），根据奇函数性质可得f（x）=﹣f（﹣x），由此可求得f（x）；（2）根据二次函数的图像的性质可分段求出单调区间；
【详解】(1)设x<0，则－x>0.
∴f(－x)＝－(－x)2－2x＋2＝－x2－2x＋2.
又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝x2＋2x－2.
又f(0)＝0，∴f(x)＝
(2)先画出y＝f(x)(x>0)的图像，利用奇函数的对称性可得到相应y＝f(x)(x<0)的图像，其图像如图所示．
由图可知，其增区间为[－1,0)及(0,1]，
减区间为(－∞，－1]及[1，＋∞)
【点睛】本题考查利用奇偶性求分段函数的解析式，考查二次函数的单调性，考查分类讨论思想．求解析式时，一般是求谁设谁，再通过奇偶性将设的自变量的范围转化到已知表达式的一段上的自变量的范围，直接代入解析式，最终通过奇偶性得到结果即可.
21.设函数f(x)的定义域是R，对于任意的x，y，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)>0.
(1)求f(0)的值；
(2)判断函数的奇偶性；
(3)用函数单调性的定义证明函数f(x)为增函数．
【答案】(1) f(0)＝0 ；(2) 奇函数；(3)证明见解析
【解析】
【分析】
(1) 利用赋值法即可求得的值.
(2) 令代入式子,然后根据(1)中的结论,结合奇偶性定义即可判断函数奇偶性.
(3) 任取,利用作差法即可判断函数的单调性.
【详解】(1) 令,代入中可得
(2)函数为奇函数,理由如下:
已知函数的定义域为R,
令代入,
得
由(1)可知,则
即为奇函数
(3)任取且
则
因当时,
且
所以,则
则函数为R上的增函数
【点睛】本题考查了抽象函数中函数值的求法,抽象函数单调性与奇偶性的证明,赋值法的应用,属于基础题.
22.已知f(x)＝x2＋(a＋1)x＋a2(a∈R)，若f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和．
(1)求g(x)和h(x)的解析式；
(2)若f(x)和g(x)在区间(－∞，(a＋1)2]上都是减函数，求f(1)的取值范围．
【答案】（1）g(x)＝(a＋1)x，h(x)＝x2＋a2； （2）.
【解析】
【分析】
(1)先设所以，解方程组即得g(x)、h(x).(2)由题得－≥(a＋1)2且a＋1<0，从而－≤a<－1，再利用二次函数求f(1)的取值范围．
【详解】(1) 设所以
，
解之即得g(x)＝(a＋1)x，h(x)＝x2＋a2.
(2)因为f(x)和g(x)在区间(－∞，(a＋1)2]上都是减函数，
所以－≥(a＋1)2，即－≤a≤－1，
且a＋1<0，即a<－1，
从而 －≤a<－1，
又f(1)＝a＋2＋a2，可看成是关于变量a的函数f(a)，又f(a)在区间[－，－1)上单调递减，所以f(1)的取值范围为2
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