高中数学选修2-3课件1_2_1排列（一） 16页

1.2.1 排列 ( 一 ) 创设情境 , 引出排列问题 探究 在 1.1 节的例 9 中我们看到 , 用分步乘法计数原理解决这个问题时 , 因做了一些重复性工作而显得繁琐 , 能否对这一类计数问题给出一种简捷的方法呢 ? 探究： 问题 1 ： 从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名参加一项活动，其中 1 名同学参加上午的活动，另名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 问题 2 ： 从 1 ， 2 ， 3 ， 4 这 4 个数中，每次取出 3 个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 上面两个问题有什么共同特征？可以用怎样的数学模型来刻画？ 探究： 问题 1 ： 从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名参加一项活动，其中 1 名同学参加上午的活动，另名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 分析： 把题目转化为 从甲、乙、丙 3 名同学中选 2 名，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，求一共有多少种不同的排法？ 上午 下午 相应的排法 甲 乙 丙 乙 甲 丙 丙 甲 乙 甲丙 甲乙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙 第一步：确定参加上午活动的同学即从 3 名中任 选 1 名，有 3 种选法 . 第二步：确定参加下午活动的同学，有 2 种方法 根据分步计数原理： 3×2=6 即共 6 种方法。 把上面问题中被取的对象叫做 元素 , 于是问题１就可以叙述为： 从 3 个不同的元素 a,b,c 中任取 2 个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？ ab, ac, ba, bc, ca, cb 问题 2 ： 从 1 ， 2 ， 3 ， 4 这 4 个数中，每次取出 3 个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 从 4 个不同的元素 a,b,c,d 中任取 3 个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？ abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc; cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb. 有此可写出所有的三位数： 123 ， 124 ， 132 ， 134 ， 142 ， 143; 213 ， 214 ， 231 ， 234 ， 241 ， 243 ， 312 ， 314 ， 321 ， 324 ， 341 ， 342; 412 ， 413 ， 421 ， 423 ， 431 ， 432 。 基本概念 1 、排列： 一般地，从 n 个不同中取出 m (m n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。 说明： 1 、元素不能重复。 n 个中不能重复， m 个中也不能重复。 2 、 “ 按一定顺序 ” 就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。 3 、 两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。 4 、 m ＜ n 时的排列叫选排列， m ＝ n 时的排列叫全排列。 5 、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用 “ 树形图 ” 。 例 1 、下列问题中哪些是排列问题？ （ 1 ） 10 名学生中抽 2 名学生开会 （ 2 ） 10 名学生中选 2 名做正、副组长 （ 3 ）从 2,3,5,7,11 中任取两个数相乘 （ 4 ）从 2,3,5,7,11 中任取两个数相除 （ 5 ） 20 位同学互通一次电话 （ 6 ） 20 位同学互通一封信 （ 7 ）以圆上的 10 个点为端点作弦 （ 8 ）以圆上的 10 个点中的某一点为起点，作过另一个点的射线 （ 9 ）有 10 个车站，共需要多少种车票？ （ 10 ）有 10 个车站，共需要多少种不同的票价？ 2 、排列数： 从 n 个不同的元素中取出 m(m≤n) 个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同的元素中取出 m 个元素的排列数。用符号 表示。 “ 排列 ” 和 “ 排列数 ” 有什么区别和联系？ 排列数，而不表示具体的排列。 所有排列的个数，是一个数； “ 排列数 ” 是指从 个不同元素中，任取 个元素的 所以符号 只表示 “ 一个排列 ” 是指：从 个不同元素中，任取 按照一定的顺序排成一列，不是数； 个元素 问题１中是求从３个不同元素中取出２个元素的排列数，记为 , 已经算得 问题 2 中是求从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数，记为　　，已经算出 探究： 从 n 个不同元素中取出 2 个元素的排列数 是多少？ 呢 ？ 呢 ？ …… 第 1 位 第 2 位 第 3 位 第 m 位 n 种 (n-1) 种 (n-2) 种 (n-m+1) 种 (1) 排列数公式（ 1 ）： 当 m ＝ n 时， 正整数 1 到 n 的连乘积，叫做 n 的阶乘，用 表示。 n 个不同元素的全排列公式： (2) 排列数公式（ 2 ）： 说明： 1 、排列数 公式 的第一个常用来计算，第二个常用来证明。 为了使当 m ＝ n 时上面的公式也成立，规定： 2 、对于 这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条件。 例 1 、计算： （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 例 2 、解方程： 例 3 、求证： 例 5 、求 的值 . 例 4 ． 若 ，则 ， ． 1 ．计算：（ 1 ） （ 2 ） 课堂练习 2 ．从 4 种蔬菜品种中选出 3 种，分别种植在不同土质的 3 块土地 上进行试验，有 　　 种不同的种植方法？ 4 ．信号兵用 3 种不同颜色的旗子各一面，每次打出 3 面，最多能 打出不同的信号有（ 　　） 3 ．从参加乒乓球团体比赛的 5 名运动员中选出 3 名进行某场比赛， 并排定他们的出场顺序，有 　　 种不同的方法？ 排列问题，是取出 m 个元素后，还要按一定的顺序排成一列，取出同样的 m 个元素，只要 排列顺序不同 ，就视为完成这件事的两种不同的方法（两个不同的排列）． 小结 由排列的定义可知， 排列与元素的顺序有关 ，也就是说与位置有关的问题才能归结为排列问题．当元素较少时，可以根据排列的意义写出所有的排列． 思考题 三张卡片的正反面分别写着数字 2 和 3 ， 4 和 5 ， 7 和 8 ，若将这三张卡片的正面或反面并列组成一个三位数，可以得到多少个不同的三位数？