新教材数学北师大版（2019）必修第二册课件：2-2-2 向量的减法 课件（42张） 42页

2.2　向量的减法 必备知识·自主学习 导思 1.什么是向量的减法?向量的 减法遵循怎样的法则? 2.向量减法满足哪些运算律? 1.相反向量(复习回顾) 定义 把与a长度相等、方向相反的向量,叫作a的相反向 量, 记作___ 规定:零向量的相反向量仍是零向量 性质 (1)零向量的相反向量仍是零向量,于是-(-0)=__; (2)互为相反向量的两个向量的和为0, 即a+(-a)=(-a)+a=0; (3)若a+b=0,则a=___,b=___ -a 0 -b -a 2.向量的减法 定 义 向量a加上b的相反向量,叫作a与b的差,即a-b=a+(- b),求两个向量差的运算,叫作向量的减法 几 何 意 义 如图,设 =a, =b,则 =a-b,即a-b表示为从向 量b的终点指向向量a的终点的向量 OA  OB  BA  【思考】 　向量减法的三角形法则是什么? 提示:(1)两个向量a,b的始点移到同一点; (2)连接两个向量(a与b)的终点; (3)差向量a-b的方向是指向被减向量的终点. 这种求差向量a-b的方法叫作向量减法的三角形法则.概括为“移为共始点,连 接两终点,方向指被减”. 【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)两个向量的差仍是一个向量. (　　) (2) = - . (　　) (3)a-b的相反向量是b-a. (　　) (4)|a-b|<|a+b|. (　　) BA  OA  OB  提示:(1)√.两个向量的差不改变性质,仍是一个向量. (2)√.两个向量的差是由减向量的终点指向被减向量的终点. (3)√.a-b的相反向量是-(a-b)=b-a. (4)×.|a-b|与|a+b|的大小关系不确定,与a,b的夹角有关. 2.在△ABC中, =a, =b,则 = (　　) A.a+b　　　B.a-b　　　C.b-a　　　D.-a-b 【解析】选C. = - =b-a. AB  AC  BC  BC  AC  AB  3. 可以写成① ;② ;③ ;④ .其中正确的是 (　　) A.①②　　　B.②③　　　C.③④　　　D.①④ 【解析】选D.①中 与 首尾相连,和为 ;② 与 既不从同一点出发, 也不首尾相连,差不是 ;③ - = ;④ - = . AC  AO OC  AO OC  OA OC  OC OA  AO  OC  AC  AO  OC  AC  OA  OC  CA  OC  OA  AC  4.已知|a|=1,|b|=2,|a+b|= ,则|a-b|=________.  【解析】根据平行四边形法则,因为( )2=12+22, 所以平行四边形为矩形,那么|a-b|=|a+b|= . 答案: 5 5 5 5 关键能力·合作学习 【题组训练】 类型一　已知向量作差向量(直观想象) 【典例】如图所示,已知向量a,b,c,d,求作向量a-b,c-d. 【思路导引】在平面上任取一点,从此点开始,用三角形法则或平行四边形法则 作图即可. 【解析】如图所示,在平面内任取一点O,作 =a, =b, =c, =d, 则 =a-b, =c-d,即为所求. OA  OB  OC  OD  BA  DC  【解题策略】 　利用向量减法进行几何作图的方法 (1)已知向量a,b,如图①所示,作 =a, =b,利用向量减法的三角形法则可得 a-b,利用此方法作图时,把两个向量的起点放在一起,则这两个向量的差是以减 向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量. (2)利用相反向量作图,通过向量求和的平行四边形法则作出a-b.如图②所示, 作 =a, =b, =-b,则 =a+(-b),即 =a-b. OA  OB  OA  OB  AC  OC  BA  【跟踪训练】 1.设平面内四边形ABCD及任一点O, =a, =b. =c, =d,若a+c=b+d且 |a-b|=|a-d|.则四边形ABCD的形状是________.  OA  OB  OC  OD  【解析】由a+c=b+d得a-b=d-c,即 - = - ,所以 = ,于是AB平行 且等于CD,所以四边形ABCD为平行四边形. 又|a-b|=|a-d|,从而| - |=| - |, 所以| |=| |,所以四边形ABCD为菱形. 答案:菱形 OA  OB  OC OD  BA  CD  OA  OB  OA  OD  BA  DA  2.如图,已知正方形ABCD的边长等于1, =a, =b, =c,试作向量a-b+c. AB  BC  AC  【解析】连接BD,则 =a-b,作向量 =c,连接DE,则 = + =a-b+c即为 所求. DB  BE  DE  DB  BE  【补偿训练】 　　如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c. 【解析】如图所示,在平面内任取一点O,作 =a, =b,则 =a+b,再作 =c, 则 =a+b-c即为所求. OA  AB  OB  OC  CB  类型二　向量加减法运算(数学运算) 【典例】化简下列式子:(1) ; (2) . 【思路导引】统一成加法,首尾相连的合并. 【解析】(1)原式= + + - = +( + )= + =0. (2) NQ PQ NM MP      (BA BC) (ED EC)      NQ  QP  MN  MP  NP  PM  MN  NP  PN  (BA BC) (ED EC) (CB BA) (CE ED) CA CD DC CA DA.                        【解题策略】 　化简向量的和差的方法 (1)如果式子中含有括号,括号里面能运算的直接运算,不能运算的去掉括号. (2)可以利用相反向量把差统一成和,再利用三角形法则进行化简. (3)化简向量的差时注意共起点,由减向量的终点指向被减向量的终点. 【跟踪训练】化简 的结果等于 (　　) A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 【解析】选B. OP QP PS SP      OQ  SP  SQ  OP QP PS SP OP PS SP PQ OQ.               － QP  1.下列等式中,正确的个数为 (　　) ①0-a=-a;②-(-a)=a;③a+(-a)=0; ④a+0=a;⑤a-b=a+(-b);⑥a-(-a)=0. A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6 【解析】选C.根据相反向量的概念知①②③④⑤正确,所以正确的个数为5. 课堂检测·素养达标 2.在平行四边形ABCD中, 等于 (　　) A. B. C. D. 【解析】选A. = = . AC AD  AB  BA  CD  DB  AC AD  DC  AB  3.如图所示,在平行四边形ABCD中, =a, =b,则用a,b表示向量 和 分 别是 (　　) A.a+b和a-b　　　　 B.a+b和b-a C.a-b和b-a D.b-a和b+a 【解析】选B.由向量的加法、减法得, = + =a+b, = - =b-a. AB  AD  AC  BD  AC  AB  AD  BD  AD  AB  4.若菱形ABCD的边长为2,则| - + |=________.  【解析】| - + |=| + + |= | + |=| |=2. 答案:2 AB  CB  CD  AB  CB  CD  AB  BC  CD  AC  CD  AD  十六　向量的减法 【基础通关—水平一】 (15分钟　30分) 1.在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是 (　　) 课时素养评价 A.AB DC 0 B.AD BA AC C.AB AD BD D.AD CB 0           － ＝ － ＝ － ＝ ＝ 【解析】选C.因为 ,所以 =0,A正确;因为 , B正确;因为 ,C错误;因为 ,所以 , 所以 + =0,D正确. AB=DC   AB-DC   AD BA=AD AB=AC      AB AD=AB DA=DB      AD=BC   AD= CB  AD  CB  2.在边长为1的正三角形ABC中,| |的值为(　　) A.1　　　B.2　　　C. 　　　D. 【解析】选D.作菱形ABCD,则| |=| |=| |= . AB BC  3 2 3 AB BC  AB AD  DB  3 3.若a≠0,b≠0,且|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b所在直线的夹角为 (　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 【解析】选A.设 =a, =b,则a-b= ,因为|a|=|b|=|a-b|,所以| |= | |=| |,所以△OAB是等边三角形,∠BOA=60°,四边形OACB为菱形.因为 =a+b,且在菱形OACB中,对角线OC平分∠BOA.所以a与a+b所在直线的夹角为 30°. OA  OB  BA  OA  OB  BA  OC  4.已知 =a, =b,若| |=12,| |=5,且∠AOB=90°,则|a-b|=　　　　.  【解析】因为| |=12,| |=5,∠AOB=90°, 所以| |2+| |2=| |2,所以| |=13. 因为 =a, =b,所以a-b= - = , 所以|a-b|=| |=13. 答案:13 OA  OB  OA  OB  OA  OB  OA  OB  AB  AB  OA  OB  OA  OB  BA  BA  5.已知O为平行四边形ABCD内一点, =a, =b, =c,试用a,b,c表示 . 【解析】方法一:如图所示, = + =a+ =a+( - )=a+c-b. 方法二: = + + + = + +( + )= + +0 = +( + )=a+(-b+c)=a-b+c. OA  OB  OC  OD  OD  OA  AD  BC  OC  OB  OD  OA  AB  BC  CD  OA  BC  AB  CD  OA  BC  OA  BO  OC  【能力进阶—水平二】 (20分钟　40分) 一、单选题(每小题5分,共15分) 1.在平行四边形ABCD中,设 =a, =b, =c, =d,下列等式中不正确的 是 (　　) A.a+b=c　　　　　 B.a-b=d C.b-a=d D.c-a=b 【解析】选B.在平行四边形ABCD中,因为 =a, =b, =c, =d,则 a-b= =-d,故B不正确,其余三个都是正确的. AB  AD  AC  BD  AB  AD  AC  BD  DB  2.化简 = (　　) A.3 　　B. 　　C. 　　D. 【解析】选B. = + =0+ = . AB AC BC BA      AB  AB  BA  CA  AB AC BC BA      (AB BA)  (AC CB)  AB  AB  3.若| |=9,| |=4,则 的取值范围是 (　　) 【解析】选D. = - . 当 , 同向时,| |=|9-4|=5,当 , 反 向时, | |=|9+4|=13;当 , 不共线时,5<| |<13.综上, 的取值范 围是 . AB  AC  BC  A.(5 13) B.[4 5] C.(5 9] D. [5 13]， ， ， ， BC  AC  AB  AB  AC  BC  AB  AC  BC  AB  AC  BC  | BC |  [5 13]， 二、多选题(共5分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分) 4.已知三角形ABC为等腰直角三角形,且∠A=90°,则有 (　　) 2 2 2 A.| AB AC | | AB AC | B.| BC BA | | CB CA | C.| AB CB AC BC | D.| AB AC | | BC AC | | CB AB|                         － － － － － － － － 【解析】选ABC.以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,由题意知其为正方形.因为 所以A正确; 因为 所以B正确;因为 所以C正确; 因为 所以D不正确. | AB AC | | AD | | AB AC | | CB| | AD | | CB|           ， － ， ， | BC BA | | AC | | CB CA | | AB| | AC | | AB|          － ， － ， ， | AB BC | | AC | | AC BC | | AC CB| | AB| | AC | | AB|                ， － ， ， | AB CB|   － 2 2 2 2 2| BA | | CA | | CB| | CB| | CB|        ，即 ， 2 2 2 2 2 2| AB AC | | CB| | BC AC | | CB AB| | BC CA | | CB BA |                － ， － － 三、填空题(每小题5分,共10分) 5.设正方形ABCD的边长为2,则 =　　　　.  【解析】如图,原式=|( + )-( + )|=| - |=| + |=2| |. 因为正方形边长为2,所以2| |=4 . 答案:4 | AB CB AD CD |      AB  AD  CB  CD  AC  CA  AC  AC  AC  AC  2 2 6.若向量a,b满足|a|=8,|b|=12,则|a+b|的最小值为　　　　,|a-b|的最大值 为　　　　.  【解析】当a与b方向相反时,|a+b|取得最小值, 其值为12-8=4;这时|a-b|取得最大值,其值为12+8=20. 答案:4　20 四、解答题 7.(10分)在平行四边形ABCD中,∠ABC=60°, =a, =b,若|a|=|a+b|=2,求 |a-b|的值. 【解析】依题意,| |=|a+b|=2,如图所示. 又| |=|a|=2,∠ABC=60°,所以△ABC是等边三角形,所以BC=AB.所以▱ ABCD为 菱形,AC⊥BD,所以|a2|= .即4=1+ ,所以|a-b|=2 . AB  AD  AC  AB  2 21 1( | a b |) ( | a b |)2 2    2| a b | 4  3