高中数学好题速递400题（151—200） 25页

好题速递151‎ ‎（2015湖北第17题）a为实数，函数在区间上的最大值记为， 当_________时，的值最小 解：若时，在区间上单调递增，故 若，即时，‎ 若，即时，在区间上单调递增，‎ 综上， ，故当时，取得最小值为 好题速递152‎ ‎（2015重庆第14题）设实数，，则的最大值为 。‎ 解法一：‎ 即 当且仅当且，即时，取得等号 解法二：换元使得题干更清晰，设 则题目变为“实数，，求的最大值。‎ 利用不等式链条，得 当且仅当时取得等号 解法三：三角换元，令，且满足 则 当时取得最大值，且此时满足 解法四：令，则，即在上有解 则，‎ 满足或 解得，且 故的最大值为 好题速递153‎ ‎（2015湖北理科第9题）已知集合，‎ ‎，‎ 定义集合，则中元素的个数为 A．77 B．49 C．45 D．30‎ 解：因为集合，所以集合中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点，集合中有25个元素（即25个点），即图中正方形中的整点，集合中的元素表示中的点向左、右、上、下方向移动一个单位，即的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个 好题速递154‎ ‎（2015浙江理科第7题）存在函数满足，对任意都有（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 解：对A选项，取，可知，再取，可知，矛盾 对B选项，取，可知，再取，可知，矛盾 对C选项，取，可知，再取，可知，矛盾 对D选项，令，所以，符合题意，故选D 本题与浙江文科第8题异曲同工，都是考查函数概念的问题。‎ ‎（2015浙江文科第8题）设实数满足，则（ ）‎ A．若确定，则唯一确定 B．若确定，则唯一确定 C．若确定，则唯一确定 D．若确定，则唯一确定 解：因为，所以，所以，故当确定时，确定，所以唯一确定，故选B。‎ 好题速递155‎ ‎（2015广东理科第8题）若空间中有个不同的点两两距离都相等，则正整数的取值 A．至多等于3 B．至多等于4 C．至多等于5 D．可以大于5‎ 解析 显然正四面体的四个顶点之间的距离两两相等，因此至少有4个点．下面证明不会大于4．若已有正四面体，则第5个点与其中三点也可以构成正四面体，相当于两个正四面体共底面，但正四面体边长，故不可能存在第5个点．‎ 好题速递156‎ ‎（2015全国文科第16题）已知是双曲线的右焦点，是左支上一点， ，当周长最小时，该三角形的面积为 ．‎ 解：设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知 所以周长为 由于是定值，要使周长最小，则最小，即三点共线 因为，，所以直线的方程为 代入整理得，解得或（舍去）‎ 所以 所以 好题速递157‎ ‎（2015全国理科第16题）在平面四边形中，，，则的取值范围是 ．‎ 解：如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合于E点时，AB最长，在中，，，，‎ 由正弦定理可得，即，解得，‎ 平移AD ，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在中，，，‎ 由正弦定理知，，即，解得 所以AB的取值范围为 好题速递158‎ ‎（2015天津理科第8题）已知函数 ，函数 ，其中，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 解：由得，‎ 所以，‎ 即 ‎,所以恰有4个零点等价于方程 有4个不同的解，即函数与函数的图象的4个公共点，由图象可知 ‎（2015天津文科第8题）已知函数，函数，则函数的零点的个数为 ．‎ 解：当时，，此时方程的小于0的零点为 当时，，方程无零点 当时，，‎ 方程有一个大于2的根 故共有2个零点．‎ 好题速递159‎ ‎（2015上海理科第13题）已知函数，若存在满足，且（），则的最小值为 ．‎ 解：因为对任意和任意都有 由知 但当时，必须使 则依次取，不合题意 当时，依次取可满足题意，所以的最小值为8‎ 好题速递160‎ ‎（2015江苏第13题）已知函数，，则方程的实根个数为 ．‎ 解：‎ 作出函数与的图象，观察共有4个交点。‎ 好题速递161‎ ‎（2015湖北理科第8题）将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则 ‎ A．对任意的， B．当时，；当时，‎ C．对任意的， D．当时，；当时，‎ 解：不妨设双曲线的焦点在轴上，即其方程为，‎ 双曲线 ‎，‎ 当时，，‎ 所以，即 当时，，‎ 所以，即 故选D 评注：这是糖水不等式的应用。‎ 好题速递162‎ ‎（2015上海理科第14题）在锐角中，，为边上的点，与的面积分别为2和4，过分别作于，于，则 ．‎ 解：如图，由得 ①‎ 由得 ②‎ 由得 而，得 ③‎ 由①②③可得，‎ 所以 好题速递163‎ ‎（2015上海文科第13题）已知平面向量满足，且，则的最大值是 ．‎ 解：，当且仅当同向时取等号。‎ 由得 当分别为1，2，3时，分别为 故 好题速递164‎ 函数模块1．设二次函数，已知对于任意，恒有和成立，则 ．‎ 解：在中令，可产生 因为且恒成立，所以 因为且恒成立，所以 从而，所以，即，得 好题速递165‎ 函数模块2． 已知定义在上的函数满足，且，，则方程在区间上的所有实根之和为 ．‎ 解：由题意知，‎ 函数的周期为2，则与在区间上的图象如右图所示 由上图可知，函数与在区间上的交点为，易知点的横坐标为，若设的横坐标为，则点的横坐标为，所以在区间上的所有实数根之和为 好题速递166‎ 函数模块3．设的定义域为，若满足条件：存在，使得在上的值域是，则称为“半缩函数”．若函数为“半缩函数”，则的取值范围是 ．‎ 解：为单调递增函数 由已知由，即 变形得，令，进一步转化为与两个函数图象的交点，结合图象，可得 ‎【点评】本题是函数两域一致问题的应用．‎ 好题速递167‎ 函数模块4．已知为正实数，函数，且对任意，都有成立．若对每一个正实数，记的最大值为，则函数的值域是 ．‎ 解：作出的图象，由图象可知 当，即时，，即 当，即时，，且 解得（舍去）或，即 所以，故的值域是 ‎【点评】这里“对任意，都有恒成立”与“当时，‎ 的值域为”是不一样的．一个是恒成立问题，一个是值域问题，注意区分．‎ 好题速递168‎ 函数模块5．已知，若关于的方程有4个不同的实数根，且所有实数根之和为2，则的取值范围是 ．‎ 解：构造，显然可知的图象关于对称，与的图象四个横坐标之和应为，故 由此可知，当时满足条件．‎ 好题速递169‎ 函数模块6．当且仅当（其中）时，函数的图象在函数的图象下方，则的取值范围是 ．‎ 解：令，‎ 画出图象如图 当直线分别与，相切时，‎ 直线分别与相切时，‎ 结合图象可知，‎ 直线，符合题意 又是方程的两个根；是方程的两个根 所以，‎ 所以 ‎【点评】这个题目难度很大，不过其中带给我们的启示是将方程的根问题转变为两个能方便画图的函数看交点的问题。两个函数图象一般是一个定，一个动。‎ 好题速递170‎ 三角模块1． 设函数，存在使得和成立，则的取值范围是 ．‎ 解：由可知，即，且 所以，所以 所以，所以 当时，，所以 当时，，所以 综上，‎ 三角模块2 ．设中的内角所对边为，且，则的最大值是 ．‎ 解：由 所以 好题速递171‎ 三角模块3． 两点在的边上，，若，且，则的最大值为 ．‎ 解：取中点为，则， ‎ 又，所以 所以 所以 ‎【点评】本题是“平行四边形四边平方和等于对角线平方和”性质的应用，它是极化恒等式的对偶式．‎ 已知a，b是两个向量，则(a＋b)2=a2＋2a b＋b2 ①‎ ‎(a－b)2=a2－2a b＋b2 ②‎ ‎①－②得“极化恒等式”：4a·b＝(a＋b)2－(a－b)2．‎ ‎①＋②得“平行四边形对角线性质”：2(|a |2＋| b |2)＝(a＋b)2＋(a－b)2．‎ 平行四边形对角线性质公式揭示的是平行四边形对角线的平方和等于其四边和的平方．‎ 好题速递172‎ 三角模块4．在中，若，则的最大值为 ．‎ 解法一：胆子大！，故 当 解法二：‎ 所以，所以 因为若，则，均为钝角，不可能，故 所以 好题速递173‎ 三角模块5．在中，，，是角平分线，且，则当取最小值时 ．‎ 解：设，，‎ 由角平分线定理得 所以，即 故 又，所以 再由余弦定理得 当且仅当时，，所以 好题速递174‎ 三角模块6．如图，已知正边长为，点为外接圆的劣弧上一点，记与的面积分别为，则的最大值为 ．‎ 解法一：设，则 在中，由余弦定理得 即 ①‎ 在中，由余弦定理得 即 ②‎ ‎①—②得 即 故 所以 解法二：设，则 在中，，，‎ 由正弦定理得 于是 故 后续同解法一．‎ 解法三：如图建系，有，，‎ ‎，于是圆方程为 直线的方程为，直线的方程为，‎ 设 记，‎ 故 故当时，‎ 好题速递175‎ 不等式模块1．已知为正实数，则的最大值为 ．‎ 解：‎ 当且仅当时取得等号．‎ 评注：齐次化的应用 好题速递176‎ 不等式模块2．设实数满足，则的取值范围是 ．‎ 解：‎ 当同号时，‎ 当异号时，‎ 评注：齐次化的应用，因为齐次的启发，才有这一步。‎ 好题速递177‎ 不等式模块3．已知为正实数，且，则的最小值为 ．‎ 解法一：‎ 解法二：令，，则题目变为 若，则 评注：换元法有助于简化问题，看穿本质。‎ 好题速递178‎ 不等式模块4． 设正实数满足，则实数的最小值为 ．‎ 解法一：‎ 将其视为关于的一元二次方程有正根，‎ 所以 解法二：，解得 好题速递179‎ 不等式模块5． 已知实数满足，则的最大值为 ．‎ 解：画出可行域，为可行域内任意一点，目标函数理解为长方形的面积，当取最大值时，点必在线段上，即 又因为，即 点评：本题和今年四川高考第9题异曲同工，要形成不等式就是可行域的观点，解题的思路会更开阔。‎ ‎（2015四川第9题）如果函数在区间上单调递减，则的最大值为（ ）‎ A．16 B．18 C．25 D．‎ 解：画出可行域或或 ‎（或用导数对恒成立，即）‎ 令，则，当函数与可行域相交变化中，看的变化可得，当与相切时，取得最大值，则两式联立，解得 好题速递180‎ 不等式模块6．已知，若，，且，则实数的取值范围是 ．‎ 解：因为，，‎ 故，，‎ 在直角坐标系中，作出可行域，得 由得，解得 好题速递181‎ 不等式模块7． 设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则的取值范围是 ．‎ 解：‎ 若要使不等式恰有三个整数解，必有，所以解集为 又，所以，所以 所以满足，画出可行域，可知 好题速递182‎ 不等式模块8． 不等式对于任意的及恒成立，则实数的取值范围是 ．‎ 解：‎ 又及，所以，所以，所以 好题速递183‎ 不等式模块9．已知，满足，则的取值范围是 ．‎ 解：‎ 其中视为可行域内的点与连线的斜率，，故 好题速递184‎ 不等式模块10．已知实数满足，若不等式恒成立，则的最大值为 ．‎ 解：的可行域如图，‎ 令，则 点评：最近几天的题目都是线性规划为背景，利用齐次化思想，将两元的问题转为为关于k的一元问题，从而变为函数求值域的问题。‎ 好题速递185‎ 数列模块1．数列满足，，则此数列最多有 项．‎ 解：由得 故新数列是首项为48，公差为的等差数列，所以 得，故最多，最多50项。‎ 好题速递186‎ 数列模块2．已知函数，记．若是递减数列，则实数的取值范围是 ．‎ 解：是递减数列，从开始，必须满足 又对，根据二次函数的性质，需要满足对称轴 注意还要满足，即，‎ 综上得 好题速递187‎ 数列模块3．已知集合，若中有且仅有3个元素，则实数的取值范围是 ．‎ 解：令，考查的单调性，‎ 当时，，即 当时，，此时单调递减 ‎，，，‎ 由题意知，中有且仅有3个元素，只需大于第四项即可，所以 点评：数列作为一种特殊的函数，特殊性在于自变量取正整数，函数图象是不连续的点。因此在涉及数列单调性问题时，既可以从函数单调性的角度去理解，也可以有数列判断单调性特有的方法，后项减前项与0比较大小解决。‎ 这个题目最经典的题根就是“递增数列的通项公式为，则的取值范围是 。”这里就既可以从二次函数单调递增的角度，也可以用的角度来求解。‎ 好题速递188‎ 数列模块4．在各项均为正整数的单调递增数列中，且，则 ．‎ 解：当时，由及得 又数列是各项均为正整数的单调递增数列，所以 所以，所以，又，所以，所以 当时，由，所以 当时，由，所以 当时，由，所以 继续下去，可得 本题可以发现数列其实是斐波那契数列，故由得 可以发现，即斐波那契数列．‎ 好题速递189‎ 数列模块5．设是等差数列的前项和，若数列满足且，则的最小值是 ．‎ 解：设，则 故，解得 故 好题速递190‎ 数列模块6．已知函数，若数列满足，且的前项和为，则 ．‎ 解：‎ 所以，，，‎ 故 好题速递191‎ 向量模块1．在平面直角坐标系中，已知点在椭圆上，点满足，且，则线段在轴上的投影长度的最大值为 ．‎ 解：，即，则三点共线，‎ 故 设在轴的夹角为，设点，为点在轴上的投影，则在轴上的投影长度为 当且仅当时取得等号。‎ 好题速递192‎ 向量模块2． 已知是的外心，，若，则的最大值为 ．‎ 解：由，得 即，解得 所以 点评：这是用向量法处理三角形外心问题的一般套路，在向量等式的两边同时点积两边，可以将向量点积问题转变为边的长度问题。‎ 好题速递193‎ 向量模块3．在平面直角坐标系中，设直线与圆交于两点，为坐标原点，若圆上有一点满足，则 ．‎ 解：‎ 即，整理得 过点作的垂线交于，则由得 又圆心到直线的距离为，故，所以 好题速递194‎ 向量模块4．已知圆的半径为1，为圆的一条动弦，以弦为一条边向圆外作正方形，连结，设，若，，则的值为 ．‎ 解：过点作于，‎ 故 好题速递195‎ 向量模块5．已知两个不共线的向量满足，，设的夹角为，则的最小值是 ．‎ 解法一：代数法：‎ 由两边平方整理得 解法二：几何法，以，由得，画出图象可知的终点在阿氏圆上．‎ 故最大为与阿氏圆相切时，此时 好题速递196‎ 向量模块6．在中，，分别为三角形的重心和外心，且，则的形状是（ ）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．上述三种情况都有可能 解：‎ 又，所以 故，故为钝角，所以是钝角三角形．‎ 好题速递197‎ 向量模块7．已知向量，，，，则的最大值是 ．‎ 解：数形结合，如图所示可知 故 即，得 又由恒等式知 注意这里出现不等式打架，故调整思路为：‎ 故 好题速递198‎ 解析几何模块1．已知椭圆的右焦点为，直线与曲线相切于点，且交椭圆于两点，则的周长为 ．‎ 解：设，‎ 因为与圆相切于点 所以 同理 所以 所以 好题速递199‎ 解析几何模块2．在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则实数的取值范围是 ．‎ 解法一：设，则的轨迹为，化简得 若圆上存在点，满足只需圆与有公共点 所以，即，解得 解法二：由平行四边形四边平方和等于对角线之和，可得 故（其中为中点），故，下同解法一．‎ 好题速递200‎ 解析几何模块3．若对任意，直线与圆均无公共点，则实数的取值范围是 ．‎ 解：‎ 故对任意，恒成立 等价于对任意，或恒成立 显然对任意，不恒成立 故只有对任意，恒成立 即，得