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- 2021-06-16 发布
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考查角度1 三角函数图象与性质的综合应用
分类透析一 三角函数的图象及解析式
例1 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)其中A>0,ω>0,0<φ<π2的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为π2,且图象上的一个最低点为M2π3,-2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)画出函数y=f(x)在[0,π]上的图象.
分析 (1)x轴上相邻两个交点之间的距离是半个周期,由周期可确定ω,由图象过点M可确定A,φ.(2)用“五点法”作图,先做变量代换,然后列表、描点、连线.
解析 (1)由最低点为M2π3,-2,得A=2.
由x轴上相邻两个交点之间的距离为π2,得T2=π2,即T=π,
∴ω=2πT=2ππ=2.
又点M2π3,-2在函数f(x)的图象上,
∴2sin2×2π3+φ=-2,即sin4π3+φ=-1,
∴4π3+φ=2kπ+3π2,k∈Z,解得φ=2kπ+π6(k∈Z).
又φ∈0,π2,∴φ=π6.
故f(x)的解析式为f(x)=2sin2x+π6.
(2)列表如下:
2x+π6
π6
π2
π
3π2
2π
13π6
x
0
π6
5π12
2π3
11π12
π
f(x)
1
2
0
-2
0
1
其图象如图所示.
方法技巧 (1)求函数表达式,比较难求的是φ,可以用“五点法”中的第一个点-φω,0作为突破口或者将已知点的坐标代入解析式,要尽量选最值点.
(2)作函数图象一般用“五点法”.若用图象变换来作图,常常先平移后伸缩,这样就不容易出错,但考题中也有先伸缩后平移的,无论哪种变形,切记每个变换总是对x而言.
分类透析二 三角函数的性质
例2 已知函数f(x)=(sin x+cos x)2+2cos2x-2.
(1)求函数f(x)图象的对称轴方程;
(2)求f(x)在x∈[0,π]上的单调递减区间;
(3)当x∈π4,3π4时,求函数f(x)的最大值和最小值.
分析 (1)化简函数解析式,求出对称轴方程.(2)根据正弦函数的单调递减区间,求函数f(x)在x∈[0,π]上的单调递减区间.(3)先确定ωx+φ的范围,然后根据范围求最值.
解析 (1)f(x)=1+sin 2x+1+cos 2x-2=sin 2x+cos 2x=2sin2x+π4.
令2x+π4=kπ+π2,k∈Z,则x=kπ2+π8,
所以函数f(x)图象的对称轴方程是x=kπ2+π8,k∈Z.
(2)令2kπ+π2≤2x+π4≤2kπ+3π2,k∈Z,则kπ+π8≤x≤kπ+5π8,k∈Z.
又x∈[0,π],令k=0,得π8≤x≤5π8,
所以f(x)在x∈[0,π]上的单调递减区间为π8,5π8.
(3)因为x∈π4,3π4,
所以3π4≤2x+π4≤7π4,所以-1≤sin2x+π4≤22,
所以-2≤f(x)≤1.
故当x∈π4,3π4时,函数f(x)的最大值为1,最小值为-2.
方法技巧 (1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性等问题时,往往先在定义域内化简三角函数式,尽量先化为y=Asin(ωx+φ)+B的形式,然后再求解.
(2)讨论函数y=Asin(ωx+φ)+B的单调性、值域时,可以利用换元思想设t=ωx+φ,转化成y=Asin t+B的形式,再结合函数的图象求解.
分类透析三 三角函数图象与性质的综合应用
例3 已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若(2a-3c)cos B=3bcos C,求fA2+sin C的取值范围.
分析 (1)先利用函数的图象,求出A,再通过函数的周期求出ω,最后通过函数的图象经过点π6,2,求出φ,即可解出函数f(x)的解析式.
(2)由(2a-3c)cos B=3bcos C,结合正弦定理,求出cos B,利用函数的解析式求fA2+sin C的表达式,通过A的范围求出函数的取值范围.
解析 (1)由图象知,A=2,T=22π3-π6=π,∴ω=2πT=2.
由图象可知,fπ6=2,∴2cos2×π6+φ=2,
∴cosπ3+φ=1,∴π3+φ=2kπ,φ=-π3+2kπ,k∈Z.
又∵|φ|<π2,∴φ=-π3,
∴f(x)=2cos2x-π3.
(2)∵(2a-3c)cos B=3bcos C,
∴(2sin A-3sin C)cos B=3sin Bcos C,
即2sin Acos B=3(sin Bcos C+cos Bsin C)=3sin(B+C)=3sin A,∵sin A≠0,∴cos B=32.
又B∈(0,π),∴B=π6,∴A+C=5π6.
由(1)知, fA2+sin C=2cosA-π3+sin C=cos A+3sin A+sin5π6-A
=cos A+3sin A+12cos A+32sin A=3sinA+π6.
又∵A∈0,5π6,∴A+π6∈π6,π,∴sinA+π6∈(0,1],
∴fA2+sin C的取值范围是(0,3].
方法技巧 三角形中取值范围问题的解题思路:建立所求量(或式子)与已知角或边的关系,把角或边作为自变量,所求量(或式子)的值作为函数值,转化为函数关系,将原问题转化为求函数的值域问题.注意利用条件中的范围限制,以及三角形自身范围限制,要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善,避免结果的范围过大.
1.(2017年浙江卷,18改编)已知函数f(x)=2sin x·sinπ6-x.
(1)求fπ3及f(x)的最小正周期T的值.
(2)求f(x)在区间-π6,π4上的最大值和最小值.
解析 (1)fπ3=2sinπ3sinπ6-π3=2×32×-12=-32.
因为f(x)=2sin xsinπ6-x
=2sin xsinπ6cos x-cosπ6sin x
=sin xcos x-3sin2x=12sin 2x-3×1-cos2x2
=12sin 2x+32cos 2x-32=sin2x+π3-32,
所以T=2π2=π.
(2)因为-π6≤x≤π4,所以0≤2x+π3≤5π6,
所以-32≤sin2x+π3-32≤1-32,
所以-32≤f(x)≤1-32,
故f(x)在区间-π6,π4上的最大值为1-32,最小值为-32.
2.(2018年上海卷,18改编)已知函数f(x)=2sin ωxcos ωx+23sin2ωx-3(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的单调递增区间.
(2)将函数f(x)的图象向左平移π6个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有10个零点,求b的最小值.
解析 (1)f(x)=2sin ωxcos ωx+3(2sin2ωx-1)
=sin 2ωx-3cos 2ωx=2sin2ωx-π3.
由最小正周期为π,得ω=1,所以f(x)=2sin2x-π3.
由2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2,k∈Z,整理得kπ-π12≤x≤kx+5π12,k∈Z,
所以函数f(x)的单调递增区间是kπ-π12,kπ+5π12,k∈Z.
(2)将函数f(x)的图象向左平移π6个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数y=2sin 2x+1的图象,
所以g(x)=2sin 2x+1.
令g(x)=0,得x=kπ+7π12或x=kπ+11π12(k∈Z).
若y=g(x)在[0,b]上至少含有10个零点,则b不小于第10个零点的横坐标.所以b的最小值为4π+11π12=59π12.
3.(2015年山东卷,理16改编)已知函数f(x)=3sin 2x+cos 2x+3.
(1)求函数f(x)的最小正周期与单调递减区间;
(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若a=3,f(A)=4,求△ABC周长的最大值.
解析 (1)∵f(x)=3sin 2x+cos 2x+3=2sin2x+π6+3,
∴函数f(x)的最小正周期T=2π2=π.
由2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2,k∈Z,得kπ+π6≤x≤kπ+2π3,k∈Z,
∴函数f(x)的单调递减区间为kπ+π6,kπ+2π3,k∈Z.
(2)由f(A)=4,得2sin2A+π6+3=4,
∴sin2A+π6=12.
∵00)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)若f(x)>22,求x的取值范围.
解析 (1)f(x)=3cos2ωx+sin ωxcos ωx-32=32(1+cos 2ωx)+12sin 2ωx-32=32cos 2ωx+12sin 2ωx=sin2ωx+π3,
因为f(x)的最小正周期为π,所以ω=1,
故f(x)=sin2x+π3.
由π2+2kπ≤2x+π3≤3π2+2kπ,k∈Z,得π12+kπ≤x≤7π12+kπ,k∈Z,
故函数f(x)的单调递减区间为π12+kπ,7π12+kπ,k∈Z.
(2)因为f(x)>22,所以sin2x+π3>22.
由正弦函数的性质得π4+2kπ<2x+π3<3π4+2kπ,k∈Z,解得-π24+kπ0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值及函数f(x)的单调递增区间.
(2)求f(x)在区间0,7π12上的最大值和最小值.
解析 (1)f(x)=sin2ωx-π6+2cos2ωx-1
=sin 2ωxcosπ6-cos 2ωxsinπ6+cos 2ωx
=sin 2ωx·32+cos 2ωx·12=sin2ωx+π6,
因为f(x)的最小正周期为π,所以ω=1,
故f(x)=sin2x+π6.
由-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,得-π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z.
故f(x)的单调递增区间为-π3+kπ,π6+kπ,k∈Z.
(2)由(1)得f(x)=sin2x+π6,因为0≤x≤7π12,所以π6≤2x+π6≤4π3,
所以f(x)在区间0,7π12上的最大值为1,最小值为-32.
4.(2018年湖北模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的图象(部分)如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在区间-12,12上的最大值与最小值.
解析 (1)由图可知A=2,T=456-13=2,∴ω=2πT=π.
由f13=2sinπ3+φ=2,可得π3+φ=2kπ+π2,解得φ=2kπ+π6,k∈Z.
又|φ|<π2,∴φ=π6,∴f(x)=2sinπx+π6.
(2)∵x∈-12,12,∴πx+π6∈-π3,2π3,
∴-3≤2sinπx+π6≤2,即f(x)的最大值是2,最小值是-3.