【数学】2019届一轮复习人教B版立体几何中的面积与体积学案 5页

近些年 在高考中不仅有直接求多面体，旋转体的面积、体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题，即使考查空间线面的位置关系也常以几何体为依托，因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式，同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解.客观题主要考查由三视图得出几何体的直观图，求其表面积、体积或由几何体的表面积、体积得出某些量；主观题考查较全面，考查线、面位置关系，及表面积、体积公式，无论是何种题型都考查学生的空间想象能力．‎ ‎1．空间几何体的表面积有关计算 空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面积就是全面积，是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积，在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积”．多面体的表面积就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和．对于简单的组合体的表面积，一定要注意其表面积是如何构成的，在计算时不要多算也不要少算，组合体的表面积要根据情况决定其表面积是哪些面积之和．主要有以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．‎ 例１【安徽省六安市一中2018届第五次月考】水平放置的，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的，其中,则绕所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 面圆半径为，母线长为4，故该几何体的表面积为．选B．‎ 点评 多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．‎ 求解多面体的表面积，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解．计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法 进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直” 解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.学 ‎ ‎2．空间几何体的体积有关计算 给出几何体的三视图，求该几何体的体积或表面积时，可以根据三视图还原出实物，画出该几何体的直观图，确定该几何体的结构特征，并利用相应的体积公式求出其体积，求体积的方法有直接套用公式法、等体积转换法和割补法等多种．若所给几何体为不规则几何体，常用等积转换法和割补法求解．[ 学 ]‎ 例2【辽宁省大连市2018届第二次联考】已知三棱锥的顶点都在半径为3的球面上， 是球心， ,则三棱锥体积的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 点评 本题中是固定的，点是动点，要使三棱锥体积最大，则点到平面的距离最大，所以只要平面时， 最大，求出底面，高，利用锥体体积公式求解即可 ‎.求解多面体的体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解．旋转体体积计算问题，只需根据图形的特征求出所需元素(半径、高等)，然后代入公式计算即可．‎ ‎3．与三视图有关的面积与体积的计算问题 给出几何体的三视图，求该几何体的体积或表面积时，可以根据三视图还原出实物，画出该几何体的直观图，确定该几何体的结构特征，并利用相应的体积公式求出其体积，求体积的方法有直接套用公式法、等体积转换法和割补法等多种．若所给几何体为不规则几何体，常用等积转换法和割补法求解．[ 学 ]‎ 例3【广西桂林市、贺州市2018届期末联考】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）‎ A. B. 36 C. D. ‎ ‎【答案】C 点评 本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响. 学 ‎ ‎4．空间几何的组合体的面积与体积[ 学 ]‎ 当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利．几何体的“分割” 几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之．几何体的“补形” 与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等．另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积． ‎ 例4【四川省成都市双流中学2018届11月月考】已知三棱锥，是直角三角形，其斜边， 平面,,则三棱锥的外接球的表面积为( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ ‎ 点评 本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有 ①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.学 ‎ 综合以上四类问题，立体几何中的面积与体积问题都是高考中的热点问题，在高考试题的新颖性越 越明显，能力要求也越 越高，并且也越 越广泛，从以上几方面可 以概括出在解决几何体的表面积与体积问题中的方法与技巧 几何体的侧面积和全面积 几何体侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和．对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图 进行．求体积时应注意的几点 求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已知体积公式的几何体进行解决．[与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性．求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处理．‎