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- 2021-06-16 发布
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六安一中高一年级延期开学期间辅导测试
数学(一)
时间:120分钟 满分:150分
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.每一小题给出的四个选项中只有一项
是符合题目要求的.
1.设集合,,若,则( )
A. B. C. D.
2.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
3.已知角的顶点与坐标原点重合,始边与轴的非负半轴重合,终边在直线上,则
( )
A. B. C. D.
4.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,卷一《方田》[三三] “今有宛田,下周六步,径四步问为田几何?”译成现代汉语其意思为:有一块扇形的田,弧长步,其所在圆的直径是步,问这块田的面积是( )平方步?
A. 12 B. 9 C. 6 D. 3
5.要得到函数的图像,只需要将函数的图像( )
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
6.已知函数,则( )
A.是奇函数,且在上是增函数 B.是偶函数,且在上是增函数
C.是奇函数,且在上是减函数 D.是偶函数,且在上是减函数
7.在中,已知是边上一点,若,则( )
A. B. C. D.
8.函数的图像大致为( )
9.设函数,则的最小正周期( )
A.与有关,但与无关 B.与有关,且与有关
C.与无关,且与无关 D.与无关,但与有关
10.已知函数在一个周期内的图象如下图.若方程在区间上有两个不同的实数解,则的值为( )
A. B. C. D.或
11.已知函数,若,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
12.已知定义域为的函数满足,若函数与图
象的交点为,则( )
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.请将答案填写在答题卷相应位置上.
13.已知函数,则__________.
14.已知,其中是第三象限角,且,则______________.
15.若则_______.
16.已知定义域为的函数满足,,且当时,.又函数,则函数在上的零点个数为_______.
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内.
17.(本小题满分10分)
已知函数.
(1)求的值;
(2)求的最小正周期及单调递增区间.
18.(本小题满分12分)
在中,三个内角分别为,已知.
(1)求角的值;
(2)若,且,求.
19.(本小题满分12分)
若函数是周期为的偶函数,当时,;在的图象上有两点,它们的纵坐标相等,横坐标都在区间上.
(1)求当时,的解析式;
(2)定点的坐标为,求面积的最大值.
20.(本小题满分12分)
如图,一个半圆和长方形组成的木块,长方形的边为半圆的直径,为半圆的圆心,,现要将此木块锯出一个等腰三角形,其底边,点在半圆上.
(1)设,求三角形木块的面积;
(2)设,试用表示三角形木块的面积,并求的最大值.
21.(本小题满分12分)
对于函数,若在定义域内存在实数,满足,则称“局部中心函数”.
(1)已知二次函数,试判断是否为“局部中心函数”,并说明理由;
(2)若是定义在上的“局部中心函数”,求实数的取值范围.
22.(本小题满分12分)
已知,函数.
(1)当时,解关于的不等式;
(2)设,若对任意,函数在区间上的最大值与最小值的差不超过,求的取值范围.
六安一中延期开学高一数学(一)参考答案
第Ⅰ卷(选择题每题5分共60分)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
D
A
C
B
C
A
B
A
A
D
C
1.B【解析】选B.
2.D【解析】,解得.
3.A【解析】由角的终边在直线上可得,,
.
4.C【解析】弧长6步,其所在圆的直径是4步,半径为2步,面积(平方步).
5.B【解析】,只需将函数的图像向右平移个单位.
6.C【解析】∵,所以在R上是减函数且是奇函数,选C.
7.A因为.
所以,答案应选A.
8.B【解析】当时,因为,所以此时,故排除A.D;又,故排除C,选B.
9.A【解析】由于.
当时,的最小正周期为;
当时,的最小正周期;
的变化会引起的图象的上下平移,不会影响其最小正周期.故选A.
10.A【解析】考查三角函数对称轴
11.D【解析】∵,∴由|f(x)得,,
且,由,可得,则,排除A,B,
当时,取,不恒成立,故不适合,排除C,故选D.
12.C【解析】由得,可知关于(0,2)对称,
而也关于(0,2)对称,∴对于每一组对称点,,,∴,故选C.
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题.
13.4【解析】,,
14.【解析】=,
因为是第三象限角,且,
所以,所以.
15.【解析】,而,,
因此则.
16.6【解析】由题意知,所以函数为偶函数,所以
,所以函数为周期为2的周期函数,且,而为偶函数,且,在同一坐标系下作出两函数在上的图像,发现在内图像共有6个公共点,则函数在在上的零点个数为6.
三、解答题.
17.【解析】(Ⅰ)由.
(Ⅱ)化简得,
所以的最小正周期是,
由正弦函数的性质得
,解得
所以的单调递增区间是.
18.【解析】(1)因为,得,即,因为,且,所以,所以.
(2 )因为,所以,因为,所以,
所以.
19.【解析】(1)∵是以2为周期的周期函数,当时,
∴当时,
∵是偶函数,∴当时,
当时,
(2)设的纵坐标为,横坐标分别为,则
∴的面积为t2(t-2)2
当t=2时,S最大值=1
20.【解析】(1):由题意可知,,
所以
.所以,
即三角形铁皮的面积为.
(2)设,则,,
所以,
令,因为,所以,所以.
因为,所以,
故,
而函数在区间上单调递增,故当,即时,取最大值,即,
所以剪下的铁皮三角形GEF的面积的最大值为.
21.【解析】(1).
∴当时,,是“局部中心函数”。
(2)是上“局部中心函数”,∴
有解;
令,则在时有解;
∴则;
令,则
则由可知.
22.【解析】(1)由,得,解得.
(2)当时,,,
所以在上单调递减.
函数在区间上的最大值与最小值分别为,.
即,
对任意成立.
因为,所以函数在区间上单调递增,
时,有最小值,由,得.
故的取值范围为.