福建省南平市建瓯市芝华中学2019-2020学年高一上学期期中考试（A）卷数学试题 18页

www.ks5u.com ‎2019-2020学年高一上期数学期中考试卷A 一、选择题 ‎1.设合集，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】设合集，，根据集合的补集的概念得到 故答案为：B。‎ ‎2.函数的定义域是 （ ）‎ A. [1，+∞) B. (1,+∞) C. (2，+∞) D. [2，+∞)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 本题考查函数的定义域.‎ 根据解析式确定函数定义域，使函数解析式有意义的自变量的取值范围.‎ 要使函数有意义，需使所以函数的定义域是 故选C ‎3.若为两条不同的直线，为两个不同的平面，则以下命题正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：由题意得，A中，若，则与平行或异面，所以不正确；B中，若，则与也可能是平行的，所以不正确；C中，若 ‎，则与平行或异面、相交，所以不正确；根据直线与平面平行的性质定理可知，D是正确，故选D．‎ 考点：线面位置关系的判定．‎ ‎4.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的奇偶性和单调性的定义和性质，对选项一一加以判断，即可得到既是偶函数又在上单调递增的函数．‎ ‎【详解】对于．，有，是偶函数，但时为减函数，故排除；‎ 对于.，由，为奇函数，故排除；‎ 对于.，由于定义域为，不关于原点对称，故函数不具有奇偶性，故排除；‎ 对于.，由，为偶函数，当时，，是增函数，故正确；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和单调性及运用，注意定义的运用，以及函数的定义域，属于基础题和易错题．‎ ‎5.函数的零点所在区间是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算各区间端点的函数值，根据零点的存在性定理判断．‎ ‎【详解】在上为增函数，‎ 且，，，‎ ‎，‎ 的零点所在区间为．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了函数零点的存在性定理，对数运算，属于基础题.‎ ‎6.一空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ） ‎ A 1 B. 3 C. 6 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2.‎ ‎【详解】由三视图可知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，‎ 直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，‎ 一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长2.‎ 四棱锥的体积是.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查由三视图求几何体的体积，由三视图求几何体的体积，关键是由三视图还原几何体，同时还需掌握求体积的常用技巧如：割补法和等价转化法．‎ ‎7.函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（　　）‎ A. B. ‎ C D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】根据函数过排除A;‎ 根据过排除B、D,‎ 故选：C．‎ ‎8.在三棱柱中，各棱长均相等，侧棱垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据题意作出三棱柱，取的中点，连接，得到为所求的线面角，再设三棱柱的棱长为1，求出，即可得出结果.‎ ‎【详解】如图所示，取的中点，连接，‎ 则平面，故，为所求的线面角.‎ 设三棱柱的棱长为1，则，‎ 所以，所以，因此.‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角，根据题中条件作出线面角，直接求解即可，属于常考题型.‎ ‎9.已知函数是定义域R上的减函数，则实数a的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数单调性的性质建立不等式关系进行求解.‎ ‎【详解】若f（x）是定义域（-∞，+∞）上的减函数，‎ 则满足 ‎ 即 ，整理得.故选：B ‎【点睛】本题考查了分段函数单调性的应用，根据分段函数的性质建立不等式是解决本题的关键.‎ ‎10.某正方体的平面展开图如图所示，则在这个正方体中（ ）‎ A. 与相交 B. 与平行 C. 与平行 D. 与异面 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据题意得到立体图如图所示：‎ A与是异面直线，故不相交；‎ B与平行，由立体图知是正确的；‎ C 与位于两个平行平面内，故不正确；‎ D与是相交的。‎ 故答案为：B。‎ ‎11.函数有两个零点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数有两个零点，函数的图象与直线 有两个交点，画出函数的图象，根据图象可得的取值范围．‎ ‎【详解】解：函数有两个零点，函数的图象与直线有两个交点点，‎ 函数的图象如下：根据图象可得，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，数形结合思想，其中熟练掌握函数零点与方程根之间的对应关系是解答的关键．属于中档题．‎ ‎12.如下图，梯形中，∥,,, ,将沿对角线折起．设折起后点的位置为，并且平面平面.给出下面四个命题：‎ ‎①；②三棱锥的体积为；③平面；‎ ‎④平面平面.其中正确命题的序号是（ ）‎ A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用折叠前四边形中的性质与数量关系，可证出，然后结合平面 ‎ 平面，可得平面，从而可判断①③；三棱锥的体积为，可判断②；因为平面，从而证明，再证明平面，然后利用线面垂直证明面面垂直.‎ ‎【详解】①，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 平面 平面，且平面平面，‎ 平面，‎ 平面，‎ ‎，‎ 故不成立，故①错误；‎ ‎②棱锥的体积为，故②错误；‎ ‎③由①知平面，故③正确；‎ ‎④由①知平面，‎ 又平面，‎ ‎，‎ 又，且、平面，,‎ 平面，又平面,‎ 平面平面，故④正确.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题通过折叠性问题，考查了面面垂直的性质，面面垂直的判定，考查了体积的计算，关键是利用好直线与平面、平面与平面垂直关系的转化，也要注意利用折叠前后四边形中的性质与数量关系.‎ 二、填空题 ‎13.计算： _______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指对数的运算性质计算，，‎ ‎【详解】原式 ‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题考查利用指数幂运算、对数运算法则化简求值的问题，属于基础题。‎ ‎14.如图，已知三棱锥中，，，，则二面角的平面角的大小为______．‎ ‎【答案】60°‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取中点，由等腰三角形三线合一可知，；由二面角平面角定义可知为所求角，根据长度关系可知为等边三角形，从而得到结果.‎ ‎【详解】取中点，连接 ‎，，为中点 ，‎ 即为二面角的平面角 又， 为等边三角形 ‎，即二面角的大小为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查立体几何中二面角的求解问题，关键是能够根据二面角平面角的定义，利用垂直关系在图形中得到二面角的平面角.‎ ‎15.棱长为2的正方体外接球的体积是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出外接球的半径，然后求解球的体积．‎ ‎【详解】解：正方体的外接球直径为正方体的体对角线，‎ ‎．．‎ 故答案为：‎ 点睛】本题考查正方体的外接球的体积的求法，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎16.已知，，，则，，的大小关系是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．‎ ‎【详解】解：，，根据的单调性可知，‎ 故 ‎．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ 三、解答题 ‎17.已知集合，，若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分和两种情况分类讨论，能求出实数的范围．‎ ‎【详解】由已知得，‎ ‎∵，∴①若，则，此时．‎ ‎②若，则．解得．‎ 由①、②可得，符合题意的实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意子集定义及性质的合理运用．‎ ‎18.已知函数的两零点为.‎ ‎(Ⅰ)当时，求的值；‎ ‎(Ⅱ)恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】(I) (II) ‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（I）令，得，可求出两根，进而求得；（II）图象是开口向上，对称轴为为抛物线，讨论轴和区间的关系，得到函数的最值即可。‎ 解析：‎ ‎(I)令，得，‎ 不妨设，解得，‎ ‎，‎ 所以.‎ ‎(II)图象是开口向上，对称轴为为抛物线，‎ ‎(1)当即时，，符合题意；‎ ‎(2)当，即时，‎ ‎，故；‎ 综合(1)(2)得.‎ ‎19.如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，面ABCD，E是PC的中点．‎ 求证:（1）平面BDE；‎ ‎（2）平面平面BDE．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）连接，由分别为中点可知，由线面平行判定定理可证得结论；‎ ‎（2）由正方形特点知，由线面垂直性质知；由线面垂直的判定定理得到平面，由面面垂直判定定理可证得结论.‎ ‎【详解】（1）连接 是正方形的中心 为中点，又为中点 ‎ 平面，平面 平面 ‎（2）是正方形的中心 ‎ 平面，平面 ‎ 平面， 平面 平面 平面平面 ‎【点睛】本题考查立体几何中线面平行、面面垂直关系的证明，涉及到线面平行判定定理、线面垂直性质定理和判定定理、面面垂直判定定理的应用，属于常考题型.‎ ‎20.已知函数，且.‎ ‎（Ⅰ）求的值.‎ ‎（Ⅱ）判断的奇偶性并证明.‎ ‎（Ⅲ）判断在上的单调性，并给予证明．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）为奇函数，见解析；（Ⅲ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意，即可求出的值；‎ ‎（Ⅱ）判断函数的奇偶性分为两步，第一步：求定义域；第二步：计算并与 比较；‎ ‎（Ⅲ）用定义法证明函数的单调性；‎ ‎【详解】（Ⅰ）由得， 解得；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，定义域为关于原点对称 ‎ ‎，∴为奇函数 ； ‎ ‎（Ⅲ）函数在上是单调减函数 ，证明如下：设，且 ‎ 因为，所以，∴ ‎ 所以，即 ，所以在上是单调减函数。‎ ‎【点睛】判断函数的奇偶性分为两步，第一步：求定义域；第二步：计算并与 比较；利用定义法证明函数的单调性分为五步，第一步：设元；第二步：作差；第三步：变形；第四步：判断符号；第五步：下结论。其中第三步主要采用通分，因式分解的方法。‎ ‎21.如图C，D是以AB为直径的圆上的两点，，，F是AB上的一点，且，面ABD，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面；‎ ‎（3）求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由圆的性质知，由线面垂直性质知；根据线面垂直的判定定理可证得结论；‎ ‎（2）根据圆的性质知，由勾股定理可求得；由线面垂直性质知，由勾股定理求得，从而可得到，证得；根据线面平行判定定理证得结论；‎ ‎（3）根据比例关系可知，由线面垂直知为点到平面的距离；由体积桥可知，利用三棱锥体积公式求得结果.‎ ‎【详解】（1）在以为直径的圆上 ‎ 平面，平面 ‎ 平面， 平面 ‎（2）在以为直径的圆上 ，又，‎ 平面，平面 ，又 ‎ 在中，‎ ‎ ‎ 平面，平面 平面 ‎（3） ‎ 平面 到平面距离为：‎ ‎【点睛】本题考查立体几何中线面垂直、线面平行关系的证明、三棱锥体积的求解问题，涉及到线面垂直的判定与性质定理、线面平行的判定定理等知识的应用；求解三棱锥体积的常用方法是利用体积桥的方式，将问题转化为底面面积和高易求的三棱锥体积的求解问题.‎ ‎22.定义在上的函数对任意，都有（为常数）.‎ ‎（1）判断为何值时，为奇函数，并证明；‎ ‎（2）在（1）的条件下，设集合，，且，求实数的取值范围；‎ ‎（3）设，是上的增函数，且，解不等式.‎ ‎【答案】(1) ，证明见解析；（2）；（3）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎⑴时，为奇函数，然后对抽象函数进行证明 ‎⑵根据已知条件解出集合，结合求出的取值范围 ‎⑶将其转化为利用单调性求解 ‎【详解】（1）当时，为奇函数，‎ 证明：当时，，所以,‎ 所以,‎ ‎∴∴是奇函数.‎ ‎（2）∵,‎ ‎∴∴,‎ ‎∴∴∴.‎ ‎（3）∵，∴∴,‎ ‎∵∴,‎ ‎∵是增函数∴∴或.‎ ‎【点睛】本题考查了抽象函数的综合题目，关键在运用已知条件中的来进行化简，然后按照函数的奇偶性和单调性的概念和性质进行解题 ‎ ‎