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- 2021-06-16 发布
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雅安中学高2018级高二上期半期数学试卷
一.选择题
1.准线方程为抛物线的标准方程是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意,由抛物线的准线方程可得其焦点在轴负半轴上,且,由抛物线的标准方程可得答案.
【详解】解:根据题意,抛物线的准线方程为,
即其焦点在轴负半轴上,且,得,
故其标准方程为:.
故选:D.
【点睛】本题考查抛物线的几何性质,关键是掌握抛物线的标准方程的四种形式.
2.程序框图符号“”可用于( )
A. 赋值 B. 输出 C. 输入 D. 判断
【答案】D
【解析】
【分析】
利用菱形框的功能可得出正确选项.
【详解】在程序框图中,菱形框的功能是判断条件是否成立,因此,“”可用于判断.
故选:D.
【点睛】本题考查程序框图中一些常见图形的功能,考查分析问题和解决问题的能力,属于基础题.
3.椭圆的左右焦点分别为,,一条直线经过与椭圆交于,两点,则
的周长为( )
A. B. 6 C. D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】
根据椭圆定义,得到,进而可求出结果.
【详解】由题意,根据椭圆定义,得到,
所以的周长为:.
故选:C
【点睛】本题主要考查椭圆中三角形的周长,熟记椭圆的定义即可,属于基础题型.
4.如果方程表示焦点在轴上的椭圆,则的取值范围是( ).
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据焦点在轴上推出,且,解不等式求得的范围.
【详解】由题意方程表示焦点在轴上的椭圆,
可得:,并且,
解得:.
故选:.
【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程,解题时注意看焦点在轴还是在轴.
5.若直线经过第一、二、四象限,则系数、、
满足条件为( )
A. 、、同号 B. ,
C. , D. ,
【答案】D
【解析】
【分析】
作出直线的图象,结合图象得出该直线斜率、在轴上截距和轴上截距的符号,可得出系数、、所满足的条件.
【详解】如下图所示:
由于直线经过第一、二、四象限,则斜率,可得,
在轴上的截距,可得,在轴上的截距,可得.
故选:D.
【点睛】本题考查利用直线的图象得出方程中系数的符号,一般从斜率、在坐标轴上截距的符号来进行分析,考查数形结合思想的应用,属于中等题.
6.已知直线在两坐标轴上的截距相等,则实数
A. 1 B. C. 或1 D. 2或1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时,求出对应的值,即可得到答案.
【详解】由题意,当,即时,直线化,
此时直线在两坐标轴上的截距都为0,满足题意;
当,即时,直线化为,
由直线在两坐标轴上的截距相等,可得,解得;
综上所述,实数或.
故选:D.
【点睛】本题主要考查了直线方程的应用,以及直线在坐标轴上的截距的应用,其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义,合理分类讨论求解是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.
7.已知椭圆的离心率为,则的值为( )
A. 或 B. C. 或 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
对椭圆的焦点位置进行分类讨论,利用离心率公式可求出实数的值.
【详解】当椭圆的焦点在轴上时,则,则,,则,
此时,椭圆的离心率为,解得;
当椭圆的焦点在轴上时,则,则,,则,
此时,椭圆的离心率为,解得.
因此,或.
故选:A.
【点睛】本题考查利用椭圆的离心率求参数,解题时要对椭圆的焦点位置进行分类讨论,考查运算求解能力,属于中等题.
8.已知中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为
,则该双曲线的离心率是()
A. B. C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】
分为焦点在轴上和焦点在轴上两种情形,由渐近线的方程得的值,结合可得离心率的值.
【详解】依题意,双曲线的焦点在轴上时,设它的方程为;
由渐近线方程为,得,故,即,
焦点在轴上时,设它的方程为,
由渐近线方程为,得,故,即,故选D.
【点睛】本题主要考查了双曲线的渐近线以及离心率的概念,掌握是解题的关键,属于中档题.
9.已知椭圆()与双曲线()的焦点重合,若双曲线的顶点是椭圆长轴的两个三等分点,曲线,的离心率分别为,,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可得,解方程可得,再由离心率公式,化简计算可得所求值.
【详解】解:椭圆()与双曲线()的焦点重合,
可得,即,①
若双曲线的顶点是椭圆长轴的两个三等分点,可得,②
由①②可得,
则.
故选:C.
【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质,考查离心率的计算,以及方程思想和化简运算能力,属于基础题.
10.已知为直线上的动点,过点作圆的一条切线,切点为,则面积的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
作出图形,根据勾股定理,可知当与直线垂直时,取得最小值,此时取得最小值,则取得最小值,利用点到直线的距离公式计算出的最小值,可得出的最小值,由此可计算出面积的最小值.
【详解】如下图所示,过点引圆的切线,切点为点,,且,
由勾股定理得.
点是直线上的动点,当时,此时取得最小值,则取得最小值,则圆心到直线的距离为.
则的最小值为,所以的面积等于,
因此,面积的最小值为.
故选:A.
【点睛】本题考查直线与圆相切时三角形面积最值的求解,解题时要充分利用数形结合思想,抓住一些关键位置进行分析,考查数形结合思想的应用,属于中等题.
11.已知圆与直线相切,直线始终平分圆的面积,则圆方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
计算出直线所过定点的坐标,由题意得出定点是圆的圆心,然后利用点到直线的距离公式计算出圆的半径长,即可得出圆的方程.
【详解】在直线的方程中,令,则,则直线过定点
.
由于直线始终平分圆的面积,则点是圆的圆心,
又圆与直线相切,则圆的半径.
因此,圆的方程为,即.
故选:D.
【点睛】本题考查圆的方程的求解,同时也考查了直线过定点问题,求出圆的圆心坐标为解题的关键,考查运算求解能力,属于中等题.
12.已知椭圆的焦点为,,过的直线与交于,两点.若,,则的方程为( ).
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得,,即得椭圆的方程.
详解】,,
又,,
又,,
,,
,,
,在轴上.
在△中,,
在△中,由余弦定理可得.
,可得,解得.
.
椭圆的方程为:.
故选:.
【点睛】本题考查了椭圆的性质,椭圆对称性的应用,考查转化思想以及计算能力,属中档题.
二.填空题
13.直线与轴交点的横坐标是_____.
【答案】
【解析】
【分析】
在直线的方程中令,求出的值,可得出该直线与轴的交点的横坐标.
【详解】在直线的方程中,令,解得,
因此,直线与轴交点的横坐标是.
故答案为:.
【点睛】本题考查直线交点坐标的计算,一般联立直线方程组,求出公共解即可,考查计算能力,属于基础题.
14.下面程序的运行结果是_____.
【答案】
【解析】
【分析】
根据程序语句列出循环的每一步,可得出输出结果.
【详解】根据程序语句,成立,执行第一次循环,,;
成立,执行第二次循环,,;
成立,执行第三次循环,,;
不成立,跳出循环体,输出的值为.
故答案为:.
【点睛】本题考查利用程序语句写出输出结果,一般要结合程序语句列举出循环每一步,考查分析问题和解决问题的能力,属于基础题.
15.某曲线的方程为,若直线与该曲线有公共点,则实数的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意得知曲线为线段(其中、),注意到直线是过定点且斜率为的直线,利用数形结合思想观察当直线与线段有公共点时,直线的倾斜角的变化,即可求出实数的取值范围.
【详解】,可知该曲线上的点到点、
的距离之和为,该曲线即为线段,
又直线是过定点P且斜率为的直线,
如下图所示:
直线的斜率为,直线的斜率为.
故当直线与线段有交点时,实数的取值范围是.
故答案为:.
【点睛】本题考查利用直线与线段由公共点求斜率的取值范围,同时也考查了轨迹方程的求解,利用数形结合思想得出直线斜率的取值范围是解题的关键,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.
16.已知直线经过抛物线的焦点,与抛物线交于、,且,点是弧(为原点)上一动点,以为圆心的圆与直线相切,当圆的面积最大时,圆的标准方程为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
作出图形,利用两点间的斜率公式得出直线的斜率,可得出直线的方程,再利用当点到直线的距离最大时,圆的面积最大,由此求出点的坐标,并计算出点到直线的距离,作为圆的半径,由此可得出圆的标准方程.
【详解】抛物线的标准方程为,抛物线的焦点坐标为,
直线的斜率,
所以,直线的方程为,即.
当点到直线的距离最大时,圆的面积最大,如下图所示:
设点,点在直线的下方,则,
点到直线的距离为,当时,取最大值,
此时,点的坐标为,因此,圆的标准方程为.
故答案为:.
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系,同时也考查了抛物线上一点到直线距离的最值问题,解题的关键在于将问题转化为二次函数的最值问题,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.
三.解答题
17.已知的三个顶点是
(1)求边上的高所在直线的方程;
(2)求边上的中线所在直线的方程.
【答案】(1);(2)
【解析】
【详解】(1)作直线,垂足为点
由直线的点斜式方程可知直线的方程为:
化简得:
(2)如图,取中点,连接
由中点坐标公式得,即点
由直线的两点式方程可知直线的方程为:
化简得:
18.已知双曲线的离心率等于,且与椭圆:有公共焦点,
(1)求双曲线的方程;
(2)若抛物线的焦点到准线的距离等于椭圆的焦距,求该抛物线方程.
【答案】(1)(2)或
【解析】
【分析】
(1)由椭圆的方程可得的值及焦点的位置,结合离心率的值可得的值,最后得
,进而可得双曲线的方程;(2)由椭圆的焦距可得的值,进而可得抛物线的方程.
【详解】解:(1)由椭圆:得,焦点在轴上,
,∴,所以双曲线方程为.
(2)∵椭圆:的焦距为,∴,
抛物线方程为,
【点睛】本题主要考查了由求双曲线的方程以及抛物线方程的求法,属于基础题.
19.已知圆经过点.
(1)若直线与圆相切,求的值;
(2)若圆与圆无公共点,求的取值范围.
【答案】(1) 或. (2)
【解析】
试题分析:
由题意可得圆的方程为。(1)由圆心到直线的距离等于半径可得,解得或,即为所求。(2)由圆与圆无公共点可得两圆内含或外离,根据圆心距和两半径的关系得到不等式即可得到所求范围。
试题解析:
将点的坐标代入,
可得,
所以圆的方程为,即,
故圆心为,半径.
(1)因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于圆的半径,
即,
整理得,
解得或.
(2)圆的圆心为,则,
由题意可得圆与圆内含或外离,
所以或,
解得或.
所以的取值范围为.
20.已知椭圆的长轴长为,且短轴长是长轴长的一半.
(1)求椭圆的方程;
(2)经过点作直线,交椭圆于、两点.如果恰好是线段的中点,求直线的方程.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)根据题意求出、,即可得出椭圆的标准方程;
(2)设点、,由点为线段的中点,可得出,然后利用点差法可求出直线的斜率,利用点斜式方程可得出直线的方程.
【详解】(1)根据题意,椭圆的长轴长为,且短轴长是长轴长的一半.
即,则,,则,因此,椭圆的方程为;
(2)由(1)得椭圆的方程为,设点、,
由于点为线段的中点,则,得.
由于点、在椭圆上,则,两个等式相减得,
即,即,
所以,直线的斜率为.
因此,直线的方程为,即.
【点睛】本题考查椭圆方程的求解,同时也考查了利用点差法处理中点弦问题,在涉及中点弦的问题时,也可以利用韦达定理来求解,考查运算求解能力,属于中等题.
21.设抛物线的焦点为,直线与抛物线交于不同的两点、,线段中点的横坐标为,且.
(Ⅰ)求抛物线的标准方程;
(Ⅱ)若直线(斜率存在)经过焦点,求直线的方程.
【答案】(I);(II).
【解析】
【分析】
(Ⅰ)设点、,由题意得出,再利用抛物线的定义可求出的值,由此可得出抛物线的方程;
(Ⅱ)设直线的方程为,将该直线的方程与抛物线的方程联立,利用韦达定理求出的值,即可得出直线的方程.
【详解】(I)设点、,则线段中点横坐标为,
,又,解得.
因此,抛物线的标准方程为;
(II)由(I)知,抛物线的焦点为,
故可设直线的方程为,,联立方程组,消去,
得,,解得,
因此,直线的方程为.
【点睛】本题考查利用抛物线的定义求抛物线方程,同时也考查了直线与抛物线综合问题的求解,一般将直线方程与抛物线方程联立,利用韦达定理设而不求法进行求解,考查运算求解能力,属于中等题.
22.椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别为,离心率为,过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知点M(0,-1),直线l经过点N(2,1)且与椭圆C相交于A,B两点(异于点M),记直线MA的斜率为,直线MB的斜率为,证明 为定值,并求出该定值.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)见证明
【解析】
【分析】
(Ⅰ)根据已知得到关于a,b,c的方程组,解方程组即得椭圆的标准方程;(Ⅱ)先考虑直线l的斜率不存在的情况,再考虑斜率存在的情况,直线l的方程与椭圆的标准方程联立得到韦达定理,再求出,化简即得其为定值.
【详解】(Ⅰ)将代入中,由可得,
所以弦长为,
故有,解得,
所以椭圆的方程为:.
(Ⅱ)若直线l的斜率不存在,即直线的方程为x=2,与椭圆只有一个交点,不符合题意。
设直线l的斜率为k,若k=0,直线l与椭圆只有一个交点,不符合题意,故k≠0.
所以直线l的方程为,即, 直线l的方程与椭圆的标准方程联立得:
消去y得:,
设,则,
,
把代入上式,得
,命题得证.
【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法,考查直线和椭圆的位置关系,考查椭圆中的定值问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.