安徽省安庆市某中学2020届高三三模数学（理）试卷 16页

数学试卷（理）‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 已知集合，则 A. B. C. D. ‎ 2. 已知双曲线C：的一条渐近线为，则C的离心率为 A. B. 3 C. 2 D. 10‎ 3. 已知实数a，b，c满足，且，那么下列各式中一定成立的是 A. B. C. D. ‎ 4. 已知非零向量，的夹角为，且，，则 A. B. 1 C. D. 2‎ 5. 算法统宗里有一段叙述：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次第，孝和休惹外人传”，意思是将996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第二和第七个孩子分得棉的斤数之和为 A. 167 B. 176 C. 249 D. 255‎ 6. 对于任意，函数满足，且当时，，若，，，则a，b，c之间的大小关系是 A. B. C. D. ‎ 7. 已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数m的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 ‎ A. B. C. D. ‎ 9. 已知圆C：与直线1：，P为直线1上一动点，若圆上存在点A，使得，则的最大值为 A. B. 4 C. 2 D. ‎ 10. 关于函數有下述四个结论：函数的最小正周期为：函数在区间上单调递减；函数在上有四个零点；函数的最大值为其中所有正确的结论序号为 A. B. C. D. ‎ 1. 已知抛物线的焦点为F，A是抛物线上异于坐标原点的任意一点，以F为圆心，为半径的圆交y轴负半轴于点B，平行于AB的直线1与抛物线相切于点D，则直线AD必过定点 A. B. C. D. ‎ 2. 已知函数，若时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 3. 若实数x，y满足约束条件，则的最小值为______．‎ 4. 在中，已知，，，角A的平分线交边BC于D，则______．‎ 5. 设的图象在点处的切线为l，则曲线，直线1及y轴所围成的图形的面积为______．‎ 6. 在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，，以BD为直径的球与PB交于点异于点，则四面体MPCD外接球半径______．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）‎ 7. 记为等比数列的前n项的和，且为递增数列，已知，． 求数列的通项公式； 设，求数列的前2n项之和． ‎ 8. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． 求cosB的值； 若，，求的值． ‎ 9. 在第六个国家扶贫日到来之际，中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平对脱贫攻坚工作作出重要指示强调，新中国成立70‎ 年来，中国共产党坚持全心全意为人民服务的根本宗旨，坚持以人民为中心的发展思想，带领全国各族人民持续向贫困宜战某县政府响应习总书记的号召，实施整治环境吸引外地游客的脱贫战略，效果显著，某旅行社组织了两个旅游团于近期来到了该县的某风景区，数据显示，近期风景区中每天空气质量指数近似满足函数，其中t为每天的时刻，若在凌晨4点时刻，测得空气质量指数为．Ⅰ求实数a的值；Ⅱ求近期每天在时段空气质量指数最高的时刻参考数值： ‎ 1. 已知点，直线1：，平面上有一动点E，记点E到l的距离为d，若动点E满足： 求点E的轨迹方程； 过F的动直线m与点E的轨迹交于A，B两点，试问：在x轴上，是否存在定点Q，使得为常数？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． ‎ 2. 如图1，四边形PBCD是等腰梯形，，，，A为PD的中点，将沿AB折起，如图2，点M是棱PD上的点． 若M为PD的中点，证明：平面平面ABM； 若，试确定M的位置，使二面角的余弦值等于．‎ ‎ ‎ 1. 已知函数． 讨论函数的单调性； 若有两个极值点，，且恒成立，求实数m的取值范围． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】B ‎ ‎【解析】解：， ． 故选：B． 可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可． 本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域和单调性，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题． 2.【答案】A ‎ ‎【解析】解：双曲线C： 可知，双曲线的一条渐近线为，所以双曲线的焦点坐标在x轴上， 可得，即，所以，所以，， 双曲线的离心率． 故选：A． 直接利用双曲线的渐近线方程，得到a、b关系，然后求解离心率即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题． 3.【答案】B ‎ ‎【解析】解：，且， ，，b与0的大小关系不确定．，，． 只有B正确， 故选：B． ，且，可得：，，b与0的大小关系不确定．利用不等式的基本性质即可判断出结论． 本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4.【答案】A ‎ ‎【解析】解：因为非零向量，的夹角为，且，， 所以， 即   舍． 故选：A． 直接把模长平方，再把已知条件代入即可求解． 本题考查了平面向量模长的应用问题，也考查了计算能力，是基础题目． ‎ ‎5.【答案】C ‎ ‎【解析】解：设此等差数列为，由题意可得：，． 则，解得． 则． 故选：C． 设此等差数列为，由题意可得：，利用求和公式与通项公式即可得出． 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 6.【答案】C ‎ ‎【解析】解：， 关于直线对称， ，，且， 又当时，， 故函数在单调递增， ，即． 故选：C． 首先根据，得出函数关于对称，再将对应的自变量转化到区间内，利用函数的单调性作出判断． 本题主要考查利用函数单调性比较函数值的大小，同时也涉及了函数对称性的判断，属于基础题． 7.【答案】B ‎ ‎【解析】解：依题意，函数与直线的图象有两个不同的交点， 由得，， 当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增， 且时，，时，，，作函数的图象如下图所示， 由图象可知，满足条件的实数m应满足，即． 故选：B． 依题意，函数与直线的图象有两个不同的交点，利用导数作出函数 的图象，由图象观察即可得出实数m满足的约束条件，进而得解． 本题考查函数零点与方程根的关系，涉及了导数在解决函数问题中的运用，考查转化思想及数形结合思想，属于基础题． 8.【答案】D ‎ ‎【解析】解：由三视图还原原几何体如图， 该几何体为组合体，左边为直三棱柱，右边为半圆锥， 直三棱柱的底面为等腰三角形，底边长为2，高为2，侧棱长为4； 半圆锥的底面半径为1，高为2． 则该几何体的体积为． 故选：D． 由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，左边为直三棱柱，右边为半圆锥，直三棱柱的底面为等腰三角形，底边长为2，高为2，侧棱长为4；半圆锥的底面半径为1，高为2，再由棱柱与圆锥的体积公式求解． 本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 9.【答案】C ‎ ‎【解析】解：圆C：的圆心坐标为，半径为1， 圆心到直线l的距离，可知直线与圆相离， 由正弦定理可得三角形PAC的外接圆的直径， P为直线1上一动点，当直线PA与圆相切时，此时为外接圆的直径，取得最大值为2． 故选：C． 由已知可得直线与圆相离，P为直线1上一动点，当直线PA与圆相切时，此时为外接圆的直径，取得最大值． 本题考查直线与圆位置关系的应用以及正弦定理的应用，考查数形结合的解题思想方法，考查推理能力与计算能力，是中档题． 10.【答案】B ‎ ‎【解析】解：函数， 函数的图象如图：所以：函数的最小正周期为：不正确；函数在区间上单调递减；正确； 函数在上有四个零点；不正确； ‎ 函数的最大值为正确； 故选：B． 化简函数的解析式，然后判断命题的真假即可． 本题考查命题的真假的判断与应用，三角函数化简求解三角函数的简单性质的应用，是中档题． 11.【答案】A ‎ ‎【解析】解：抛物线的焦点为，准线方程为， 设，，即圆的半径， 圆F的方程为， 令，可得，或，则， ， 由的导数为，可得D处的切线的斜率为， 平行于AB的直线1与抛物线相切于点D，可得， 解得，则， 则直线AD的方程为， 整理可得， 令，可得，则AD恒过定点， 故选：A． 求得抛物线的焦点和准线方程，设，由抛物线的定义可得圆F的方程，求得B的坐标，直线AB的斜率，由的导数可得切线的斜率，进而得到D的坐标，求得直线AD的方程，再令，可得直线AD恒过的定点． 本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，考查直线方程和直线恒过定点的求法，以及化简运算能力、推理能力，属于中档题． 12.【答案】D ‎ ‎【解析】解：由，且恒成立， 得恒成立，即在上恒成立． 令，则． 令，则， 则在上单调递减， ，， 存在，使得，即， ， 当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减． ， 又，， 则，即． ． ，即实数a的取值范围为． 故选：D． 由，且恒成立，得在上恒成立．令，利用导数求其最大值即可求得实数a的取值范围． 本题考查恒成立问题的求解方法，考查数学转化思想方法，训练了利用导数求最值，属难题． 13.【答案】0 ‎ ‎【解析】解：由约束条件得到可行域如图：则， 则z的几何意义是区域内的点到定点的斜率的最小值与1的和， 由解得 由图象可知区域边界点A连接的直线斜率最小为：． 所以z的最小值为0‎ ‎； 故答案为：0． 利用分式函数的性质，转化为直线的斜率，利用数形结合即可得到结论． 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，关键是把目标函数变形，是中档题． 14.【答案】 ‎ ‎【解析】解：在中，已知，，， 利用余弦定理，整理得， 所以：，解得． 在中，利用余弦定理， 在中，利用余弦定理， 设， 整理得：， 解得． 故答案为： 直接利用余弦定理的应用和方程组的解法的应用求出结果． 本题考查的知识要点：余弦定理的应用，方程的解法和应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：由的导数为， 则切线l的斜率， 切线l的方程为，即， 曲线，直线1及y轴所围成的图形的面积为： ． 故答案为：‎ ‎． 根据导数的几何意义即可求出切线方程；根据定积分的几何意义即可求出所围成的图形的面积． 本题考查利用导数求切线的方程，考查定积分的运用，考查运算能力，属于中档题． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解：由题意平面ABCD，底面ABCD是矩形，，， 解得，， ， 过点D作PB的垂线，垂足为M， ，，， ，，，平面PCD，， ，， 平面PMC，平面PCD，平面平面PCD， 分别取PB，PC的中点E，G，则，平面PCD， 是直角三角形，直线EG上任意一点到三个顶点的距离相等， 作线段PM的垂直平分线，垂足为F，交EG于点O， 则O到的三个顶点的距离都相等， 即四面体MPCD外接球的球心为O，且的外接圆的圆心为O， 中，， 四面体MPCD外接球半径． 故答案为：． 过点D作PB的垂线，垂足为M，可求出PM，推导出平面PCD，从而得到平面平面PCD，分别取PB，PC的中点E，G，可得，平面PCD，由是直角三角形，可知直线EG上任意一点到PCD三个顶点的距离相等，作线段PM的垂直平分线，垂直为F，交EG于O，则O为的外接球球心，由正弦定理可求得的外接圆半径，即为所求外接球半径． 本题考查四面体MPCD外接球半径的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 17.【答案】解：由题意，可知，即． ， 根据韦达定理，可得 ，是方程的两根， 解得，． 数列为递增数列， ，． 设等比数列的公比为q，则． ，． 由知， 则 ‎ ． ‎ ‎【解析】本题第题根据题设可得，再根据等比中项的性质可得，可根据韦达定理列出一元二次方程，解出一元二次方程的根，即可得到，的值，然后计算出公比q，进一步计算即可得到数列的通项公式；第题先根据第题的结果计算出数列的通项公式，然后运用裂项相消法计算前n项和． 本题主要考查等比数列的基础知识，以及应用裂项相消法求前n项和．考查了数列与方程的综合，转化与化归思想，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题． 18.【答案】解：因为． 由正弦定理可得， 因为， 所以； 由可得， 由正弦定理可得，， 所以， 因为，所以， 所以， 所以 ‎ ‎【解析】由已知结合正弦定理及和差角公式即可求解； 由已知结合正弦定理可求sinA，进而可求cosA，然后结合两角和的正弦公式即可求解． 本题主要考查了正弦定理，和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档试题． 19.【答案】解：Ⅰ由题，代入得 ， 解得；Ⅱ由函数，； 求导得：， 令，解得， 列表如下；‎ t ‎12‎ ‎0‎ 单调递增 极大值 单调递减 所以函数在时取极大值也是最大值，即每天空气质量指数最高的时刻为12时． 答：Ⅰ实数a的值为12；Ⅱ近期每天在时段空气质量指数最高的时刻为12时． ‎ ‎【解析】Ⅰ将代入，可求得a的值；Ⅱ根据导数和函数最值的关系，即可求出结果． 本题考查了函数在实际生活中的应用问题，也考查了导数和函数的最值关系应用问题，是中档题． 20.【答案】解：设点E的坐标为， 因为，所以，整理得， 所以点E的轨迹方程为． 设点Q的坐标为， 当直线m的斜率存在时，设其方程为，，， 联立，得， 由韦达定理得，， 所以， 不妨设，则， 化简得，， 令，解得， 故为常数，此时点Q的坐标为． 当直线m的斜率不存在时，其方程为，设点A在点B的上方，则， 所以，代入，有，符合题意． 综上所述，存在点，使得为常数． ‎ ‎【解析】设点E的坐标为，然后利用两点间距离公式表示出，通过，建立联系，化简整理后即可得解； 若直线m的斜率存在，可设其方程为，与椭圆方程联立，可得到关于x的一元二次方程及根与系数的关系，设，，，利用平面向量数量积的坐标运算可得到的表达式，将根与系数的关系代入上式，整理并化简可求得定点坐标及定值；若直线m 的斜率不存在，验证可知满足题意． 本题考查轨迹方程的求法、直线与椭圆的位置关系，涉及直接法求轨迹方程、曲直联立、平面向量数量积的坐标运算等知识，考查学生分析问题的能力和运算能力，属于中档题． 21.【答案】解：证明：由题意，，且，故四边形ABCD是平行四边形， 又，， 是正三角形，四边形ABCD是菱形， 取AB的中点E，连接PE，CE，易知是正三角形，则，， 又， 平面PEC， ， 取PC的中点N，连接MN，BN，则，即A，B，N，M四点共面， 又，则， 又， 平面ABM， 又PC在平面PCD内， 平面平面ABM； ， ， 又且，则可以EB，EC，AB所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则，设，则， 易知平面ABD的一个法向量为， 设平面MAB的一个法向量为，又， ，则可取， 由题意，，解得，故D．‎ ‎【解析】取AB的中点E，连结PE，推导出，连结AC，CE，则，从而平面PCE，，取PC中点N，连结MN，BN，则，从而A，B，N，M四点共面，，由此能证明平面ABM． 先证明PE，EC，AB互相垂直，进而分别以EB，EC，AB所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设，进而表示出M的坐标，再求出平面MAB及平面ABD的法向量，由此根据题意建立方程，求出的值． 本题考查面面垂直的证明，考查利用空间向量解决二面角问题，考查空间想象能力及计算求解能力，属于中档题． 22.【答案】解：， 若，则，显然此时，所以在单调递减； 若，由得，此时， 由得，得， 即在区间单调递增，在和单调递减， ‎ 若，则， 则在区间单调递增，在区间单调递减； 由知时，有两个极值点，，是方程的两个根， 则，， 所以 ， 则原不等式等价于， 又因为，所以， 即， 令，则上式可化为当时，恒成立， 设， 则， 令，则， 当时，，即在上单调递增， 所以时，， 当即时，，即在上单调递增，，符合题意； 当时，因为在上单调递增，记， 则时，时， 即时单调递减，所以存在，使，不合题意， 综上所述：．‎ ‎【解析】对函数求导，分，和三种情况，讨论导函数的正负，进而可得到函数单调性； 由值时，有两个极值点，则有，，则条件可整理为， 则不等式等价于，构造函数，求导并讨论单调性，使其最小值大于0即可求出答案． 本题考查函数的单调性，考查不等式恒成立问题，考查分类讨论思想的应用，推理论证能力，属于难题． ‎