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- 2021-06-16 发布
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2019-2020年向明中学高二上10月月考
一.填空题
1.线性方程组的增广矩阵为,则该线性方程组的解是________
【答案】
【解析】
【分析】
由增广矩阵写出原二元线性方程组,根据方程解出,,即可得解.
【详解】由二元线性方程组的增广矩阵为,
可得到二元线性方程组的表达式,
故答案为:
点睛】本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式,主要考查二元线性方程组的增广矩阵的定义,计算量小,属于较容易的题型.
2.设,,,若,则________
【答案】
【解析】
【分析】
由向量相等得,解方程即得解.
【详解】因为,
所以,
所以,
所以,
所以.
故.
故答案为:
【点睛】本题主要考查向量的坐标运算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3.为非零向量,,,且,则四边形的形状是____
【答案】等腰梯形
【解析】
【分析】
先通过向量证明,再证明,即可判断四边形ABCD的形状.
【详解】因为,,
所以,
所以,
因为,
所以AD=BC,
所以四边形ABCD是等腰梯形.
故答案为:等腰梯形
【点睛】本题主要考查共线向量,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4.已知向量、满足,,,则与的夹角的大小为________
【答案】
【解析】
【分析】
直接代向量的夹角公式即得与的夹角的大小.
【详解】由题得与的夹角的余弦为,
所以与夹角为.
故答案为:
【点睛】本题主要考查向量的夹角的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.
5.在等比数列中,已知,公比,且,,则_____
【答案】
【解析】
【分析】
由题得,解方程即得的值.
【详解】由题得,
所以,
所以,
所以.
故答案为:11
【点睛】本题主要考查等比数列的性质和通项,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6.若,,则在方向上的投影是________
【答案】
【解析】
【分析】
直接代在方向上的投影公式即得解.
【详解】由题得在方向上的投影为.
故答案为:-2
【点睛】本题主要考查在方向上的投影的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7.设数列()的首项且项和为,已知向量,,满足,则该数列的各项和是________
【答案】
【解析】
【分析】
由得,所以数列为等比数列,再利用等比数列各项的和公式求解.
【详解】由得,
所以,
所以数列是一个公比为的等比数列,
所以该数列的各项的和为.
故答案为:
【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标表示,考查等比数列的性质的判定,考查等比数列各项的和,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
8.已知数列满足,,且是递增数列,则实数的取值范围是________
【答案】
【解析】
【分析】
由数列是递增数列得到且且,解不等式即得解.
【详解】因为是递增数列,
所以且且,
所以,
所以.
故答案为:
【点睛】本题主要考查数列的单调性和分段函数的单调性,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
9.如图,正方形的边长为2,为中点,,为正方形的边上的一个动点,则的最大值为________
【答案】
【解析】
【分析】
以点A为坐标原点,建立坐标系,对点M的位置分四种情况讨论,求出的最大值.
【详解】
如图所示,以点A为坐标原点,建立坐标系,则.所以.
(1)当点M在边AB上时,设,则,
所以,所以当时,的最大值为2;
(2)当点M在边BC上时,设,则,
所以,所以当时,的最大值为2;
(3)当点M在边CD上时,设,则,
所以,所以当时,的最大值为0;
(4)当点M在边AD上时,设,则,
所以,所以当时,的最大值为1.
综上所述,的最大值为2.
故答案为:2
【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和运算,考查数量积的坐标表示,考查函数的最值的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
10.设、、都是非零向量,其中任意两个都不平行,已知∥,∥,关于的方程的解________
【答案】
【解析】
【分析】
根据,即可得出,存在实数,,使得,①②即可得出,从而可求出,这样即可得出,③④即可得出,代入即可得出,从而求出.
【详解】,且、、都是非零向量,其中任意两个都不平行;
根据共线向量基本定理得,存在实数,,使:;
①②得:;
根据平面向量基本定理得,,;
③,④;
③④得:;
;
由得:;
;
.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查共线向量和平面向量基本定理,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
11.设为单位向量,非零向量,若的夹角为,则的最大值等于 .
【答案】
【解析】
试题分析:由题意,得,则
,即,所以的最大值为.
考点:1.平面向量的模长;2.二次函数的最值.
12.定义域为,且对任意实数、都满足不等式的所有函数组成的集合记为,例如,试写出一个函数,使得数列极限,,则________
【答案】
【解析】
【分析】
验证函数,满足条件即可.
【详解】由题意知,函数,
当时,
,
所以.
当时,
,
所以
所以函数.
且极限,
.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了新定义的函数与极限的应用问题,也考查了分类讨论思想,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平..
二.选择题
13.某人在超市一次性购买了20斤大米和10斤食用油,大米的价格是1.9元/斤,食用油的价格是15元/斤,则购买这两种商品的总花费可以用下列哪个算式计算得到( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先计算出购买这两种商品的总花费,再计算矩阵比较即得解.
【详解】由题得购买这两种商品的总花费为,
又=,
故选:D
【点睛】本题主要考查矩阵的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
14.已知(),则( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先计算出,再求得解.
【详解】由题得,
,
所以.
故选:B
【点睛】本题主要考查数学归纳法,意在考查学生对该知识理解掌握水平.
15.给出下列结论:
①若,,则;
②、为不共线的非零向量,则;
③若,则;
④若非零向量、满足,则与垂直
其中真命题的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
对于①,或,所以该命题是假命题;对于②,利用数量积公式证明;对于③,如果,则
不一定相等,所以该命题是假命题;对于④,利用数量积公式证明是真命题.
【详解】对于①,若,,则或,所以该命题是假命题;
对于②,,而,由于、为不共线的非零向量,所以,所以,所以该命题是假命题;
对于③,若,如果,则不一定相等,所以该命题是假命题;
对于④,若非零向量、满足,,所以,则与垂直.所以该命题是真命题.
故选:B
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积和运算,考查平面向量的位置关系,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
16.已知()是以()为首项,以()为公比的等比数列,设,,,,则、、、中最大的取值为( )
A. B. 与 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分别计算,,,,再作差比较大小即可.
【详解】由题意,
,
最大
故选:.
【点睛】
本题考查数列的极限,关键是利用无穷等比数列和的极限公式,考查大小比较,属于基础题.
三.解答题
17.若是公差不为0的等差数列的前n项和,且成等比数列.
(1)求数列的公比.
(2)若,求的通项公式.
【答案】(1)公比为4;(2)
【解析】
【分析】
(1)设,然后根据相关条件去计算公比;(2)由(1)的结论计算的表达式,然后再计算的通项公式.
【详解】(1)设.∴,
∴,.
∴,即的公比为4
(2)∵,∴,即,
当时,,当时,符合,
∴
【点睛】(1)已知等差数列的三项成等比数列,可利用首项和公差将等式列出,找到首项和公差的关系;
(2)利用计算通项公式时,要注意验证的情况.
18.已知向量,,.
(1)试将向量表示成、线性组合;
(2)若向量(),当与的夹角为钝角时,求的取值范围.
【答案】(1);(2)且.
【解析】
【分析】
(1)设,利用向量相等,列方程组求解即可;(2)由题得,由题得,解不等式组即得解.
【详解】(1)设
所以,所以.所以.
(2)由题得,
因为与的夹角为钝角,
所以,
所以且.
【点睛】本题主要考查向量的线性运算和基底法,考查向量的夹角的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.
19.如图所示,设正方形的面积为1,正方形的面积为,正方形的面积为,它们的面积都比前者缩小,无限地作这种正方形.
(1)求所有这种正方形面积的和;
(2)点、、、、、,当无限增大时,求点无限地趋近哪一个点?
(3)点、、、、、,写出点的坐标,当无限增大时,求点
无限地趋近哪一个点?
【答案】(1)2;(2)点无限地趋近点;(3),点无限地趋近于.
【解析】
【分析】
(1)由题得所有的正方形的面积组成以1为首项,以为公比的等比数列,即得解;(2)
由题得点的横坐标是一个以1为首项,以为公比的等比数列,再求点无限地趋近的点的坐标;(3)由题得点的横坐标是一个以1为首项,以为公比的等比数列,、、、、、,纵坐标是一个以1为首项,以为公比的等比数列,再利用等比数列求解.
【详解】(1)由题得所有的正方形的面积组成以1为首项,以为公比的等比数列,
所以所有这种正方形面积的和为.
(2)由题得点,,
所以点的横坐标是一个以1为首项,以为公比的等比数列,
当无限增大时,的横坐标无限趋近,
所以当无限增大时,点无限地趋近点.
(3)由题得点,,
所以点的横坐标是一个以1为首项,以为公比的等比数列,、、、、、,纵坐标是一个以1为首项,以为公比的等比数列,
所以点的横坐标为,点的纵坐标为.
所以.
当无限增大时,点无限地趋近点.
【点睛】本题主要考查等比数列的判断和求和,考查等比数列各项的和和极限,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
20.把一系列向量()按次序排成一排,称之向量列,记作,向量列满足:,().
(1)求数列的通项公式;
(2)设,问数列中是否存在最小项?若存在,求出最小项,若不存在,请说明理由;
(3)设()表示向量与的夹角,为与轴正方向的夹角,且,若存在正整数,使得不等式成立,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2)存在最小项,最小项为;(3).
【解析】
【分析】
(1)通过向量模的定义计算可知,再利用等比数列求数列的通项;(2)通过假设数列中的第项最小,找出数列的单调性计算即得结论.(3)通过向量数量积的定义可知,进而,则问题转化为解不等式,计算即得结论;
【详解】(1)证明:由题得 ,,,
,
数列是等比数列.
因为,所以,
所以.
(2)结论:数列中存在最小项,最小项是.
理由如下:
,
假设数列中的第项最小,
,,
,
当时,有,
即,
整理得:,
所以.
所以
由,得,
所以
又,
故数列中存在最小项,最小项是.
(3)
,
,,
不等式恒成立,即恒成立,
记,
所以
要使成立,只需,
解得,
使不等式对于任意正整数恒成立的的取值范围是:.
【点睛】本题是一道关于数列与向量、不等式的综合题,考查运算求解能力,考查分析问题、解决问题的能力,注意解题方法的积累,属于中档题.
21.我们知道,在平面内,有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系,同样地,在平面内有公共原点且不垂直的两条数轴构成的坐标系,我们称之为“斜坐标系”.如图,在斜坐标系中,两条坐标轴的公共原点称为斜坐标系的原点,其坐标记为,点是斜坐标系中的任意一点,与直角坐标系相类似,过点分别作两坐标轴的平行线,与轴、轴交于点、,若、在轴、轴上分别对应实数、,则有序数对叫做点在斜坐标系中的坐标,记为.若点、是斜坐标系()中任意两点.
(1)求点、之间的距离(用坐标表示);
(2)若点分有向线段成定比,请你推导点坐标在斜坐标系中的定比分点公式.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)过点A,B分别作坐标轴的平行线,则,,再利用余弦定理求;(2)设,设,所以,解方程组即得点P的坐标.
【详解】
(1)如图所示,过点A,B分别作坐标轴的平行线,
则,,
在△ABC中,由余弦定理得.
(2)如图,设,设,
所以,
所以,
所以
故点P的坐标为.
【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算和定比分点,考查余弦定理解三角形和新定义,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.