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  • 2021-06-16 发布

四川省雅安市雨城区雅安中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

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雅安中学高2018级高二上期半期数学试卷 一.选择题 ‎1.准线方程为抛物线的标准方程是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,由抛物线的准线方程可得其焦点在轴负半轴上,且,由抛物线的标准方程可得答案.‎ ‎【详解】解:根据题意,抛物线的准线方程为, 即其焦点在轴负半轴上,且,得, 故其标准方程为:. 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的几何性质,关键是掌握抛物线的标准方程的四种形式.‎ ‎2.程序框图符号“”可用于(  )‎ A. 赋值 B. 输出 C. 输入 D. 判断 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用菱形框的功能可得出正确选项.‎ ‎【详解】在程序框图中,菱形框的功能是判断条件是否成立,因此,“”可用于判断.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查程序框图中一些常见图形的功能,考查分析问题和解决问题的能力,属于基础题.‎ ‎3.椭圆的左右焦点分别为,,一条直线经过与椭圆交于,两点,则 的周长为( )‎ A. B. 6 C. D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆定义,得到,进而可求出结果.‎ ‎【详解】由题意,根据椭圆定义,得到,‎ 所以的周长为:.‎ 故选:C ‎【点睛】本题主要考查椭圆中三角形的周长,熟记椭圆的定义即可,属于基础题型.‎ ‎4.如果方程表示焦点在轴上的椭圆,则的取值范围是( ).‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据焦点在轴上推出,且,解不等式求得的范围.‎ ‎【详解】由题意方程表示焦点在轴上的椭圆,‎ 可得:,并且,‎ 解得:.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程,解题时注意看焦点在轴还是在轴.‎ ‎5.若直线经过第一、二、四象限,则系数、、‎ 满足条件为(  )‎ A. 、、同号 B. ,‎ C. , D. ,‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出直线的图象,结合图象得出该直线斜率、在轴上截距和轴上截距的符号,可得出系数、、所满足的条件.‎ ‎【详解】如下图所示:‎ 由于直线经过第一、二、四象限,则斜率,可得,‎ 在轴上的截距,可得,在轴上的截距,可得.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查利用直线的图象得出方程中系数的符号,一般从斜率、在坐标轴上截距的符号来进行分析,考查数形结合思想的应用,属于中等题.‎ ‎6.已知直线在两坐标轴上的截距相等,则实数  ‎ A. 1 B. C. 或1 D. 2或1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时,求出对应的值,即可得到答案.‎ ‎【详解】由题意,当,即时,直线化,‎ 此时直线在两坐标轴上的截距都为0,满足题意;‎ 当,即时,直线化为,‎ 由直线在两坐标轴上的截距相等,可得,解得;‎ 综上所述,实数或.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线方程的应用,以及直线在坐标轴上的截距的应用,其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义,合理分类讨论求解是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.‎ ‎7.已知椭圆的离心率为,则的值为(  )‎ A. 或 B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对椭圆的焦点位置进行分类讨论,利用离心率公式可求出实数的值.‎ ‎【详解】当椭圆的焦点在轴上时,则,则,,则,‎ 此时,椭圆的离心率为,解得;‎ 当椭圆的焦点在轴上时,则,则,,则,‎ 此时,椭圆的离心率为,解得.‎ 因此,或.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查利用椭圆的离心率求参数,解题时要对椭圆的焦点位置进行分类讨论,考查运算求解能力,属于中等题.‎ ‎8.已知中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为 ‎,则该双曲线的离心率是()‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分为焦点在轴上和焦点在轴上两种情形,由渐近线的方程得的值,结合可得离心率的值.‎ ‎【详解】依题意,双曲线的焦点在轴上时,设它的方程为;‎ 由渐近线方程为,得,故,即,‎ 焦点在轴上时,设它的方程为,‎ 由渐近线方程为,得,故,即,故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的渐近线以及离心率的概念,掌握是解题的关键,属于中档题.‎ ‎9.已知椭圆()与双曲线()的焦点重合,若双曲线的顶点是椭圆长轴的两个三等分点,曲线,的离心率分别为,,则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得,解方程可得,再由离心率公式,化简计算可得所求值.‎ ‎【详解】解:椭圆()与双曲线()的焦点重合, 可得,即,① 若双曲线的顶点是椭圆长轴的两个三等分点,可得,② 由①②可得, 则. 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质,考查离心率的计算,以及方程思想和化简运算能力,属于基础题.‎ ‎10.已知为直线上的动点,过点作圆的一条切线,切点为,则面积的最小值是(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出图形,根据勾股定理,可知当与直线垂直时,取得最小值,此时取得最小值,则取得最小值,利用点到直线的距离公式计算出的最小值,可得出的最小值,由此可计算出面积的最小值.‎ ‎【详解】如下图所示,过点引圆的切线,切点为点,,且,‎ 由勾股定理得.‎ 点是直线上的动点,当时,此时取得最小值,则取得最小值,则圆心到直线的距离为.‎ 则的最小值为,所以的面积等于,‎ 因此,面积的最小值为.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆相切时三角形面积最值的求解,解题时要充分利用数形结合思想,抓住一些关键位置进行分析,考查数形结合思想的应用,属于中等题.‎ ‎11.已知圆与直线相切,直线始终平分圆的面积,则圆方程为(  )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出直线所过定点的坐标,由题意得出定点是圆的圆心,然后利用点到直线的距离公式计算出圆的半径长,即可得出圆的方程.‎ ‎【详解】在直线的方程中,令,则,则直线过定点 ‎.‎ 由于直线始终平分圆的面积,则点是圆的圆心,‎ 又圆与直线相切,则圆的半径.‎ 因此,圆的方程为,即.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查圆的方程的求解,同时也考查了直线过定点问题,求出圆的圆心坐标为解题的关键,考查运算求解能力,属于中等题.‎ ‎12.已知椭圆的焦点为,,过的直线与交于,两点.若,,则的方程为( ).‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得,,即得椭圆的方程.‎ 详解】,,‎ 又,,‎ 又,,‎ ‎,,‎ ‎,,‎ ‎,在轴上.‎ 在△中,,‎ 在△中,由余弦定理可得.‎ ‎,可得,解得.‎ ‎.‎ 椭圆的方程为:.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的性质,椭圆对称性的应用,考查转化思想以及计算能力,属中档题.‎ 二.填空题 ‎13.直线与轴交点的横坐标是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在直线的方程中令,求出的值,可得出该直线与轴的交点的横坐标.‎ ‎【详解】在直线的方程中,令,解得,‎ 因此,直线与轴交点的横坐标是.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查直线交点坐标的计算,一般联立直线方程组,求出公共解即可,考查计算能力,属于基础题. ‎ ‎14.下面程序的运行结果是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序语句列出循环的每一步,可得出输出结果.‎ ‎【详解】根据程序语句,成立,执行第一次循环,,;‎ 成立,执行第二次循环,,;‎ 成立,执行第三次循环,,;‎ 不成立,跳出循环体,输出的值为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查利用程序语句写出输出结果,一般要结合程序语句列举出循环每一步,考查分析问题和解决问题的能力,属于基础题.‎ ‎15.某曲线的方程为,若直线与该曲线有公共点,则实数的取值范围是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得知曲线为线段(其中、),注意到直线是过定点且斜率为的直线,利用数形结合思想观察当直线与线段有公共点时,直线的倾斜角的变化,即可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】,可知该曲线上的点到点、‎ 的距离之和为,该曲线即为线段,‎ 又直线是过定点P且斜率为的直线,‎ 如下图所示:‎ 直线的斜率为,直线的斜率为.‎ 故当直线与线段有交点时,实数的取值范围是.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查利用直线与线段由公共点求斜率的取值范围,同时也考查了轨迹方程的求解,利用数形结合思想得出直线斜率的取值范围是解题的关键,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.‎ ‎16.已知直线经过抛物线的焦点,与抛物线交于、,且,点是弧(为原点)上一动点,以为圆心的圆与直线相切,当圆的面积最大时,圆的标准方程为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出图形,利用两点间的斜率公式得出直线的斜率,可得出直线的方程,再利用当点到直线的距离最大时,圆的面积最大,由此求出点的坐标,并计算出点到直线的距离,作为圆的半径,由此可得出圆的标准方程.‎ ‎【详解】抛物线的标准方程为,抛物线的焦点坐标为,‎ 直线的斜率,‎ 所以,直线的方程为,即.‎ 当点到直线的距离最大时,圆的面积最大,如下图所示:‎ 设点,点在直线的下方,则,‎ 点到直线的距离为,当时,取最大值,‎ 此时,点的坐标为,因此,圆的标准方程为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系,同时也考查了抛物线上一点到直线距离的最值问题,解题的关键在于将问题转化为二次函数的最值问题,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.‎ 三.解答题 ‎17.已知的三个顶点是 ‎(1)求边上的高所在直线的方程;‎ ‎(2)求边上的中线所在直线的方程.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】(1)作直线,垂足为点 由直线的点斜式方程可知直线的方程为:‎ 化简得:‎ ‎(2)如图,取中点,连接 由中点坐标公式得,即点 由直线的两点式方程可知直线的方程为:‎ 化简得:‎ ‎18.已知双曲线的离心率等于,且与椭圆:有公共焦点,‎ ‎(1)求双曲线的方程;‎ ‎(2)若抛物线的焦点到准线的距离等于椭圆的焦距,求该抛物线方程.‎ ‎【答案】(1)(2)或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由椭圆的方程可得的值及焦点的位置,结合离心率的值可得的值,最后得 ‎,进而可得双曲线的方程;(2)由椭圆的焦距可得的值,进而可得抛物线的方程.‎ ‎【详解】解:(1)由椭圆:得,焦点在轴上,‎ ‎,∴,所以双曲线方程为.‎ ‎(2)∵椭圆:的焦距为,∴,‎ 抛物线方程为,‎ ‎【点睛】本题主要考查了由求双曲线的方程以及抛物线方程的求法,属于基础题.‎ ‎19.已知圆经过点.‎ ‎(1)若直线与圆相切,求的值;‎ ‎(2)若圆与圆无公共点,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 或. (2) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析:‎ 由题意可得圆的方程为。(1)由圆心到直线的距离等于半径可得,解得或,即为所求。(2)由圆与圆无公共点可得两圆内含或外离,根据圆心距和两半径的关系得到不等式即可得到所求范围。‎ 试题解析:‎ 将点的坐标代入,‎ 可得,‎ 所以圆的方程为,即,‎ 故圆心为,半径.‎ ‎(1)因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于圆的半径,‎ 即,‎ 整理得,‎ 解得或.‎ ‎(2)圆的圆心为,则,‎ 由题意可得圆与圆内含或外离,‎ 所以或,‎ 解得或.‎ 所以的取值范围为.‎ ‎20.已知椭圆的长轴长为,且短轴长是长轴长的一半.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)经过点作直线,交椭圆于、两点.如果恰好是线段的中点,求直线的方程.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题意求出、,即可得出椭圆的标准方程;‎ ‎(2)设点、,由点为线段的中点,可得出,然后利用点差法可求出直线的斜率,利用点斜式方程可得出直线的方程.‎ ‎【详解】(1)根据题意,椭圆的长轴长为,且短轴长是长轴长的一半.‎ 即,则,,则,因此,椭圆的方程为;‎ ‎(2)由(1)得椭圆的方程为,设点、,‎ 由于点为线段的中点,则,得.‎ 由于点、在椭圆上,则,两个等式相减得,‎ 即,即,‎ 所以,直线的斜率为.‎ 因此,直线的方程为,即.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求解,同时也考查了利用点差法处理中点弦问题,在涉及中点弦的问题时,也可以利用韦达定理来求解,考查运算求解能力,属于中等题.‎ ‎21.设抛物线的焦点为,直线与抛物线交于不同的两点、,线段中点的横坐标为,且.‎ ‎(Ⅰ)求抛物线的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)若直线(斜率存在)经过焦点,求直线的方程.‎ ‎【答案】(I);(II).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)设点、,由题意得出,再利用抛物线的定义可求出的值,由此可得出抛物线的方程;‎ ‎(Ⅱ)设直线的方程为,将该直线的方程与抛物线的方程联立,利用韦达定理求出的值,即可得出直线的方程.‎ ‎【详解】(I)设点、,则线段中点横坐标为,‎ ‎,又,解得.‎ 因此,抛物线的标准方程为;‎ ‎(II)由(I)知,抛物线的焦点为,‎ 故可设直线的方程为,,联立方程组,消去,‎ 得,,解得,‎ 因此,直线的方程为.‎ ‎【点睛】本题考查利用抛物线的定义求抛物线方程,同时也考查了直线与抛物线综合问题的求解,一般将直线方程与抛物线方程联立,利用韦达定理设而不求法进行求解,考查运算求解能力,属于中等题.‎ ‎22.椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别为,离心率为,过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)已知点M(0,-1),直线l经过点N(2,1)且与椭圆C相交于A,B两点(异于点M),记直线MA的斜率为,直线MB的斜率为,证明 为定值,并求出该定值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)根据已知得到关于a,b,c的方程组,解方程组即得椭圆的标准方程;(Ⅱ)先考虑直线l的斜率不存在的情况,再考虑斜率存在的情况,直线l的方程与椭圆的标准方程联立得到韦达定理,再求出,化简即得其为定值.‎ ‎【详解】(Ⅰ)将代入中,由可得,‎ 所以弦长为, ‎ 故有,解得,‎ 所以椭圆的方程为:. ‎ ‎(Ⅱ)若直线l的斜率不存在,即直线的方程为x=2,与椭圆只有一个交点,不符合题意。‎ 设直线l的斜率为k,若k=0,直线l与椭圆只有一个交点,不符合题意,故k≠0.‎ 所以直线l的方程为,即, 直线l的方程与椭圆的标准方程联立得:‎ 消去y得:,‎ 设,则,‎ ‎,‎ 把代入上式,得 ‎,命题得证.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法,考查直线和椭圆的位置关系,考查椭圆中的定值问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎ ‎

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