高中数学选修2-2教案第三章 1_1 13页

‎1．1　导数与函数的单调性 明目标、知重点 ‎1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系．‎ ‎2．能利用导数判断函数的单调性．‎ ‎3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．‎ 导数与函数单调性的关系 ‎(1)一般地，在区间(a，b)内 导数 函数的单调性 f′(x)>0‎ 单调递增 f′(x)<0‎ 单调递减 f′(x)＝0‎ 常数函数 ‎(2)若函数f(x)在(a，b)内存在导函数且单调递增(递减)，则对一切x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)任一子区间内f′(x)不恒为零．‎ ‎(3)利用导数讨论函数的单调性或求单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程只能在定义域内进行，即单调区间一定是定义域的子区间．当函数y＝f(x)有多个单调区间时，不能用“∪”或“或”把单调区间连起来，而应用“，”或“和”连起来．‎ 探究点一　函数的单调性与导函数正负的关系 思考1　观察高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图像，及运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋6.5的图像，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别．‎ ‎　　‎ 答　(1)从起跳到最高点，h随t的增加而增加，即h(t)是增函数，h′(t)>0；‎ ‎(2)从最高点到入水，h随t的增加而减小，即h(t)是减函数，h′(t)<0.‎ 思考2　观察下面四个函数的图像，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？‎ 答　(1)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝1>0，y是增函数；‎ ‎(2)在区间(－∞，0)内，y′＝2x<0，y是减函数；‎ 在区间(0，＋∞)内，y′＝2x>0，y是增函数；‎ ‎(3)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝3x2≥0，y是增函数；‎ ‎(4)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)内，y′＝－<0，y是减函数．‎ 若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，则f′(x)不一定大于零．由图(3)知f′(x)≥0恒成立．‎ 小结　一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：‎ 在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．‎ 思考3　(1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出思考2中(4)的单调区间．‎ ‎(2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系？‎ 答　(1)不能用“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开．思考2中(4)的单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．‎ ‎(2)函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单调区间是定义域的子集．‎ 例1　已知导函数f′(x)的下列信息：‎ 当10；‎ 当x>4，或x<1时，f′(x)<0；‎ 当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0.‎ 试画出函数f(x)图像的大致形状．‎ 解　当10，可知f(x)在此区间内单调递增；‎ 当x>4，或x<1时，f′(x)<0，可知f(x)在这两个区间内单调递减；‎ 当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”．‎ 综上，函数f(x)图像的大致形状如图所示．‎ 反思与感悟　本题具有一定的开放性，图像不唯一，只要能抓住问题的本质，即在相应区间上的单调性符合题意就可以了．‎ 跟踪训练1　函数y＝f(x)的图像如图所示，试画出导函数f′(x)图像的大致形状．‎ 解　f′(x)图像的大致形状如图：‎ 注：图像形状不唯一．‎ 探究点二　求函数的单调区间 例2　求下列函数的单调区间：‎ ‎(1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；‎ ‎(2)f(x)＝sin x－x(00得x<－3，或x>2，‎ 由f′(x)<0解得－30，即2·>0，‎ 解得－.‎ 又∵x>0，∴x>.‎ 令f′(x)<0，即2·<0，‎ 解得x<－或00，∴00时，函数的单调递增区间是[－，]．‎ 令f′(x)≤0时，得3t－3x2≤0，即t≤x2，‎ 当t≤0时，f′(x)≤0恒成立，‎ 函数的单调递减区间是(－∞，＋∞)；‎ 当t>0时，函数的单调递减区间是(－∞，－]，[，＋∞)．‎ 综上所述，当t≤0时，函数的单调减区间是(－∞，＋∞)，无单调增区间；‎ 当t>0时，函数的单调增区间是[－，]，单调减区间是(－∞，－]，[，＋∞)．‎ 反思与感悟　求函数的单调区间的具体步骤 ‎(1)先确定f(x)的定义域；(2)再求导数f′(x)；(3)后解定义域内满足f′(x)>0的区间为增区间，定义域内满足f′(x)<0的区间为减区间．‎ 跟踪训练2　求下列函数的单调区间：‎ ‎(1)f(x)＝x2－ln x；(2)f(x)＝x3－x2－x.‎ 解　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．‎ f′(x)＝2x－＝.‎ 由f′(x)>0得－，‎ 又∵x>0，∴x>，‎ ‎∴函数f(x)的单调递增区间为；‎ 由f′(x)<0得x<－或00，∴00得x<－或x>1；‎ 由f′(x)<0得－0，∴函数在(0,6)上单调递增．‎ ‎2．f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图像如图所示，则函数y＝f(x)的图像可能是(　　)‎ 答案　D 解析　由导函数的图像可知，当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数；当02时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数．观察选项易知D正确．‎ ‎3．函数f(x)＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为________．‎ 答案　(－∞，－1)‎ 解析　f′(x)＝，令f′(x)<0得x<－1或0，得x>2；‎ 令y′<0，得x<2，‎ 所以y＝x2－4x＋a的单调递增区间为(2，＋∞)，‎ 单调递减区间为(－∞，2)．‎ ‎(2)y′＝3x2－1，令y′>0，得x>或x<－；‎ 令y′<0，得－0和f′(x)<0；‎ ‎(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．‎ 一、基础过关 ‎1．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的．则甲是乙的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　f(x)＝x3在(－1,1)内是单调递增的，但f′(x)＝3x2≥0(－10，∴00)．‎ 故函数在(1，＋∞)上为单调减函数，‎ 在(0,1)上为单调增函数．故选B.‎ ‎5．函数y＝f(x)在其定义域内可导，其图像如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为__________________．‎ 答案　∪[2,3)‎ ‎6．若三次函数f(x)＝ax3＋x在区间(－∞，＋∞)内是增函数，则a的取值范围是________．‎ 答案　(0，＋∞)‎ 解析　f′(x)＝3ax2＋1，∵f(x)在R上为增函数，‎ ‎∴3ax2＋1≥0在R上恒成立．又a≠0，∴a>0.‎ ‎7.已知函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图像如图所示，试画出函数y＝f(x)的大致图像．‎ 解　由y＝f′(x)的图像可以得到以下信息：x<－2或x>2时，‎ f′(x)<0，－20，f′(－2)＝0，f′(2)＝0.‎ 故原函数y＝f(x)的图像大致如图：‎ 二、能力提升 ‎8．已知函数y＝xf′(x)的图像如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图像中y＝f(x)的图像大致是(　　)‎ 答案　C 解析　当x<－1时，xf′(x)<0，∴f′(x)>0，‎ ‎∴当x<－1时，函数y＝f(x)单调递增；‎ 当－10，∴f′(x)<0，‎ ‎∴当－11时，xf′(x)>0，∴f′(x)>0，‎ ‎∴当x>1时，函数y＝f(x)单调递增．‎ ‎9．设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)>g′(x)，则当ag(x)‎ B．f(x)g(x)＋f(a)‎ D．f(x)＋g(b)>g(x)＋f(b)‎ 答案　C 解析　∵f′(x)－g′(x)>0，∴(f(x)－g(x))′>0，‎ ‎∴f(x)－g(x)在[a，b]上是单调增函数，‎ ‎∴当af(a)－g(a)，‎ ‎∴f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)．‎ ‎10．若函数f(x)＝x2＋ax＋在(，＋∞)是增函数，则a的取值范围是 (　　)‎ A．[－1,0] B．[－1，＋∞)‎ C．[0,3] D．[3，＋∞)‎ 答案　D 解析　由题意知f′(x)≥0对任意的x∈恒成立，‎ 又f′(x)＝2x＋a－，‎ 所以2x＋a－≥0对任意的x∈恒成立，‎ 分离参数得a≥－2x，‎ 若满足题意，需a≥max.‎ 令h(x)＝－2x，x∈.‎ 因为h′(x)＝－－2，‎ 所以当x∈时，h′(x)＜0，‎ 即h(x)在上单调递减，‎ 所以h(x)＜h＝3，故a≥3.‎ ‎11．求下列函数的单调区间：‎ ‎(1)y＝x－ln x；　(2)y＝ln(2x＋3)＋x2.‎ 解　(1)函数的定义域为(0，＋∞)，y′＝1－，‎ 由y′>0，得x>1；由y′<0，得00，即－－时，‎ 函数y＝ln(2x＋3)＋x2单调递增；‎ 当y′<0，即－10，得x<1－或x>1＋；‎ 令f′(x)<0，得1－0时，ln(x＋1)>x－x2.‎ 证明　设f(x)＝ln(x＋1)－(x－x2)＝ln(x＋1)－x＋x2，函数的定义域是(－1，＋∞)．‎ 则f′(x)＝－1＋x＝.‎ 当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0，‎ ‎∴f(x)在(－1，＋∞)上是增函数．‎ ‎∴当x>0时，f(x)>f(0)＝0，‎ 即当x>0时，ln(x＋1)>x－x2.‎