河北省衡水中学2020届高三上学期四调考试数学（文）试题 26页

‎2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（文科）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分,下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）‎ ‎1．设集合M＝{﹣1，2，3}，N＝{a+2，a2+2}，且M∩N＝{3}，则实数a的值为（　　）‎ A．1或﹣1 B．﹣1 C．1 D．2‎ ‎2．AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎3．已知{an}是等比数列，且an＞0，a2a4+2a3a5+a4a6＝25，那么a3+a5的值等于（　　）‎ A．5 B．10 C．15 D．20‎ ‎4．与双曲线有共同的渐近线，且经过点A（﹣3，）的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（　　）‎ A．8 B．4 C．2 D．1‎ ‎5．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足＝2，＝2+，则下列结论正确的是（　　）‎ A．||＝1 B．⊥ C．•＝1 D．（4+）⊥‎ ‎6．存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（　　）‎ A．f（sin2x）＝sinx B．f（sin2x）＝x2+x ‎ C．f（x2+1）＝|x+1| D．f（x2+2x）＝|x+1|‎ ‎7．已知双﹣y2＝1（a＞0）的左、右焦点分别曲线为F1，F2，离心率为，P为双曲线右支上一点，且满足|PF1|2﹣|PF2|2＝4，则△PF1F2的周长为（　　）‎ A．2 B．2+2 C．2+4 D．2+4‎ ‎8．已知函数f（x）为R上的可导函数，其导函数为f'（x），且f（x）＝，在△ABC中，f（A）＝f'（B）＝1，则△ABC的形状为（　　）‎ A．等腰锐角三角形 B．直角三角形 ‎ C．等边三角形 D．等腰钝角三角形 ‎9．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10．已知f（x）＝sin（2019x+）+cos（2019x﹣）的最大值为A，若存在实数x1、x2，使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A，C，上顶点为B．过F，B，C作圆P，其中圆心P的坐标为（m，n）．当m+n＞0时，椭圆离心率的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设D＝+a+2．其中e≈2.71828，则D的最小值为（　　）‎ A． B． C．+1 D．+1‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）‎ ‎13．南北朝时，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究做出了一定的贡献．例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则某一等人比其下一等人多得　 　‎ 斤金．（不作近似计算）‎ ‎14．已知直线l经过抛物线C：y＝的焦点F，与抛物线交于A，B，且xA+xB＝8，点D是弧AOB（O为原点）上一动点，以D为圆心的圆与直线l相切，当圆D的面积最大时，圆D的标准方程为　 　．‎ ‎15．如图（1），在等腰直角△ABC中，斜边AB＝4，D为AB的中点，将△ACD沿CD折叠得到如图（2）所示的三棱锥C﹣A'BD，若三棱锥C﹣A'BD的外接球的半径为，则∠A'DB＝　 　．‎ ‎16．已知△ABC的三边分别为a，b，c，所对的角分别为A，B，C，且满足，且△ABC的外接圆的面积为3π，则f（x）＝cos2x+4（a+c）sinx+1的最大值的取值范围为　 　‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26．{an}的前n项和为Sn．‎ ‎（Ⅰ）求an及Sn；‎ ‎（Ⅱ）令bn＝（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎18．如图，在平面四边形ABCD中，已知AB＝BC＝CD＝2，AD＝2．‎ ‎（1）求cosA﹣cosC的值；‎ ‎（2）记△ABD与△BCD的面积分别为S1，S2，求S12+S22的最大值．‎ ‎19．已知抛物线C的方程y2＝2px（p＞0），焦点为F，已知点P在C上，且点P到点F 的距离比它到y轴的距离大1．‎ ‎（1）试求出抛物线C的方程；‎ ‎（2）若抛物线C上存在两动点M，N（M，N在对称轴两侧），满足OM⊥ON（O为坐标原点），过点F作直线交C于A，B两点，若AB∥MN，线段MN上是否存在定点E，使得＝4恒成立？若存在，请求出E的坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎20．椭圆的离心率是，过点P（0，1）做斜率为k的直线l，椭圆E与直线l交于A，B两点，当直线l垂直于y轴时．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）当k变化时，在x轴上是否存在点M（m，0），使得△AMB是以AB为底的等腰三角形，若存在求出m的取值范围，若不存在说明理由．‎ ‎21．设抛物线Γ的方程为y2＝2px，其中常数p＞0，F是抛物线Γ的焦点．‎ ‎（1）若直线x＝3被抛物线Γ所截得的弦长为6，求p的值；‎ ‎（2）设A是点F关于顶点O的对称点，P是抛物线Γ上的动点，求的最大值；‎ ‎（3）设p＝2，l1，l2是两条互相垂直，且均经过点F的直线，l1与抛物线Γ交于点A，B，l2与抛物线Γ交于点C，D，若点G满足4＝+++，求点G的轨迹方程．‎ ‎22．已知函数．‎ ‎（1）讨论f（x）的单调性．‎ ‎（2）试问是否存在a∈（﹣∞，e]，使得，对x∈[1，+∞）恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分,下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）‎ ‎1．设集合M＝{﹣1，2，3}，N＝{a+2，a2+2}，且M∩N＝{3}，则实数a的值为（　　）‎ A．1或﹣1 B．﹣1 C．1 D．2‎ ‎【解答】解：∵M＝{﹣1，2，3}，N＝{a+2，a2+2}，且M∩N＝{3}，‎ ‎∴a+2＝3，或a2+2＝3，解得a＝1或﹣1，‎ a＝1时不满足集合元素的互异性，a＝1舍去，‎ ‎∴a＝﹣1．‎ 故选：B．‎ ‎2．AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）根据抛物线的定义可知 ‎|AB|＝x1+x2+p＝x1+x2+1＝4，‎ ‎∴＝，‎ 故选：C．‎ ‎3．已知{an}是等比数列，且an＞0，a2a4+2a3a5+a4a6＝25，那么a3+a5的值等于（　　）‎ A．5 B．10 C．15 D．20‎ ‎【解答】解：由等比数列的性质得：a2•a4＝a32，a4•a6＝a52‎ ‎∴a2a4+2a3a5+a4a6＝25可化为 ‎（a3+a5）2＝25又∵an＞0‎ ‎∴a3+a5＝5‎ 故选：A．‎ ‎4．与双曲线有共同的渐近线，且经过点A（﹣3，）的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（　　）‎ A．8 B．4 C．2 D．1‎ ‎【解答】解：∵与双曲线有共同的渐近线，‎ ‎∴设双曲线方程为 ，‎ 将点 代入双曲线方程，‎ 解得 ，⇒‎ 从而所求双曲线方程的焦点坐标为（，0），一条渐近线方程为 ，‎ 所以焦点到一条渐近线的距离是＝2，‎ 故选：C．‎ ‎5．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足＝2，＝2+，则下列结论正确的是（　　）‎ A．||＝1 B．⊥ C．•＝1 D．（4+）⊥‎ ‎【解答】解：因为已知三角形ABC的等边三角形，，满足＝2，＝2+，又，∴的方向应该为的方向．‎ 所以，，‎ 所以＝2，＝1×2×cos120°＝﹣1，‎ ‎4＝4×1×2×cos120°＝﹣4，＝4，所以＝0，即（4）＝0，即＝0，所以；‎ 故选：D．‎ ‎6．存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（　　）‎ A．f（sin2x）＝sinx B．f（sin2x）＝x2+x ‎ C．f（x2+1）＝|x+1| D．f（x2+2x）＝|x+1|‎ ‎【解答】解：A．取x＝0，则sin2x＝0，∴f（0）＝0；‎ 取x＝，则sin2x＝0，∴f（0）＝1；‎ ‎∴f（0）＝0，和1，不符合函数的定义；‎ ‎∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）＝sinx；‎ B．取x＝0，则f（0）＝0；‎ 取x＝π，则f（0）＝π2+π；‎ ‎∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；‎ ‎∴该选项错误； ‎ C．取x＝1，则f（2）＝2，取x＝﹣1，则f（2）＝0；‎ 这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；‎ ‎∴该选项错误；‎ D．令x+1＝t，则f（x2+2x）＝|x+1|，化为f（t2﹣1）＝|t|；‎ 令t2﹣1＝x，则t＝±；‎ ‎∴；‎ 即存在函数f（x）＝，对任意x∈R，都有f（x2+2x）＝|x+1|；‎ ‎∴该选项正确．‎ 故选：D．‎ ‎7．已知双﹣y2＝1（a＞0）的左、右焦点分别曲线为F1，F2，离心率为，P为双曲线右支上一点，且满足|PF1|2﹣|PF2|2＝4，则△PF1F2的周长为（　　）‎ A．2 B．2+2 C．2+4 D．2+4‎ ‎【解答】解：由题意可得b＝1，c＝，‎ 即有e＝＝，‎ 可得a＝，c＝2，‎ P为双曲线右支上一点，‎ 可得|PF1|﹣|PF2|＝2a＝2，‎ 又|PF1|2﹣|PF2|2＝4，‎ 可得|PF1|+|PF2|＝2，‎ 则△PF1F2的周长为2+2c＝4+2，‎ 故选：C．‎ ‎8．已知函数f（x）为R上的可导函数，其导函数为f'（x），且f（x）＝，在△ABC中，f（A）＝f'（B）＝1，则△ABC的形状为（　　）‎ A．等腰锐角三角形 B．直角三角形 ‎ C．等边三角形 D．等腰钝角三角形 ‎【解答】解：函数的导数f′（x）＝f′（）cosx﹣sinx，‎ 则f′（）＝f′（）cos﹣sin＝×f′（）﹣＝f′（）﹣，‎ 则f′（）＝，则f′（）＝1，‎ 则f′（x）＝cosx﹣sinx＝2cos（x+），‎ f（x）＝sinx+cosx＝2cos（x﹣），‎ ‎∵f（A）＝f'（B）＝1，‎ ‎∴f′（B）＝2cos（B+）＝1，即cos（B+）＝，‎ 则B+＝，得B＝，‎ f（A）＝2cos（A﹣）＝1，即cos（A﹣）＝，‎ 则A﹣＝，则A＝，‎ 则C＝π﹣﹣＝，‎ 则B＝C，‎ 即△ABC是等腰钝角三角形，‎ 故选：D．‎ ‎9．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：由已知中锥体的侧视图和俯视图，‎ 可得该几何体是三棱锥，‎ 由侧视图和俯视图可得，该几何的直观图如图P﹣ABC所示：‎ 顶点P在以BA和BC为邻边的平行四边形ABCD上的射影为CD的中点O，‎ 故该锥体的正视图是：‎ 故选：A．‎ ‎10．已知f（x）＝sin（2019x+）+cos（2019x﹣）的最大值为A，若存在实数x1、x2，使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：依题意f（x）＝sin2019xcos+cos2019xsin+cos2019xcos+sin2019xsin ‎＝sin2019x+cos2019x ‎＝2sin（2019x+），‎ ‎∴A＝2，T＝，‎ ‎∴|x1﹣x2|min＝＝，‎ ‎∴A|x1﹣x2|的最小值为，‎ 故选：C．‎ ‎11．已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A，C，上顶点为B．过F，B，C作圆P，其中圆心P的坐标为（m，n）．当m+n＞0时，椭圆离心率的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ 线段FC的垂直平分线为：x＝，‎ 线段BC的中点（，）．‎ ‎∵kBC＝﹣b，‎ ‎∴线段BC的垂直平分线的斜率k＝．‎ ‎∴线段BC的垂直平分线方程为：y﹣＝（x﹣），‎ 把x＝＝m代入上述方程可得：y＝＝n．‎ ‎∵m+n＞0，‎ ‎∴＞0．‎ 化为：b＞，又0＜b＜1，‎ 解得＜b＜1．‎ ‎∴e＝＝c＝∈（0，）．‎ 故选：A．‎ ‎12．设D＝+a+2．其中e≈2.71828，则D的最小值为（　　）‎ A． B． C．+1 D．+1‎ ‎【解答】解：由题意可得a≥0，D＝+a+2，‎ 由表示两点C（x，ex）与点A（a，2）的距离，‎ 而A在抛物线y2＝4x（x≥0）上，抛物线的焦点F（1，0），准线为x＝﹣1，‎ 则D表示A与C的距离和A与准线的距离的和再加上1，‎ 由抛物线的定义可得D表示A与C的距离和A与F的距离的和再加上1，‎ 由图象可得当F，A，C三点共线，且QF为曲线y＝ex的法线，D取得最小值，‎ 即Q为切点，设为（m，em），‎ 由•em＝﹣1，可得m+e2m＝1，‎ 设g（m）＝m+e2m，则g（m）递增，且g（0）＝1，‎ 可得切点Q（0，1），‎ 即有|FQ|＝＝，‎ 则D的最小值为+1．‎ 故选：C．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）‎ ‎13．南北朝时，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究做出了一定的贡献．例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则某一等人比其下一等人多得　　斤金．（不作近似计算）‎ ‎【解答】解：设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此类推，第一等人得金a10斤，‎ 则数列{an}构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得d斤金，‎ 由题意得，即，‎ 解得d＝，‎ 所以每一等人比下一等人多得斤金．‎ ‎14．已知直线l经过抛物线C：y＝的焦点F，与抛物线交于A，B，且xA+xB＝8，点D是弧AOB（O为原点）上一动点，以D为圆心的圆与直线l相切，当圆D的面积最大时，圆D的标准方程为　（x﹣4）2+（y﹣4）2＝5　．‎ ‎【解答】解：抛物线的标准方程为x2＝4y，抛物线的焦点坐标为F（0，1），‎ 直线AB的斜率k＝＝＝（xA+xB）＝＝2，‎ 则l的方程为y＝2x+1，即2x﹣y+1＝0，‎ 点D到直线l距离最大时，圆D的面积最大，‎ 令y′＝＝2，解得x＝4，此时y＝4，即D（4，4）到直线l距离最大，此时d＝＝＝，‎ 所以所求圆的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2＝5，‎ 故答案为：（x﹣4）2+（y﹣4）2＝5．‎ ‎15．如图（1），在等腰直角△ABC中，斜边AB＝4，D为AB的中点，将△ACD沿CD折叠得到如图（2）所示的三棱锥C﹣A'BD，若三棱锥C﹣A'BD的外接球的半径为，则∠A'DB＝　　．‎ ‎【解答】‎ 解：球是三棱锥C﹣A'BD的外接球，所以球心O到各顶点的距离相等，如图．‎ 根据题意，CD⊥平面A'BD，‎ 取CD的中点E，A'B的中点G，连接CG，DG，‎ 因为A'D＝BD，CD⊥平面A'BD，‎ 所以A'和B关于平面CDG对称，‎ 在平面CDG内，作线段CD的垂直平分线，则球心O在线段CD的垂直平分线上，设为图中的O点位置，过 O作直线CD的平行线，交平面A'BD于点F，‎ 则OF⊥平面A'BD，且OF＝DE＝1，‎ 因为A'F在平面A'BD内，所以OF⊥A'F，‎ 即三角形A'OF为直角三角形，且斜边OA'＝R＝，‎ ‎∴A'F＝＝＝2，‎ 所以，BF＝2，‎ 所以四边形A'DBF为菱形，‎ 又知OD＝R，三角形ODE为直角三角形，‎ ‎∴OE＝＝＝2，‎ ‎∴三角形A'DF为等边三角形，‎ ‎∴∠A'DF＝，‎ 故∠A'DB＝，‎ 故填：．‎ ‎16．已知△ABC的三边分别为a，b，c，所对的角分别为A，B，C，且满足，且△ABC的外接圆的面积为3π，则f（x）＝cos2x+4（a+c）sinx+1的最大值的取值范围为　（12，24]　‎ ‎【解答】解：由，‎ 可得：＝，‎ 可得a2+2b2+c2+2ac+3ab+3bc＝3ab+3b2+3ac+3bc，‎ 即a2+c2﹣b2＝ac，那么2ac•cosB＝ac，‎ 即cosB＝∵0＜B＜π，∴B＝．‎ ‎∵△ABC的外接圆的面积为3π，∴△ABC的外接圆的半径为R＝，‎ ‎∴，‎ a+c＝2R（sinA+sinc）＝6sin（A+）．‎ ‎∵A，∴a+c∈（3，6]，‎ f（x）＝cos2x+4（a+c）sinx+1＝﹣2sin2x++4（a+c）sinx+2‎ 令g（t）＝﹣2t2+4（a+c）t+2，t∈[﹣1，1]，‎ g（t）在[﹣1，1]单调递增，∴g（t）max＝g（1）＝4（a+c）∈（12，24]‎ 则f（x）＝cos2x+4（a+c）sinx+1的最大值的取值范围为（12，24]'‎ 故答案为：（12，24]．‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26．{an}的前n项和为Sn．‎ ‎（Ⅰ）求an及Sn；‎ ‎（Ⅱ）令bn＝（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，‎ ‎∵a3＝7，a5+a7＝26，‎ ‎∴，解得a1＝3，d＝2，‎ ‎∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；‎ Sn＝＝n2+2n． ‎ ‎（Ⅱ）＝＝＝，‎ ‎∴Tn＝＝＝．‎ ‎18．如图，在平面四边形ABCD中，已知AB＝BC＝CD＝2，AD＝2．‎ ‎（1）求cosA﹣cosC的值；‎ ‎（2）记△ABD与△BCD的面积分别为S1，S2，求S12+S22的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）在△ABD中，BD2＝AD2+AB2﹣2AD•AB•cosA＝12﹣8cosA，‎ 在△BDC中，BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cosC，‎ 所以12﹣8cosA＝8﹣8cosC，‎ 整理得．‎ ‎（2）由题意知：＝8sin2A，，‎ 所以＝8sin2A+4sin2C＝＝‎ ‎＝，‎ 由于，所以，‎ 故，解得．‎ 当cosA＝时，．‎ ‎19．已知抛物线C的方程y2＝2px（p＞0），焦点为F，已知点P在C上，且点P到点F的距离比它到y轴的距离大1．‎ ‎（1）试求出抛物线C的方程；‎ ‎（2）若抛物线C上存在两动点M，N（M，N在对称轴两侧），满足OM⊥ON（O为坐标原点），过点F作直线交C于A，B两点，若AB∥MN，线段MN上是否存在定点E，使得＝4恒成立？若存在，请求出E的坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）由题意和抛物线定义可得＝1，即p＝2，‎ ‎∴抛物线的方程为y2＝4x，‎ ‎（2）由题意可知，kMN≠0，‎ 设M（y12，y1），N（y22，y2），（y2＞y1），‎ 由OM⊥ON，‎ ‎∴y12y22+y1y2＝0，即y1y2＝﹣16，‎ 直线MN的斜率k＝＝，‎ ‎∴直线MN的方程为y﹣y1＝（x﹣），即y＝（x﹣4），‎ 直线AB，①斜率存在，设斜率为k，则y＝k（x﹣1），与C联立可得ky2﹣4y﹣4k＝0，‎ ‎∴|AB|＝•＝4（1+），‎ 设点E存在，并设为E（x0，y0），‎ 则|EM|•|EN|＝（y0﹣y1）（y2﹣y0）＝（1+）[﹣y1y2﹣y02+（y1+y2）y0]＝（1+）（16﹣y02+），‎ ‎∵＝4，‎ ‎∴16﹣y02+＝16，‎ 解得y0＝0，y0＝（不是定点，舍去），‎ 则点E（4，0），经检验，此点满足y2＜4x，所以在线段MN上，‎ ‎②若斜率不存在，则|AB|＝4，|EM|•|EN|＝4×4＝16，此时点E（4，0）满足题意，‎ 综上所述，定点为（4，0）‎ ‎20．椭圆的离心率是，过点P（0，1）做斜率为k的直线l，椭圆E与直线l交于A，B两点，当直线l垂直于y轴时．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）当k变化时，在x轴上是否存在点M（m，0），使得△AMB是以AB为底的等腰三角形，若存在求出m的取值范围，若不存在说明理由．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由已知椭圆过点，可得，‎ 解得a2＝9，b2＝4所以椭圆的E方程为．‎ ‎（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点C（x0，y0）‎ 由消去y得（4+9k2）x2+18kx﹣27＝0，‎ 所以．‎ 当k≠0时，‎ 设过点C且与l垂直的直线方程，‎ 将M（m，0）代入得：，‎ 若k＞0，则，‎ 若k＜0，则 所以或，‎ 当k＝0时，m＝0‎ 综上所述，存在点M满足条件，m取值范围是．‎ ‎21．设抛物线Γ的方程为y2＝2px，其中常数p＞0，F是抛物线Γ的焦点．‎ ‎（1）若直线x＝3被抛物线Γ所截得的弦长为6，求p的值；‎ ‎（2）设A是点F关于顶点O的对称点，P是抛物线Γ上的动点，求的最大值；‎ ‎（3）设p＝2，l1，l2是两条互相垂直，且均经过点F的直线，l1与抛物线Γ交于点A，B，l2与抛物线Γ交于点C，D，若点G满足4＝+++，求点G的轨迹方程．‎ ‎【解答】解：（1）由x＝3可得y＝±，可得2＝6，解得p＝；‎ ‎（2）A是点F（，0）关于顶点O的对称点，可得A（﹣，0），‎ 设过A的直线为y＝k（x+），k＝tanα，‎ 联立抛物线方程可得k2x2+（k2p﹣2p）x+＝0，‎ 由直线和抛物线相切可得△＝（k2p﹣2p）2﹣k4p2＝0，解得k＝±1，‎ 可取k＝1，可得切线的倾斜角为45°，‎ 由抛物线的定义可得＝＝，而α的最小值为45°，‎ 的最大值为；‎ ‎（3）由y2＝4x，可得F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），G（x，y），‎ 设l1：y＝k（x﹣1），联立抛物线y2＝4x，可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，‎ 即有x1+x2＝2+，y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k＝，‎ 由两直线垂直的条件，可将k换为﹣，可得 x3+x4＝2+4k2，y3+y4＝﹣4k，‎ 点G满足4＝+++，‎ 可得4（x，y）＝（x1+x2+x3+x4﹣4，y1+y2+y3+y4），‎ 即为4x＝x1+x2+x3+x4﹣4＝4k2+，‎ ‎4y＝y1+y2+y3+y4＝﹣4k+，‎ 可得y2＝（k﹣）2＝k2+﹣2＝x﹣2，‎ 则G的轨迹方程为y2＝x﹣2．‎ ‎22．已知函数．‎ ‎（1）讨论f（x）的单调性．‎ ‎（2）试问是否存在a∈（﹣∞，e]，使得，对x∈[1，+∞）恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）f′（x）＝xlnx﹣alnx+a﹣x＝（x﹣a）（lnx﹣1），x∈（0，+∞），‎ ‎①当a≤0时，由f′（x）＞0，解得x＞e，由f′（x）＜0，解得0＜x＜e，‎ ‎∴f（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，‎ ‎②0＜a＜e时，令f′（x）＝0，解得x＝a，或x＝e，‎ 由f′（x）＞0，解得0＜x＜a，或x＞e，由f′（x）＜0，解得a＜x＜e，‎ ‎∴f（x）在（a，e）上单调递减，在（0，a），（e，+∞）上单调递增，‎ ‎③当a＝e时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增，‎ ‎④当a＞e时，由f′（x）＞0，解得0＜x＜e，或x＞a，由f′（x）＜0，解得e＜x＜a，‎ ‎∴f（x）在（e，a）上单调递减，在（0，e），（a，+∞）上单调递增．‎ ‎（2）假设存在a∈（﹣∞，e]，使得f（x）＞3+sin对x∈[1，+∞）恒成立，‎ 则f（1）＝2a﹣＞3+sin，即8a﹣sin﹣15＞0，‎ 设g（x）＝8x﹣sin﹣15，‎ 则g′（x）＝8﹣cos＞0，‎ 则g（x）单调递增，‎ ‎∵g（2）＝0，‎ ‎∴a＞2，‎ 当a＝e时，f（x）在[1，+∞）上单调递增，‎ ‎∴f（x）min＝f（1），‎ ‎∴a＞2，从而a＝e满足题意，‎ 当2＜a＜e时，f（x）在（a，e）上单调递减，在[1，a），（e，+∞）上单调递增，‎ ‎∴，‎ ‎∴，（*），‎ 设h（x）＝4ex﹣sin﹣e2﹣12，‎ 则h′（x）＝4e﹣cos＞0，‎ 则h（x）单调递增，‎ ‎∵h（2）＝8e﹣e2﹣13＞0，‎ ‎∴h（x）的零点小于2，从而不等式组（*）的解集为（2，+∞），‎ ‎∴2＜a＜e，‎ 综上，存在a∈（﹣∞，e]，使得，对x∈[1，+∞）恒成立，且a的取值范围为（2，e]．‎