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- 2021-06-16 发布
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四川省棠湖中学高 2020 届第二次高考适应性考试
文科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,
用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试
卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷 选择题(60 分)
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的。
1. z 是 z 的共轭复数,若 2, 2(z z z z i i 为虚数单位) ,则 z =
A.1 i B. 1 i C. 1 i D.1 i
2.集合 2| 2 3 0x x xA ,集合 2| 1,B y y x x R ,则 R A B ð
A.[ 1,1] B. ( 1,1) C.[ 1.3] D. ( 1.3)
3.已知实数 x 、 y 满足不等式组
2 1 0
2 1 0
0
x y
x y
y
,则 3z x y 的最大值为
A.3 B. 2 C. 3
2
D. 2
4.下图是 2020 年 2 月 15 日至 3 月 2 日武汉市新增新冠肺炎确诊病例的折线统计图.则下列
说法不正确的是
A.2020 年 2 月 19 日武汉市新增新冠肺炎确诊病例大幅下降至三位数
B.武汉市在新冠肺炎疫情防控中取得了阶段性的成果,但防控要求不能降低
C.2020 年 2 月 19 日至 3 月 2 日武汉市新增新冠肺炎确诊病例低于 400 人的有 8 天
D.2020 年 2 月 15 日到 3 月 2 日武汉市新增新冠肺炎确诊病例最多的一天比最少的一天多 1549
人
5.若sin 78 m ,则sin 6
A. 1
2
m B. 1
2
m C. 1
2
m D. 1
2
m
6.函数
2 1xf x x
的图象大致为
A. B. C. D.
7.某几何体的三视图如图所示,若图中小正方形的边长均为 1,则该几何体的体积是
A. 1616 3
B. 816 3
C. 32 8
3 3
D. 32 16
3 3
8.已知等差数列{ }na 的前 n 项和为 ,nS 9 12 2
1 6, 4,2a a a 则数列 1{ }
nS 的前 10 项和为
A. 11
12 B.10
11 C. 9
10 D. 8
9
9.将函数 sin2f x x 的图象向左平移 0 2
个单位长度,得到的函数为偶函数,则
的值为
A.
12
B.
6
C.
3
D.
4
10.设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外, 2
16,BC AB AC AB AC ,则 AM
A.8 B.4 C.2 D.1
11.已知抛物线 2 4y x 的焦点为 F ,准线与 x 轴的交点为 K ,点 P 为抛物线上任意一点
KPF 的平分线与 x 轴交于 ( ,0)m ,则 m 的最大值为
A.3 2 2 B. 2 3 3 C. 2 3 D. 2 2
12.设函数 ( ) ( )(ln )x mf x e ax x ax ,若存在实数 a 使得 ( ) 0f x 恒成立,则 m 的取值
范围是
A. ,0 B. 0,2 C. 2 , D. ,2
第 II 卷 非选择题(90 分)
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13.曲线 ( ) xf x xe 在点 (1, (1))f 处的切线在 y 轴上的截距是_______.
14.已知 2log , 0,
2 1, 0,x
x xf x x
则方程 3f x 的解是 x ______.
15.双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
的左右焦点分别为 1F 、 2F , P 是双曲线右支上一点, I 为 1 2PF F 的
内心, PI 交 x 轴于 Q 点,若 1 2FQ PF ,且 : 2:1PI IQ ,则双曲线的离心率 e 的值为
__________.
16.在三棱锥 P ABC 中, 60ABC , 90PBA PCA o , 3PB PC ,点 P
到底面 ABC 的距离为 2 ,则三棱锥 P ABC 的外接球的表面积为________.
三.解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共 60 分
17.(12 分)端午节是我国民间为纪念爱国诗人屈原的一个传统节日.某市为了解端午节期间
粽子的销售情况,随机问卷调查了该市 1000 名消费者在去年端午节期间的粽子购买量(单位:
克),所得数据如下表所示:
购买量 0,100 100,200 200,300 300,400 400,500
人数 100 300 400 150 50
将烦率视为概率
(1)试求消费者粽子购买量不低于 300 克的概率;
(2)若该市有 100 万名消费者,请估计该市今年在端午节期间应准备多少千克棕子才能满足
市场需求(以各区间中点值作为该区间的购买量).
18.(12 分)已知数列 na 是等差数列,前 n 项和为 nS ,且 5 33S a , 4 6 8a a .
(1)求 na .
(2)设 2n
n nb a ,求数列 nb 的前 n 项和 nT .
19.(12 分)如图,在四棱锥 P ABCD 中,四边形 ABCD 为平行四边形,E 为侧棱 PD 的
中点,O 为 AC 与 BD 的交点.
(1)求证: / /OE 平面 PBC;
(2)若平面 PAD 平面 ABCD, 4AC , 5AB , 4sin 5ABC ,
求证: AC PD .
20.(12 分)已知抛物线 2 2y px ( 0p )上的两个动点 1 1,A x y 和 2 2,B x y ,焦点为
F.线段 AB 的中点为 03,M y ,且 A,B 两点到抛物线的焦点 F 的距离之和为 8.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C,求 ABC 面积的最大值.
21.(12 分)已知 ( ) ln( 1) .axf x e x x
(1)若 a=1,且 f(x)≥m 在(0,+∞)恒成立,求实数 m 的取值范围;
(2)当 1
2a 时,若 x=0 不是 f(x)的极值点,求实数 a 的取值.
(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第
一题计分。
22.[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分)
在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 1 cos
sin
x
y
( 为参数),以坐标原点为
极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 sin 2 24
.
(1)求曲线 C 的极坐标方程和直线 l 的直角坐标方程;
(2)若射线 0 2
与曲线 C 交于点 A(不同于极点 O),与直线 l 交于点 B,求
| |
| |
OA
OB
的最大值.
23.[选修 4-5:不等式选讲](10 分)
设函数 ( ) 2 1 1f x x x .
1 画出 ( )y f x 的图像;
2 若 ( )f x m x n ,求 m n 的最小值.
四川省棠湖中学高 2020 届第二次高考适应性考试
文科数学参考答案
1.D 2.A 3.A 4.D 5.B 6.D 7.B 8.B 9.D 10.C
11.A 12.D
13. e 14.8 15. 3
2 16. 6
17.(1)在随机调查的该超市 1000 名消费者中,
粽子购买量不低于 300 克的共有 200 人,
所以消费者粽子购买量不低于 300 克的概率 200 1
1000 5P
(2)由题意可得,购买 0,100 的概率为 0.1,购买 100,200 的概率为 0.3,购买 200,30
的概率为 0.4,购买[300,400)的概率为 0.15,购买 400,500 的概率为 0.05
所以粽子购买量的平均数为
50 0.1 150 0.3 250 0.4 350 0.15 450 0.05 225x 克
所以需准备粽子的重量为 0.225×106=225000 千克
18.(1)由题意,数列 na 是等差数列,所以 5 35S a ,又 5 33S a , 3 0a ,
由 4 6 58 2a a a ,得 5 4a ,所以 5 3 2 4a a d ,解得 2d ,
所以数列的通项公式为 3 3 2 3na a n d n .
(2)由(1)得 12 3 2n n
n nb a n ,
2 3 4 12 2 1 2 0 2 3 2n
nT n ,
3 4 1 22 2 1 2 4 2 32 2n n
nT n n ,
两式相减得 2 3 4 1 22 2 2 2 2 2 3 2n n
n nT T n ,
1
2 28 1 2
8 ( 3) 2 ( 4) 2 161 2
n
n nn n
,即 2( 4) 2 16n
nT n .
19.证明(1)因为四边形 ABCD 为平行四边形,O 为 AC 与 BD 的交点,
所以O 为 BD 的中点.
又因为 E 为侧棱 PD 的中点,
所以 / /OE PB .
又因为 PB 平面 PBC ,OE 平面 PBC ,
所以 / /OE 平面 PBC .
(2)在 ABC 中,因为 4AC , 5AB , 4sin 5ABC ,
由正弦定理
sin sin
AC AB
ABC ACB
,
可得
45sin 5sin 14
ABCAB
AAC CB
,
所以 90ACB ,即 AC BC .
又因为四边形 ABCD 为平行四边形, 所以 / /AD BC ,所以 AC AD .
又因为平面 PAD 平面 ABCD ,
平面 PAD 平面 ABCD AD , AC 平面 ABCD ,
所以 AC 平面 PAD .又因为 PD 平面 PAD ,所以 AC PD .
20.(1)由题意知 1 2 6x x ,则 1 2| | | | 6 8AF BF x x p p ,∴ 2p ,
∴抛物线的标准方程为 2 4y x ;
(2)设直线 :AB x my n ( 0m )由 2 4
x my n
y x
,得 2 4 4 0y my n ,
∴ 1 2 4y y m ,∴ 1
2
1 22 4 22 6x yx y mn nm ,即 23 2n m ,
即
2
1 2
2
1 2
16 3 0
4
8 12
m
y y m
y y m
,∴ 2 2 2
1 2| | 1 4 1 3AB m y y m m ,
设 AB 的中垂线方程为: 2 ( 3)y m m x ,即 ( 5)y m x ,得点 C 的坐标为 (5,0) ,
∵直线 2: 3 2AB x my m ,即 22 3 0x my m ,
∴点 C 到直线 AB 的距离
2
2
5 2 3
1
m
d
m
22 1m ,
∴ 2 21 | | 4 1 32S AB d m m 令 23t m ,则 2 23 (0 3)m t t ,
24 4S t t 令 2( ) 4 4f t t t ,∴ 2( ) 4 4 3f t t ,
令 ( ) 0f t ,则 2 3
3t ,在 2 30, 3
上 ( ) 0f t ;在 2 3 , 33
上 ( ) 0f t ,
故 ( )f t 在 2 30, 3
单调递增, 2 3 , 33
单调递减,
∴当 2 3
3t ,即 15
3m 时, max
64 3
9S .
21.解:(1)由题,当 1a 时, ln 1xf x e x x ,所以 1ln 1 11
xf x e x x
,
设 1ln 1 01g x x xx
,所以 2 0
1
xg x
x
恒成立,
所以 g x 在 0, 上为增函数,所以 0 1g x g ,又 e 1x ,
所以 0f x 恒成立,所以 f x 在 0, 上为增函数,所以 0 0f x f ,所以 0m
(2) 1ln 1 1 ln 1 11 1
ax
ax axef x ae x e a xx x
,
令 g x f x ,则
2
2
2 2 1ln 1
1
ax ax ag x e a x
x
,
设
2
2
2 2 1ln 1
1
ax ah x a x
x
,
则
22
3 3
1 1 12 2 2 01 1 1
a xa ax ah x x x x
,
所以 h x 在 1, 上递增,且 0 2 1h a ,
①当 1
2a 时, 0 0h ,所以当 1,0x 时, 0h x ;当 0,x 时, 0h x ,
即当 1,0x 时, 0g x ;当 0,x 时, 0g x ,
所以 g x f x 在 1,0 上递减,在 0, 上递增,所以 0 0f x f ,
所以 f x 在 1, 上递增,所以 0x 不是 f x 的极值点,所以 1
2a 时,满足条件;
②当 1
2a 时, 0 2 1 0h a ,又因为 h x 在 1, 上递增,
所以 0 0x ,使得 0 0h x ,所以当 0x x 时, 0h x ,即 0g x ,
所以 g x f x 在 0,x 上递增,又 0 0f ,
所以当 0 0x x 时, 0f x ;当 0x 时, 0f x ,所以 0x 是 f x 的极小值点,不合
题意,
综上, 1
2a
22.(1)消去参数 可得曲线C 的普通方程是 2 2( 1) 1x y ,即 2 2 2 0x y x ,代入
cos
sin
x
y
得 2 2 cos ,即 2cos ,∴曲线C 的极坐标方程是 2cos ;
由 sin( ) 2 24
,化为直角坐标方程为 4x y .
(2)设 1 2( , ), ( , )B ,则 1 2cos , 2
2 2
sin( )4
,
1
2
cos sin( )4
2
OA
OB
2sin cos cos 1 1 1sin 2 cos22 4 4 4
2 1sin(2 )4 4 4
,
当
8
时, OA
OB
取得最大值为1 2
4
.
23.(1)由题意,根据绝对值的定义,可得分段函数
3 , 1
12, 1 2
13 , 2
x x
f x x x
x x
,
所以 ( )y f x 的图象如图所示:
(2)由 f x m x n ,可得 0f n ,解得 2n ,
又因为 2 1| ( ) 31f x x x x ,所以 3m x n x .(※)
若 3m ,(※)式明显成立;
若 3m ,则当
3
nx m
时,(※)式不成立,
由图可知,当 3m ,且 2n 时,可得 f x m x n ,
所以当且仅当 3m ,且 2n 时, f x m x n 成立,因此 m n 的最小值为5.