【数学】2018届一轮复习北师大版参数方程学案 10页

第2讲　参数方程 ‎)‎ ‎1．参数方程和普通方程的互化 ‎(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．‎ ‎(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．‎ ‎2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程 名 称 普通方程 参数方程 直线 y－y0＝k(x－x0)‎ ‎(t为参数)‎ 圆 ‎(x－x0)2＋(y－y0)2‎ ‎＝R2‎ ‎(θ为参数且0≤θ<2π)‎ 椭圆 ＋＝1(a>b>0)‎ ‎(t为参数且0≤t<2π)‎ 抛物线 y2＝2px(p>0)‎ (t为参数)‎ ‎　参数方程与普通方程的互化 ‎　已知曲线C1：(t为参数)，曲线C2：(θ 为参数)．化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线．‎ ‎【解】　曲线C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，曲线C2：＋＝1，‎ 曲线C1是以(－4，3)为圆心，1为半径的圆；‎ 曲线C2是中心为坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．‎ 将参数方程化为普通方程的方法 ‎(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等．对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2θ＋cos2θ＝1等．‎ ‎(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．‎ ‎　将下列参数方程化为普通方程．‎ ‎(1)　(2) ‎ (1)两式相除，得k＝，‎ 将其代入得x＝，‎ 化简得所求的普通方程是4x2＋y2－6y＝0(y≠6)．‎ ‎(2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)，x＝1－sin 2θ∈，得y2＝2－x. ‎ 即所求的普通方程为y2＝2－x，x∈．‎ ‎　参数方程的应用 ‎　(2017·兰州市实战考试)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎(1)写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；‎ ‎(2)若点P坐标为(3，)，圆C与直线l交于A、B两点，求|PA|＋|PB|的值．‎ ‎【解】　(1)由得直线l的普通方程为x＋y－3－＝0.‎ 又由ρ＝2sin θ得圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，‎ 即x2＋(y－)2＝5.‎ ‎(2)把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得 ＋＝5，即t2－3t＋4＝0.‎ 由于Δ＝(3)2－4×4＝2＞0，故可设t1、t2是上述方程的两实数根，‎ 所以t1＋t2＝3，t1·t2＝4.‎ 又直线l过点P(3，)，A、B两点对应的参数分别为t1、t2，‎ 所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.‎ ‎(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等．‎ ‎(2)根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：　 ‎ 过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2.‎ ‎①弦长l＝|t1－t2|；‎ ‎②弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；‎ ‎③|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.‎ ‎　已知直线l：(t为参数)，曲线C1：(θ为参数)．‎ ‎(1)设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；‎ ‎(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．‎ ‎ (1)l的普通方程为y＝(x－1)，C1的普通方程为x2＋y2＝1.‎ 联立方程，解得l与C1的交点为A(1，0)，B，则|AB|＝1.‎ ‎(2)C2的参数方程为(θ为参数)．‎ 故点P的坐标是.‎ 从而点P到直线l的距离d＝＝，当sin＝－1时，d取得最小值，且最小值为(－1)．‎ ‎　极坐标方程与参数方程的综合问题 ‎　(2017·张掖市第一次诊断考试)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sin.‎ ‎(1)求圆C的直角坐标方程；‎ ‎(2)若P(x，y)是直线l与圆面ρ≤4sin的公共点，求x＋y的取值范围．‎ ‎【解】　(1)因为圆C的极坐标方程为ρ＝4sin，‎ 所以ρ2＝4ρsin＝4ρ，‎ 所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y－2x，‎ 即(x＋1)2＋(y－)2＝4.‎ ‎(2)设z＝x＋y，‎ 圆C的圆心是(－1，)，半径是2，‎ 将代入z＝x＋y，得z＝－t.‎ 又因为直线l过C(－1，)，圆C的半径为2，所以－2≤t≤2，‎ 所以－2≤－t≤2，即x＋y的取值范围是．‎ 涉及参数方程和极坐标方程的综合问题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．　 ‎ ‎　极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ≥0)，曲线C2的参数方程为(t为参数，0≤α＜π)，射线θ＝φ，θ＝φ＋，θ＝φ－与曲线C1分别交于(不包括极点O)点A、B、C.‎ ‎(1)求证：|OB|＋|OC|＝|OA|；‎ ‎(2)当φ＝时，B、C两点在曲线C2上，求m与α的值．‎ ‎ (1)证明：依题意|OA|＝4cos φ，‎ ‎|OB|＝4cos ，|OC|＝4cos ，‎ 则|OB|＋|OC|＝4cos＋4co s ‎＝2(cos φ－sin φ)＋2(cos φ＋sin φ)‎ ‎＝4cos φ＝|OA|.‎ ‎(2)当φ＝时，B、C两点的极坐标分别为、，化为直角坐标为B(1，)、C(3，－)，所以经过点B、C的直线方程为y－＝－(x－1)，而C2是经过点(m，0)且倾斜角为α的直线，故m＝2，α＝.‎ ‎1．(2016·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(θ为参数)．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．‎ ‎ 椭圆C的普通方程为x2＋＝1.‎ 将直线l的参数方程代入x2＋＝1，得 ＋＝1，‎ 即7t2＋16t＝0，Ziyuan ku.com 解得t1＝0，t2＝－.‎ 所以AB＝|t1－t2|＝.‎ ‎2．(2017·广东珠海 模拟)在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－6.若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．‎ ‎(1)求圆C的参数方程；‎ ‎(2)在直角坐标系中，点P(x，y)是圆C上一动点，试求x＋y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．‎ ‎ (1)因为ρ2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－6，‎ 所以x2＋y2＝4x＋4y－6，‎ 所以x2＋y2－4x－4y＋6＝0，‎ 即(x－2)2＋(y－2)2＝2为圆C的直角坐标方程．‎ 所以所求的圆C的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(2)由(1)可得x＋y＝4＋(sin θ＋cos θ)‎ ‎＝4＋2sin.‎ 当θ＝，‎ 即点P的直角坐标为(3，3)时，‎ x＋y取得最大值，为6.‎ ‎3．(2015·高考陕西卷)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝2sin θ.　‎ ‎(1)写出⊙C的直角坐标方程；‎ ‎(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．‎ ‎ (1)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，‎ 从而有x2＋y2＝2y，‎ 所以x2＋(y－)2＝3.‎ ‎(2)设P，又C(0，)，‎ 则|PC|＝ ＝，‎ 故当t＝0时，|PC|取得最小值，‎ 此时，点P的直角坐标为(3，0)．‎ ‎4．(2017·合肥市第一次教学质量检测)已知直线l：(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＝a(a＞－3)．‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)若曲线C与直线l有唯一公共点，求a的值．‎ ‎ (1)由ρ2－2ρsin θ＝a知其直角坐标方程为 x2＋y2－2y＝a，‎ 即x2＋(y－)2＝a＋3(a＞－3)．‎ ‎(2)将l：代入曲线C的直角坐标方程得＋＝a＋3，‎ 化简得t2＋t－a－2＝0.‎ 因为曲线C与直线l仅有唯一公共点，‎ 所以Δ＝1－4(－a－2)＝0，‎ 解得a＝－.‎ ‎5．(2017·广西第一次质量检测)已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.‎ ‎(1)若直线l的斜率为2，判断直线l与曲线C1的位置关系；‎ ‎(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．‎ ‎ (1)当斜率为2时，直线l的普通方程为y－1＝2(x＋1)，即y＝2x＋3.①‎ 将消去参数α，化为普通方程得(x－2)2＋(y－4)2＝4，②‎ 则曲线C1是以C1(2，4)为圆心，2为半径的圆，圆心C1(2，4)到直线l的距离d＝＝＜2，‎ 故直线l与曲线(圆)C1相交．‎ ‎(2)C2的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0，‎ 由，‎ 解得，‎ 所以C1与C2交点的极坐标为.‎ ‎6．(2017·河南省八市重点高中质量检测)已知曲线C的参数方程为(θ为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C′.‎ ‎(1)求曲线C′的普通方程；‎ ‎(2)若点A在曲线C′上，点D(1，3)．当点A在曲线C′上运动时，求AD中点P的轨迹方程． ‎ ‎ (1)将代入，‎ 得曲线C′的参数方程为，‎ 所以曲线C′的普通方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)设点P(x，y)，A(x0，y0)，又D(1，3)，且AD的中点为P，‎ 所以，‎ 又点A在曲线C′上，所以代入曲线C′的普通方程＋y2＝1，得(2x－1)2＋4(2y－3)2＝4，‎ 所以动点P的轨迹方程为(2x－1)2＋4(2y－3)2＝4.‎ ‎7．(2017·河南省六市第一次联考)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数)，在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝.‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．‎ ‎ (1)由曲线C的极坐标方程ρ＝，得 ρ2sin2θ＝2ρcos θ，‎ 所以曲线C的直角坐标方程是y2＝2x.‎ 由直线l的参数方程(t为参数)，得t＝3＋y，代入x＝1＋t中，消去t得x－y－4＝0，‎ 所以直线l的普通方程为x－y－4＝0.‎ ‎(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2＝2x，得t2－8t＋7＝0，‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，‎ 则t1＋t2＝8，t1t2＝7，‎ 所以|AB|＝|t1－t2|＝×＝×＝6，‎ 因为原点到直线x－y－4＝0的距离d＝＝2，‎ 所以△AOB的面积是|AB|·d＝×6×2＝12.‎ ‎8．(2017·福建省毕业班质量检测)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin＝.‎ ‎(1)求曲线C的普通方程和直线l的倾斜角；‎ ‎(2)设点P(0，2)，直线l和曲线C交于A，B两点，求|PA|＋|PB|.‎ ‎ (1)由消去参数α，得＋y2＝1，‎ 即曲线C的普通方程为＋y2＝1.‎ 由ρsin＝，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*)‎ 将代入(*)，化简得y＝x＋2，‎ 所以直线l的倾斜角为.‎ ‎(2)由(1)知，点P(0，2)在直线l上，可设直线l的参数方程为(t为参数)，‎ 即(t为参数)，‎ 代入＋y2＝1并化简，‎ 得5t2＋18t＋27＝0，‎ Δ＝(18)2－4×5×27＝108＞ 0，‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，‎ 则t1＋t2＝－＜0，t1t2＝＞0，‎ 所以t1＜0，t2＜0，‎ 所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝－(t1＋t2)＝.‎