新课标版高考数学复习题库考点3 函数的概念及性质 9页

‎ ‎ 考点3 函数的概念及性质 ‎ ‎1.（2010·陕西高考理科·Ｔ5）已知函数若=4，则实数=（ ）‎ ‎（A） （B） (C) 2 (D) 9‎ ‎【命题立意】本题考查分段函数的函数值问题，考查考生思维的逻辑性.‎ ‎【思路点拨】.‎ ‎【规范解答】选C. 因为 所以 ‎2.（2010·广东高考文科·Ｔ3）若函数f(x)=+与g(x)=的定义域均为R，则（ ）‎ ‎(A)f(x)与g(x)均为偶函数 (B)f(x)为奇函数，g(x)为偶函数 ‎(C)f(x)与g(x)均为奇函数 (D)f(x)为偶函数，g(x)为奇函数 ‎【命题立意】本题考查函数奇偶性的定义及判定.‎ ‎【思路点拨】 因为定义域均为R，所以只需研究与的关系和与的关系即 可判断.‎ ‎【规范解答】选D.， ， 故选D.‎ ‎3.（2010·广东高考理科·Ｔ3）若函数f（x）=3x+3-x与g（x）=3x-3-x的定义域均为R，则（ ）‎ ‎(A)f（x）与g（x）均为偶函数 (B) f（x）为偶函数，g（x）为奇函数 ‎(C)f（x）与g（x）均为奇函数 (D) f（x）为奇函数，g（x）为偶函数 ‎【命题立意】本题考查函数奇偶性的定义及判定.‎ ‎【思路点拨】 因为定义域均为R，所以只需研究与的关系和与的关系即可判断.‎ ‎【规范解答】选.,,故选.‎ ‎4.(2010·安徽高考理科·Ｔ4）若是上周期为5的奇函数，且满足，‎ 则（ ）‎ ‎(A)－1 (B)‎1 (C)‎－2 (D)2‎ ‎【命题立意】本题主要考查函数的奇偶性、周期性，考查考生的化归转化能力.‎ ‎【思路点拨】是上周期为5的奇函数求.‎ ‎【规范解答】选A.由题意 ‎,故A正确.‎ ‎5.（2010 ·海南高考理科·T8）设偶函数满足，则（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【命题立意】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的综合应用.‎ ‎【思路点拨】利用函数的奇偶性画出函数的简图，然后再利用对称性和单调性列出相关不等式求解.‎ ‎【规范解答】选Ｂ.因为函数在上为增函数，且，由偶函数的性质可知，若，需满足，得或，故选Ｂ.‎ ‎6.（2010·山东高考文科·Ｔ5）设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=+2x+b(b为常数)，则f(-1)= （ ）‎ ‎(A) -3 (B) -1 (C) 1 (D) 3‎ ‎【命题立意】本题考查函数的奇偶性, 考查考生的推理论证能力和运算求解能力.‎ ‎【思路点拨】先根据奇函数的性质求出b的值，再求出，最后根据与的关系求出.‎ ‎【规范解答】 选A.因为为定义在R上的奇函数,所以有,解得,所以当时, ,即,故选A.‎ ‎7.（2010·山东高考理科·Ｔ4）设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=+2x+b(b为常数)，则f(-1)= （ ）‎ ‎(A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3‎ ‎【命题立意】本题考查函数的奇偶性, 考查考生的推理论证能力和运算求解能力. ‎ ‎【思路点拨】先根据奇函数的性质求出b的值，再求出，最后根据与的关系求出.‎ ‎【规范解答】 选D.因为为定义在R上的奇函数,所以有,解得,所以当时, ,即,故选D. ‎ ‎8.（2010·天津高考文科·Ｔ１0）设函数，则的值域是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【命题立意】考查函数的图像与性质及数形结合的思想.‎ ‎【思路点拨】先根据特设求分段函数中各段的x的范围，再求函数的值域.‎ ‎【规范解答】选D.由可得，由，即时，‎ 如图，由得图像可得：‎ 当时，2，‎ 当时，，‎ 所以的值域为，故选D.‎ ‎9. （2010·湖南高考理科·Ｔ4）用表示a，b两数中的最小值.若函数的图象关于直线x=对称，则t的值为（ ）‎ ‎（A）-2 （B）2 （C）-1 （D）1‎ ‎【命题立意】以新定义为出发点考查学生的接受能力，以分段函数为依托，以函数图象为明线，以函数对称性为暗线，考查学生综合运用知识的能力.同时也考查了学生避繁就简快速捕捉信息的能力.‎ ‎【思路点拨】根据题意写出分段函数，作出已知函数y=|x|的图象，再平移y=|x+t|的图象使得整个函数的图象关于直线x=-对称.‎ ‎【规范解答】‎ 选D.由定义得到分段函数，作出函数y=|x|在R上的图象，由于函数y=|x+t|的图象是由y=|x|的图象平行移动而得到，向右移动显然不满足条件关于x=-对称，因此向左移动，移动到两个函数的交点为(-,)，把点(-,)代入y=|x+t|得到t=0或t=1,t=0显然不成立，因此t=1.‎ ‎【方法技巧】一个函数有多段，或者是多个函数的图象的处理，常常先定后动，先曲后直.‎ ‎10.（2010·陕西高考文科·Ｔ１3）已知函数f（x）＝若f（f（0））＝‎4a，则实数a＝ .‎ ‎【命题立意】本题考查分段函数的函数值问题，考查考生思维的逻辑性.‎ ‎【思路点拨】.‎ ‎【规范解答】因为所以 ‎【答案】2‎ ‎11.（2010·江苏高考·Ｔ11）已知函数则满足不等式的x的取值范围是_____.‎ ‎【命题立意】本题考查分段函数的图象、单调性以及数形结合和化归转化的思想.‎ x y ‎1‎ ‎【思路点拨】结合函数,的图象以及的条件，可以得出与之间的大小关系，进而求解x的取值范围.‎ ‎【规范解答】画出,的图象，‎ O 由图象可知，若，‎ 则即得.‎ ‎【答案】‎ ‎12.（2010·江苏高考·Ｔ5）设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数，则实数a的值为_______.‎ ‎【命题立意】本题考查函数的奇偶性的知识.‎ ‎【思路点拨】奇函数奇函数=偶函数，若y=g(x)=ex+ae-x为奇函数，则g(0)=0，进而求得a.‎ ‎【规范解答】ae-x),‎ ‎ ae-x , ,‎ ‎【答案】-1‎ ‎13.（2010·天津高考文科·Ｔ１6）设函数f(x)=x-,对任意x恒成立，则实数m的取值范围是________.‎ ‎【命题立意】考查函数的性质、恒成立问题以及分类讨论的思想方法.‎ ‎【思路点拨】将恒成立问题转化为函数的最值问题.‎ ‎【规范解答】，显然，‎ ‎（1）当m>0时，，因为无最大值，故此式不成立.‎ ‎（2）当m<0时，，‎ 因为的最小值为1，故，‎ 综上m的取值范围是.‎ ‎【答案】‎ ‎【方法技巧】求解恒成立问题时，可构造我们熟悉的函数类型，然后根据函数的性质解题，求解时经常要应用变量分离的方法，应用这一方法的关键是分清参数与变量.‎ ‎14.（2010·福建高考理科·Ｔ15）已知定义域为（0，+ ）的函数f（x）满足：（1）对任意 x （0，+ ），恒有f（2x）=‎2f（x）成立；（2）当x （1，2]时，.给出如下结论：‎ ① 对任意m Z，有f()= 0; ‎ ② 函数f（x）的值域为[0, + ); ‎ ③ 存在n Z，使得f（）=9；‎ ④ ‎“函数f（x）在区间（a,b）上单调递减”的充要条件是“存在k Z，使得（a,b）”.‎ ‎ 其中所有正确结论的序号是 .‎ ‎【命题立意】本题通过抽象函数，考查函数的周期性、单调性，考查考生的综合分析、解题能力.‎ ‎【思路点拨】把问题转化为区间进行求解.‎ ‎【规范解答】对于①，，又，，所以①正确；‎ 对于②，当 时， ，又，，，∴当时，的值域为，所以②正确；‎ 对于③，当，又当时，，，由得，不存在使得，所以③不正确；‎ 对于④，（1）：因为当，，∴当时，单调递减；（2）：（反证法）若（a,b），设k1＜k2，.∵单调递减，恒成立，但是上式不恒成立，所以这与假设矛盾，所以（a,b）；所以④正确；‎ ‎【答案】 ‎15.（2010·广东高考文科·Ｔ20）已知函数对任意实数均有，其中常数为负数，且在区间上有表达式f(x)=x(x-2).‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）写出在上的表达式，并讨论函数在上的单调性；‎ ‎（3）求出在上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值.‎ ‎【命题立意】本题为函数综合题，主要考查函数的性质及综合应用.‎ ‎【规范解答】（1）∵，且在区间[0,2]时，‎ ‎∴.‎ 由得，‎ ‎∴.‎ ‎（2）若，则，‎ ‎ ，‎ ‎ ∴当时，.‎ 若，则， ∴，‎ ‎ ∴，‎ ‎ 若，则， ∴，‎ ‎ ∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴当时，‎ ‎∵,∴当时，，由二次函数的图象可知，为增函数；‎ ‎ 当时，，由二次函数的图象可知，当时，为增函数，当时，为减函数；‎ 当时，，由二次函数的图象可知，当时，为减函数；当 时，为增函数；‎ 当时，，由二次函数的图象可知，为增函数.‎ ‎（3）由（2）可知，当时，最大值和最小值必在或处取得.（可画图分析）‎ ‎∵，，，，‎ ‎∴当时，;‎ 当时，‎ 当时，.‎ ‎16.（2010·湖南高考文科·Ｔ21）已知函数其中a<0,且a≠-1.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）设函数=，（e是自然数的底数），是否存在a，使在[a,-a]上为减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎【命题立意】以复杂函数和分段函数为依托考查学生用导数处理问题的能力.‎ ‎【思路点拨】在（1）中先求导，再根据导函数研究单调性.在（2）中对分段函数的分析，先对每一段进行处理，再注意分界点.‎ ‎【规范解答】(1) 的定义域为（0，+∞），‎ ‎.‎ ‎①若-10；当-a1时，>0,故分别在（0，-a），（1，+∞）上单调递增，在（-a，1）上单调递减；‎ ‎②若a<-1，仿(1)可得分别在（0，1），（-a，+∞）上单调递增，在（1，-a）上单调递减.‎ ‎(2) 存在a，使在[a,-a]上为减函数.事实上，设 则 再设x∈R，则当在[a,-a]上单调递减时，‎ 必在[a,0]上单调递减，所以，由于ex＞0，因此m(a)≤0，而m(a)=a2(a+2)，所以a≤-2，‎ 此时显然有：在[a,-a] 上为减函数，当且仅当在[1,-a]上为减函数，在[a,-1]上 为减函数且≥e·.‎ 由(1)可知，当a≤-2时，在[1,-a]上为减函数. ①‎ 又≥e·‎4a2+‎13a+3≤0-3≤a≤-. ②‎ 不难知道， ‎ 因 令=0，则x=a，或x=-2，而a≤-2，于是 ‎（i） 当a＜-2时，若a＜x＜-2，则＞0；若-2＜x＜1，则＜0，因而在(a,-2)上单调递增，在（-2，1）上单调递减.‎ ‎(ii)当a=-2时，≤0在（-2，1）上单调递减.‎ 综合（i）(ii)可知，当a≤-2时，在[a,1]上的最大值为 所以，≤‎0m(-2)≤‎0a≤-2 . ③‎ 又对，≤0只有当a=-2时在x=-2取得，亦即=0只有当a=-2时在x=-2取得，‎ 因此，当a≤-2时，在[a,1]上为减函数.从而由①②③知，-3≤a≤-2.‎ 综上所述，存在a，使在[a,-a]上为减函数，且a的取值范围是[-3,-2].‎ ‎【方法技巧】函数的单调性研究是高考中重点也是难点.解题的思路是：首先看函数的类型，如果是基本函数，常常记住函数的单调区间；如果是复杂函数，常常利用导数进行研究；如果是抽象函数，常常利用定义解决，或者借助图象，或者用具体函数代替处理.‎