【数学】2019届一轮复习人教A版大题冲关系列（二）三角函数的综合问题学案 18页

三角函数的综合问题 命题动向：三角函数不仅是数学的重要基础知识，同时也是解决其他问题的一种数学工具．高考命题者常在三角函数、解三角形和平面向量、数列等知识的交汇处命题．对三角函数与平面向量的考查，多以解答题的形式出现，难度中等．备考中注意与平面向量的加法、减法的几何意义，平行、垂直的条件以及数量积的定义相结合来寻找解题突破口，三角函数与数列相交汇时，常常用到数列的基本性质．‎ 题型1 三角函数图象和性质的综合问题 例1　[2017·山东高考]设函数f(x)＝sin＋sin，其中0＜ω＜3.已知f＝0.‎ ‎(1)求ω；‎ ‎(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．‎ 解题视点　(1)将函数f(x)化简为Asin(ωx＋φ)的形式后，通过解方程求得ω值；‎ ‎(2)y＝f(x)变换得到y＝g(x)，利用三角函数的图象和性质求最值．‎ 解　(1)因为f(x)＝sin＋sin，‎ 所以f(x)＝sinωx－cosωx－cosωx ‎＝sinωx－cosωx ‎＝ ‎＝sin.‎ 由题设知f＝0，所以－＝kπ，k∈Z.‎ 故ω＝6k＋2，k∈Z，又0＜ω＜3，所以ω＝2.‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝sin，‎ 所以g(x)＝sin＝sin.‎ 因为x∈，所以x－∈，‎ 当x－＝－，即x＝－时，‎ g(x)取得最小值－.‎ 冲关策略 解决此类问题，一般先由图象或三角公式确定三角函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b等)的解析式，然后把ωx＋φ看成一个整体研究函数的性质．‎ 变式训练1‎ ‎[2016·天津高考]已知函数f(x)＝4tanx·sincos－.‎ ‎(1)求f(x)的定义域与最小正周期；‎ ‎(2)讨论f(x)在区间上的单调性．‎ 解　(1)f(x)的定义域为.‎ f(x)＝4tanxcosxcos－ ‎＝4sinxcos－ ‎＝4sinx－ ‎＝2sinxcosx＋2sin2x－ ‎＝sin2x＋(1－cos2x)－ ‎＝sin2x－cos2x＝2sin.‎ 所以，f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)令z＝2x－，易知函数y＝2sinz的单调递增区间是 ，k∈Z.‎ 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，‎ 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.‎ 设A＝，‎ B＝，‎ 易知A∩B＝.‎ 所以，当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．‎ 题型2 解三角形与数列的综合问题 例2　[2018·衡中模拟]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2B＋cosB＝1－cosAcosC.‎ ‎(1)求证：a，b，c成等比数列；‎ ‎(2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值．‎ 解题视点　(1)根据正弦定理将角的问题转化为边的问题，由数列的概念得证；(2)利用均值不等式解决三角形中的面积最值问题．‎ 解　(1)证明：在△ABC中，cosB＝－cos(A＋C)．‎ 由已知，得(1－sin2B)－cos(A＋C)＝1－cosAcosC，‎ ‎∴－sin2B－(cosAcosC－sinAsinC)＝－cosAcosC，‎ 化简，得sin2B＝sinAsinC.由正弦定理，得b2＝ac，‎ ‎∴a，b，c成等比数列．‎ ‎(2)由(1)及题设条件，得ac＝4.‎ 则cosB＝＝≥＝，‎ 当且仅当a＝c时，等号成立．‎ ‎∵0