【数学】甘肃省张掖市山丹一中2019-2020学年高二下学期期中考试（文） 13页

甘肃省张掖市山丹一中2019-2020学年 高二下学期期中考试（文）‎ ‎（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）‎ 测试范围：选修1-1，选修1-2，选修4-4，选修4-5．。‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．设，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．已知复数，则在复平面内对应点所在象限为（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．设，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 ‎4．设点的直角坐标为，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．若椭圆：的一个焦点坐标为，则的长轴长为（ ）‎ A． B．‎2 ‎C． D．‎ ‎6．过原点作圆（为参数）的两条切线，则这两条切线所成的锐角为 A． B． C． D．‎ ‎7．设复数满足，在复平面内对应的点的坐标为则（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8．有甲、乙、丙、丁四位大学生参加创新设计大赛，只有其中一位获奖，有人走访了这四位大学生，甲说：“是丙获奖.”乙说：“是丙或丁获奖.”丙说：“乙、丁都未获奖.”丁说：“我获奖了.”这四位大学生的话只有两人说的是对的，则获奖的大学生是（ ）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎9．直线过抛物线的焦点且与抛物线交于,两点，若线段的长分别为，则的最小值是（ ）‎ A．10 B．‎9 ‎C．8 D．7‎ ‎10．函数的图象可能是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．过椭圆：（为参数）的右焦点作直线：交于，两点，，，则的值为（）‎ A． B． C． D．不能确定 ‎12．若，，则使得恒成立的有（ ）个.‎ A．1 B．‎2 ‎C．3 D．2021‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知复数满足，则的最小值为___________．‎ ‎14．若复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则　　　　　.‎ ‎15．已知为正数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为________．‎ ‎16．下列说法中，正确的有_______．‎ ‎①回归直线恒过点，且至少过一个样本点；‎ ‎②根据列列联表中的数据计算得出，而，则有99%的把握认为两个分类变量有关系；‎ ‎③是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当的值很小时可以推断两个变量不相关；‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（10分）已知命题：函数在上单调递增；命题：函数在上单调递减.‎ ‎（Ⅰ）若是真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若或为真命题，且为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎18．（12分）‎ 设均为正实数，反证法证明：至少有一个不小于2.‎ ‎19．（12分）指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数字，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准.对于高中男体育特长生而言，当 数值大于或等于20.5时，我们说体重较重，当数值小于20.5时，我们说体重较轻，身高大于或等于我们说身高较高，身高小于‎170cm我们说身高较矮.‎ ‎（1）已知某高中共有32名男体育特长生，其身高与指数的数据如散点图，请根据所得信息，完成下述列联表，并判断是否有的把握认为男生的身高对指数有影响.‎ 身高较矮 身高较高 合计 体重较轻 体重较重 合计 ‎（2）①从上述32名男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示：‎ 编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 身高 ‎166‎ ‎167‎ ‎160‎ ‎173‎ ‎178‎ ‎169‎ ‎158‎ ‎173‎ 体重 ‎57‎ ‎58‎ ‎53‎ ‎61‎ ‎66‎ ‎57‎ ‎50‎ ‎66‎ 根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程为.利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值（保留两位有效数字）；‎ 编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 体重 ‎57‎ ‎58‎ ‎53‎ ‎61‎ ‎66‎ ‎57‎ ‎50‎ ‎66‎ 残差 ‎0.1‎ ‎0.3‎ ‎0.9‎ ‎②通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误，已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为.请重新根据最最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程.‎ ‎（参考公式）‎ ‎，，，，.‎ ‎（参考数据）‎ ‎，，，，.‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ ‎2.706‎ ‎3.811‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎20．（12分）在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程是，在以极点为原点O，极轴为x轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程为（θ为参数）.‎ ‎（1）求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；‎ ‎（2）将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，若M，N分别是曲线C1和曲线C3上的动点，求|MN|的最小值.‎ ‎21．（12分）已知椭圆：的右焦点为，短轴长为2，过定点的直线交椭圆于不同的两点、（点在点，之间）.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若射线交椭圆于点（为原点），求面积的最大值.‎ ‎22．（12分）某手机企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，统计了近年投入的年研发费用千万元与年销售量千万件的数据，得到散点图1，对数据作出如下处理：令，，得到相关统计量的值如图2：‎ ‎（1）利用散点图判断和哪一个更适合作为年研发费用和年销售量的回归类型（不必说明理由），并根据数据，求出与的回归方程；‎ ‎（2）已知企业年利润千万元与的关系式为（其中为自然对数的底数），根据（1）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？‎ 参考答案 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B B B A D C B D B D B B ‎13．4 14． 15．9 16．②‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ ‎【答案】（Ⅰ） （2） .‎ ‎【解析】（Ⅰ）当命题为真命题时，‎ 函数在上单调递减，‎ 所以在上恒成立.‎ 所以在上单调递减，故，‎ 解得，‎ 所以是真命题，实数的取值范围为.‎ ‎（2）命题为真命题时，函数在上单调递增，∴.‎ 因为或为真命题，且为假命题，所以与的真值相反.‎ ‎（ⅰ）当真且假时，有，此不等式无解.‎ ‎（ⅱ）当假且真时，有 解得或.‎ 综上可得，实数的取值范围为.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】假设全部小于2.即，‎ 则，①‎ 又，当且仅当时等号成立，‎ 与①矛盾，所以假设错误．原命题为真．‎ 所以至少有一个不小于2.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎【答案】（1）列联表见解析，没有； （2）①残差表见解析，0.91；②‎ ‎【解析】（1）‎ 身高较矮 身高较高 合计 体重较轻 ‎6‎ ‎15‎ ‎21‎ 体重较重 ‎6‎ ‎5‎ ‎11‎ 合计 ‎12‎ ‎20‎ ‎32‎ 由于，‎ 因此没有的把握认为男生的身高对指数有影响.‎ ‎（2）①，对编号为6的数据：，对编号为7的数据：，对编号为8的数据，完成残差表如下所示：‎ 编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 体重 ‎57‎ ‎58‎ ‎53‎ ‎61‎ ‎66‎ ‎57‎ ‎50‎ ‎66‎ 残差 ‎0.1‎ ‎0.3‎ ‎0.9‎ ‎3.5‎ ‎.‎ 所以解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值约为0.91.‎ ‎②由①可知，第八组数据的体重应为58.‎ 此时，又，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以重新采集数据后，男体育特长生的身高与体重的线性回归方程为 ‎.‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ ‎【答案】（1） x2＋y2＝1. （2）.‎ ‎【解析】（1）由题意，曲线C1的极坐标方程是，‎ 即4ρcosθ＋3ρsinθ＝24，又由，‎ 所以4x＋3y－24＝0，故C1的直角坐标方程为4x＋3y－24＝0.‎ 因为曲线C2的参数方程为（θ为参数），所以x2＋y2＝1，‎ 故C2的普通方程为x2＋y2＝1.‎ ‎（2）将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，‎ 则曲线C3的参数方程为为参数）.‎ 设N（2cosα，2sinα），则点N到曲线C1的距离 ‎（其中满足）‎ 当sin（α＋φ）＝1时，d有最小值，‎ 所以|MN|的最小值为.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎【答案】（1） （2） （3）‎ ‎【解析】(1)因为右焦点为,故.又短轴长为2,故,解得 ‎ 故椭圆的方程：‎ ‎(2)当直线斜率不存在时, 直线,此时,‎ 故,此时,‎ 当直线斜率存在时,设直线,.‎ 联立直线与椭圆 有,此时,.‎ ‎ .‎ 又,即 ,故 又 即,‎ 又因为,故,即,故 有基本不等式故计算得 ‎,又,故 综上 ‎(3) ,‎ 令则 故面积的最大值为 ‎22．（本小题满分12分）‎ ‎【答案】（1）更适合，； （2）亿元 ‎【解析】（1）由散点图知，选择回归类型更适合，‎ 对两边取对数，得，即，‎ 由表中数据得，，‎ 所以，所以，‎ 所以年研发费用和年销售量的回归方程为.‎ ‎（2）由（1）知，求导得，‎ 令，得，‎ 函数在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以当时，年利润取最大值亿元.‎ 故要使得年利润最大，预计下一年应投入亿元研发费用.‎