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- 2021-06-16 发布
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第2讲 不等式选讲
本部分主要考查绝对值不等式的解法.求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想.
热点一 含绝对值不等式的解法
含有绝对值的不等式的解法
(1)|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a.
(2)|f(x)|0)⇔－a1时，①式化为x2＋x－4≤0，
从而10，b>0，a3＋b3＝2，证明：
(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；
(2)a＋b≤2.
证明 (1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6
＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)
＝4＋ab(a4＋b4－2a2b2)
＝4＋ab(a2－b2)2≥4.
(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
＝2＋3ab(a＋b)
≤2＋(a＋b)
＝2＋，
所以(a＋b)3≤8，
因此a＋b≤2.
押题预测
1．已知函数f(x)＝|x－2|＋|2x＋a|，a∈R.
(1)当a＝1时，解不等式f(x)≥4；
(2)若∃x0，使f(x0)＋|x0－2|<3成立，求a的取值范围．
押题依据 不等式选讲问题中，联系绝对值，关联参数、体现不等式恒成立是考题的“亮点”所在，存在问题、恒成立问题是高考的热点，备受命题者青睐．
解 (1)当a＝1时，f(x)＝|x－2|＋|2x＋1|.
由f(x)≥4，得|x－2|＋|2x＋1|≥4.
当x≥2时，不等式等价于x－2＋2x＋1≥4，
解得x≥，所以x≥2；
当－2时，原不等式等价于
(x－2)＋(x＋4)≥x2＋4x＋3，
即x2＋2x＋1≤0，解得x＝－1，得x∈∅.
综上可知，不等式f(x)≥g(x)的解集是{x|－5≤x≤－2＋}．
(2)∵|x－2|＋|x＋4|≥|x－2－x－4|＝6，
且f(x)≥|1－5a|恒成立，
∴6≥|1－5a|，即－6≤1－5a≤6，
∴－1≤a≤，∴a的取值范围是.
2. (2017届陕西省渭南市二模)已知函数f(x)＝|x＋3|－m，m>0，f(x－3)≥0的解集为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
(1)求m的值；
(2)若∃x∈R，f(x)≥|2x－1|－t2＋t＋1成立，求实数t的取值范围．
解 (1)∵f(x)＝|x＋3|－m，
∴f(x－3)＝|x|－m≥0.
∵m>0，∴x≥m或x≤－m.
又∵f(x－3)≥0的解集为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，
∴m＝2.
(2)f(x)≥|2x－1|－t2＋t＋1等价于不等式
|x＋3|－|2x－1|≥－t2＋t＋3，
g(x)＝|x＋3|－|2x－1|
＝
故g(x)max＝g＝，
则有≥－t2＋t＋3，
即2t2－3t＋1≥0，
解得t≤或t≥1.
即实数t的取值范围为∪[1，＋∞)．
3．(2017届安徽省蚌埠市教学质检)已知x，y∈R，m＋n＝7，f(x)＝|x－1|－|x＋1|.
(1)解不等式f(x)≥(m＋n)x；
(2)设max{a，b}＝求F＝max{|x2－4y＋m|，|y2－2x＋n|}的最小值．
解 (1)f(x)≥(m＋n)x⇔|x－1|－|x＋1|≥7x，
当x≤－1时，2≥7x，恒成立，
当－10，
∴|1－4ab|2>4|a－b|2，
故|1－4ab|>2|a－b|.
5．(2017届云南省昆明市适应性检测)已知a，b，c，m，n，p都是实数，且a2＋b2＋c2＝1，m2＋n2＋p2＝1.
(1)证明：|am＋bn＋cp|≤1；
(2)若abc≠0，证明：＋＋≥1.
证明 (1)因为|am＋bn＋cp|≤|am|＋|bn|＋|cp|，
a2＋b2＋c2＝1，m2＋n2＋p2＝1，
所以|am|＋|bn|＋|cp|
≤＋＋
＝＝1，
即|am＋bn＋cp|≤1.
(2)因为a2＋b2＋c2＝1，m2＋n2＋p2＝1，
所以＋＋
＝(a2＋b2＋c2)
≥2
＝(m2＋n2＋p2)2＝1.
所以＋＋≥1.
B组 能力提高
6．(2017届云南省师范大学附属中学月考)已知函数f(x)＝|x－1|.
(1)求不等式2f(x)－x≥2的解集；
(2)对∀x∈R，a，b，c∈(0，＋∞)，求证：|x－1|－|x＋5|≤＋＋＋3abc.
(1)解 令g(x)＝2f(x)－x＝2|x－1|－x
＝
当x≥1时，由x－2≥2，得x≥4，
当x<1时，由－3x＋2≥2，得x≤0，
∴不等式的解集为(－∞，0]∪[4，＋∞)．
(2)证明 |x－1|－|x＋5|≤|x－1－(x＋5)|＝6，
又∵a，b，c>0，
∴＋＋＋3abc
≥3＋3abc
＝＋3abc≥2＝6，
当且仅当a＝b＝c＝1时取等号，
∴|x－1|－|x＋5|≤＋＋＋3abc.
7．(2017届四川省成都市二诊)已知函数f(x)＝4－|x|－|x－3|.
(1)求不等式f ≥0的解集；
(2)若p，q，r为正实数，且＋＋＝4，求3p＋2q＋r的最小值．
解 (1)f ＝4－－≥0，
根据绝对值的几何意义，得＋表示点(x,0)到A，B两点的距离之和．
接下来找出到A，B距离之和为4的点．
将点A向左移动个单位长度到点A1(－2,0)，
这时有|A1A|＋|A1B|＝4；
同理，将点B向右移动个单位长度到点B1(2,0)，
这时有|B1A|＋|B1B|＝4.
∴当x∈[－2,2]时，＋≤4，
即f ≥0的解集为[－2,2]．
(2)令a1＝，a2＝，a3＝，
由柯西不等式，得
·(a＋a＋a)
≥2
即(3p＋2q＋r)≥9，
∵＋＋＝4，∴3p＋2q＋r≥.
上述不等式当且仅当＝＝＝，
即p＝，q＝，r＝时取等号．
∴3p＋2q＋r的最小值为.
8．(2017·湖北省黄冈中学三模)设函数f(x)＝|x＋|－|x－|.
(1)当a＝1时，解不等式f(x)≥；
(2)若对任意a∈[0,1]，不等式f(x)≥b的解集不为空集，求实数b的取值范围．
解 (1)当a＝1时，不等式f(x)≥等价于
|x＋1|－|x|≥，
①当x≤－1时，不等式化为－x－1＋x≥，无解；
②当－1
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