2021届课标版高考理科数学大一轮复习课件：1-2　命题及其关系、充分条件与必要条件（讲解部分） 14页

考点一    命题及其关系 考点清单 考向基础 1.四种命题 命题 表述形式 原命题 若 p ,则 q 逆命题 若 q ,则 p 否命题 若¬ p ,则¬ q 逆否命题 若¬ q ,则¬ p 2.四种命题间的关系   由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性,因此,当判断原命题的真 假比较困难时,可转化为判断它的逆否命题的真假,这就是常说的“正难则 反”. 考向突破 考向    四种命题及其真假的判断 例     (2019江西赣州十四县(市)期中联考,4)下列有关命题的说法正确的是   (　　) A.命题“若 x 2 =1,则 x =1”的否命题为“若 x 2 =1,则 x ≠ 1” B.命题 p : ∃ x 0 ∈R,sin x 0 =   ;命题 q : ∀ x ∈R, x >sin x ,则命题 p ∨ q 为真 C.命题“ ∃ x 0 ∈R,   + x 0 +1<0”的否定是“ ∀ x ∈R, x 2 + x +1<0” D.命题“若 x = y ,则sin x =sin y ”的逆否命题是真命题 解析 　选项A,命题“若 x 2 =1,则 x =1”的否命题为“若 x 2 ≠ 1,则 x ≠ 1”,∴A 选项错误. 选项B,∵sin x 0 =   >1,∴命题 p 是假命题.命题 q :当 x =0时, x =sin x ,∴命题 q 是 假命题,则命题 p ∨ q 为假,∴B选项错误. 选项C,命题“ ∃ x 0 ∈R,   + x 0 +1<0”的否定是“ ∀ x ∈R, x 2 + x +1 ≥ 0”,∴C选 项错误. 选项D,∵ x = y ,∴sin x =sin y ,∴该命题的逆否命题为真命题,∴D选项正确. 答案     D 考点二    充分条件与必要条件 考向基础 1.充分条件与必要条件 (1)若 p ⇒ q ,则 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的 必要条件 . (2)若 p ⇒ q 且 q ⇒ p ,则 p 是 q 的 充要条件 . 2. 充分条件与必要条件的两种判断方法见下表: 条件 定义法 集合法: A ={ x | p ( x )}, B ={ x | q ( x )} p 是 q 的充分条件 p ⇒ q A ⊆ B p 是 q 的必要条件 q ⇒ p A ⊇ B p 是 q 的充要条件 p ⇒ q 且 q ⇒ p A = B p 是 q 的充分不必要条件 p ⇒ q 且 q ⇒ / p A B p 是 q 的必要不充分条件 p ⇒ / q 且 q ⇒ p A B p 是 q 的既不充分也不必要条件 p ⇒ / q 且 q ⇒ / p A ⊈ B 且 A ⊉ B 【辨析比较】 (1) A 是 B 的充分不必要条件是指 A ⇒ B 且 B ⇒ / A ;(2) A 的充分不 必要条件是 B 是指 B ⇒ A 且 A ⇒ / B .在解题中要看清条件,弄清它们的区别,以 免出现错误. 考向突破 考向    充分条件与必要条件的判断 例     (2019安徽合肥一模,5)已知偶函数 f ( x )在[0,+ ∞ )上单调递增,则对实 数 a , b ,“ a >| b |”是“ f ( a )> f ( b )”的   (　　) A.充分不必要条件　　　　    B.必要不充分条件 C.充要条件　　　　    D.既不充分也不必要条件 解析　 因为 f ( x )为偶函数,所以 f ( x )= f (- x )= f (| x |),由于 f ( x )在[0,+ ∞ )上单调递 增,因此若 a >| b | ≥ 0,则 f ( a )> f (| b |),即 f ( a )> f ( b ),所以 a >| b |是 f ( a )> f ( b )的充分条件; 若 f ( a )> f ( b ),则 f (| a |)> f (| b |),可得| a |>| b | ≥ 0,由于 a , b 的正负不能判断,因此无法 得到 a >| b |,则 a >| b |不是 f ( a )> f ( b )的必要条件,所以 a >| b |是 f ( a )> f ( b )的充分不必 要条件,故选A. 答案     A 方法1      充分条件与必要条件的判断 判断充分条件、必要条件的常用方法有三种,分别是定义法、集合法、等 价转化法. 1.定义法是判断充分条件、必要条件最根本的方法.(常见形式见考点清 单) 2.集合法适用于“所要判断的命题与方程的根、不等式的解集相关,或所 描述的对象可以用集合表示”的情况.(具体判断方法见考点清单) 方法技巧 3.等价转化法适用于条件和结论带有否定性词语的命题或直接判断不方 便的情况,具体方法是通过判断原命题的逆否命题的真假来间接判断原命 题的真假.常用结论如下: (1)¬ q 是¬ p 的充分不必要条件 ⇔ p 是 q 的充分不必要条件; (2)¬ q 是¬ p 的必要不充分条件 ⇔ p 是 q 的必要不充分条件; (3)¬ q 是¬ p 的充要条件 ⇔ p 是 q 的充要条件; (4)¬ q 是¬ p 的既不充分也不必要条件 ⇔ p 是 q 的既不充分也不必要条件. 例1     (2017天津,4,5分)设 θ ∈R,则“   <   ”是“sin θ <   ”的   (　　) A.充分而不必要条件　　　　    B.必要而不充分条件 C.充要条件　　　　    D.既不充分也不必要条件 答案     A 解析 　解法一(集合法):   <   ⇔ -   < θ -   <   ⇔ 0< θ <   ;sin θ <   ⇔ -   + 2 k π< θ <   +2 k π, k ∈Z.由     , k ∈Z, 可得“   <   ”是“sin θ <   ”的充分不必要条件. 解法二(定义法):   <   ⇔ 0< θ <   ⇒ sin θ <   ,当 θ =0时,sin θ <   ,但不满足   <   ,所以是充分不必要条件,故选A. 方法2      根据充分、必要条件求参数取值范围的方法 (1)根据充分、必要条件求参数取值范围的关键是合理转化条件、有关性 质、定理等得到关于参数的方程或不等式,然后通过解方程或者不等式求 解问题. (2)注意命题的等价关系,原命题和逆否命题是等价的,逆命题和否命题是 等价的,利用命题的等价关系转换,将复杂的命题关系简单化. (3)命题的充要条件关系往往转化为集合间的相等关系,进而得到方程或不 等式. 例2     (2018湖南浏阳三校联考,17)设 p :实数 x 满足 x 2 -4 ax +3 a 2 <0, a ∈R; q :实数 x 满足 x 2 - x -6 ≤ 0或 x 2 +2 x -8>0.若 a <0且¬ p 是¬ q 的必要不充分条件,求实数 a 的 取值范围. 解题导引   解析　 解法一:由 x 2 -4 ax +3 a 2 <0,得( x -3 a )( x - a )<0, 当 a <0时,3 a < x < a ,∴命题 p 对应的集合为{ x |3 a < x < a }, 由 x 2 - x -6 ≤ 0或 x 2 +2 x -8>0,得-2 ≤ x ≤ 3或 x <-4或 x >2, 则 x <-4或 x ≥ -2, ∴命题 q 对应的集合为{ x | x <-4或 x ≥ -2}. ¬ p 对应的集合为 A ={ x | x ≤ 3 a 或 x ≥ a }, ¬ q 对应的集合为 B ={ x |-4 ≤ x <-2}, ∵¬ p 是¬ q 的必要不充分条件, ∴ B A ,∴3 a ≥ -2或 a ≤ -4, 解得 a ≥ -   或 a ≤ -4, 又 a <0,∴ a 的取值范围是 a ≤ -4或-   ≤ a <0. 解法二:¬ p 是¬ q 的必要不充分条件, 根据原命题与逆否命题等价, 得 q 是 p 的必要不充分条件,即 p 是 q 的充分不必要条件. 由解法一知 p : P ={ x |3 a < x < a }, q : Q ={ x | x <-4或 x ≥ -2}, ∴ P Q ,∴   ∴ a ≤ -4或-   ≤ a <0.