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  • 2021-06-16 发布

高中数学讲义微专题33 向量的模长问题代数法(含模长习题)

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- 1 - 微专题 33 向量的模长问题——代数法 一、基础知识: 利用代数方法处理向量的模长问题,主要采取模长平方——数量积和坐标两种方式 1、模长平方:通过 可得: ,将模长问题转化为数量积问题, 从而能够与条件中的已知向量(已知模长,夹角的基向量)找到联系。要注意计算完向量数 量积后别忘记开方 2、坐标运算:若 ,则 。某些题目如果能把几何图形放入坐标系中, 则只要确定所求向量的坐标,即可求出(或表示)出模长 3、有关模长的不等问题:通常考虑利用“模长平方”或“坐标化”得到模长与某个变量间的 函数关系,从而将问题转化为求函数最值问题 二、典型例题 例 1:在 中, 为 中点,若 ,则 _____ 思路:题目条件有 ,进而 可 求,且 可用 表示,所以考虑模长平方转化为数量积 问题 解: 为 中点 可得: 代入可求出: 答案: 例 2:若 均为单位向量,且 ,则 的最大值为( ) A. B. C. D. 思路:题目中所给条件与模和数量积相关,几何特征较少,所以考虑将 平方,转化 22 cos0a a a a      2 2 a a   ,a x y 2 2a x y  ABC O BC 1, 3, 60AB AC A     OA  1, 3, 60AB AC A     AB AC  OA ,AB AC  O BC   1 2AO AB AC       22 2 2 21 1 22 4AO AO AB AC AB AB AC AC                   3cos 2AB AC AB AC A       2 13= 4AO 13 2AO  13 2 , ,a b c      0, 0a b a c b c           a b c    2 1 1 2 2 a b c    OB C A - 2 - 为数量积问题,再求最值。 解: ① ①转化为 答案:B 例 3 : 平 面 上 的 向 量 满 足 , 且 , 若 ,则 的最小值为___________ 思路:发现所给条件均与 相关,且 可以用 表示,所以考虑 进行模 长平方,然后转化为 的运算。从而求出最小值 解: ,代入可得: 答案: 例 4 : 已 知 平 面 向 量 满 足 , 且 与 的 夹 角 为 , 则 的最小值是( ) A. B. C. D. 思路:题目所给条件围绕着 与 ,所以考虑所求向量用这两个向量进行表示:     2 0 0a c b c a b b c a c c                      0, 1a b c       1 0 1b c a c b c a c                   2 2 2 2 2 2 2 2a b c a b c a b c a b a c b c                              1 1 1 2 3 2 1b c a c             1a b c      ,MA MB  2 4MA MB   0MA MB   1 2 3 3MC MA MB    MC ,MA MB  MC ,MA MB  MC ,MA MB   22 2 21 2 1 4 43 3 9MC MA MB MA MA MB MB                0MA MB    2 4MA MB     22 21 1 1 63 1 63 74 4 49 9 8 16 9 16 16MC MB MB MB                     min 7 4MC  7 4 ,   2 3       2   150    3 2t t R       3 4 3 3 3 2 3    2   - 3 - ,从而模长平方变成数量积问题,可得: ,将 视为一个 整体,则可配方求出最小值 解: 答案:A 小炼有话说:本题的关键在于选好研究对象,需要把已知的两个向量视为整体,而不是 例 5:已知平面向量 的夹角 ,且 ,若 , 则 的取值范围是__________ 思路:由 和夹角范围即可得到 的范围,从而可想到将 模长平方, 再利用 转变为关于 的问题,从而得到关于夹角 的函数,求得范 围。      3 1 1 22 2 2t t                           2 2 23 1 3 1 3 2 2 2 2 4t t t                               1 2t              3 1 1 22 2 2t t                             223 1 1 22 2 2t t                                2 21 1 1 12 2 22 2 2 2t t                                                         21 3 1 2 cos1502 4 2t t                                2 21 3 1 3 2 2 2 4t t                       21 3 3 3 2 4 16 16t                  3 3 2 4t         ,   ,OA OB  2,3 3        3OA OB   1 2 3 3OP OA OB    OP 3OA OB   OA OB  OP 1 2 3 3OP OA OB    ,OA OB   - 4 - 解: 答案: 例 6:已知 , ,则 的最小值是( ) A. B. C. D. 思路:由条件可得 ,所以考虑将 模长平方,从而 转化为数量积问题,代入 的值可得到关于 的二次函数,进而求出最小值 解: 答案:D 例 7:已知直角梯形 中, ∥ , 为腰 上的 动点,则 的最小值为__________ 思路:所求 难以找到其几何特点,所以考虑 利用代数手段,在直角梯形中依直角建系,点 的纵坐 标 与 梯 形 的 高 相 关 , 可 设 高 为 , , , 则 , 所 以 , , 即 22 2 21 2 1 4 4 3 3 9 9 9OP OA OB OA OA OB OB                5 4cos  2,3 3        1 1cos ,2 2        2 3,7OP  3, 7OP       3, 7    2, 6, 2a b a b a         R  a b  4 2 3 2 3   2 2 2 6a b a a b a             a b  , ,a b a b       2 2 2a b a a b a             2 2 6a b a        2 2 2 22 22 36 12 4a b a b a a b b                        2 2236 12 4 6 1 3 3a b            min 3a b    ABCD AD , 90 , 2, 1BC ADC AD BC    P CD 2 3PA PB  2 3PA PB  B h  0,P y    2,0 , 1,A B h    2, , 1,PA y PB h y      2 3 7,3 5PA PB h y     222 3 7 3 5 7PA PB h y      min 2 3 7PA PB   - 5 - 答案: 例 8 :如图,在边长为 的正三角形 中, 分别是边 上的动点,且满足 ,其中 , 分别是 的中点,则 的最小值为( ) A. B. C. D. 思路:等边三角形三边已知,故可以考虑用三边的向量将 进行表示,从而模长平方后 可写成关于 的表 达式,再利用 即可消元。 解: 答案:C 例 9 :已知 与 的夹角为 , , ,且 , , 在 时取到最小值。当 时, 的取值范围是( ) A. B. C. D. 思路:本题含两个变量 ,且已知 范围求 的范围,所以考虑建立 和 的关系式, , 从 而 考 虑 模 长 平 方 , 向 靠 拢 , 可 得 : 7 1 ABC ,E F ,AB AC ,AE mAB AF nAC      , 0,1 , 1m n m n   ,M N ,EF BC MN 2 4 3 3 3 4 5 3 MN 2MN ,m n 1m n   1 112 2MN ME EB BN FE m AB BC                    1 1 1 1 11 12 2 2 2 2AE AF m AB BC mAB nAC m AB AC AB                        1 1 11 12 2 2m AB n AC nAB mAC            22 2 21 1 4 4MN nAB mAC n m mn        1m n        22 2 2 21 1 1 1 3 31 1 14 4 4 2 4 16MN m m m m m m m                         3 4MN  OA OB  =2OA =1OB OP tOA  1OQ t OB  ( ) PQ 0t 0 10 5t   0, 3      ,3 2       2,2 3       20, 3      0,t  0t   0t  1PQ OQ OP t OB tOA         ,OA OB  N M A B C E F - 6 - ,所以当 达到最小 值 时 , , 由 可 得 解 得 , 即 解: 时, 取得最小值 ,所以不等式等价于: 答案:C 例 10:已知 中, ,点 是线段 (含端点)上的一点, 且 ,则 的范围是__________ 思路:本题由垂直和模长条件可考虑建系,从而用坐标来使用数量积的条件。如图建系,设 ,则 ,设 ,则 由 可 得 , 已 知 条 件 , 所 求 模 长 平 方 后 可 得 , 所 以 问 题 转 化 为 已 知 求 的 最 大 值 。 考 虑 ,      2 2 21 5 4cos 2 4cos 1PQ t OB tOA t t              2 PQ 0 1 2cos 5 4cost     0 10 5t  1 2cos 10 5 4cos 5     1 cos 02    2 2 3     1PQ OQ OP t OB tOA              2 2 2 22 21 1 2 1PQ t OB tOA t OB t t OA OB t OA                      2 21 4 1 cos 4t t t t        25 4cos 2 4cos 1t t      0 1 2cos 5 4cost      PQ 0 10 5t  1 2cos 10 5 4cos 5      5 4cos 0    2cos 1 0 1 cos 01 21 2cos 5 4cos5              2,2 3        ABC , 2AB AC AB AC      M BC   1AM AB AC     AM    0, , ,0B b C c  ,AD AB AC c b      ,M x y   1AM AB AC     1cx by  2 22 4AB AC b c      AM 2 2 2AM x y  2 2 1 4 cx by b c      2 2x y   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2x y b c x c b y x b c y      - 7 - ,寻找两个式子的联系,有 ,所以 ,即 ,从而 ,而 另 一 方 面 : 由 及 ( 符 合 直 线 的 方 程 ) 可 得 : ,所以 ( 时取等号),所 以综上可得: 答案: 三、历年好题精选(模长综合) 1、点 是 的重心,若 ,则 的最小值为__________ 2、已知 是两个互相垂直的单位向量,且 ,则对任意的正实数 , 的最小值为_________ 3、已知 是单位向量,且 ,若 满足 ,则 的范围是_______ 4、在 中, ,如果不等式 恒成立,则实数 的取值范围是_____________ 5、设直角 的三个顶点都在单位圆 上,点 ,则 的最大值是( ) A. B. C. D. 6、已知向量 满足 与 的夹角为 , ,则 的最大值为( ) A. B. C. D. 7、(2016,上海五校联考)在平面直角坐标系 中,已知圆 ,点  2 2 2 2 2 2cx by c x b y bcxy    2 2 2 2 2x b c y bcxy      22 2 2 2x y b c cx by     2 2 2 2 2 2 1 4 cx byAM x y b c      1 2AM  1cx by  1x y c b  M BC   2 21 x y bxy cxycx by x yc b c b           2 2 1x y  0x y  1 12 AM  1 12 AM  G ABC 120 , 2A AB AC       AG ,a b  1, 1, 2c a c b c         t 1c ta bt    ,a b  0a b   c 1c a b     c ABC 1, 2 3, 6AC BC C    BA tBC AC    t ABC 2 2 1x y  1 1( , )2 2M | |MA MB MC    2 1 2 2 3 2 12  3 2 22  , ,a b c   4, 2 2,a b   a b 4  ( ) ( ) 1c a c b        c a  12 2 2 12  2 1 2  2 1 xOy 2 2: 6 5 0C x y x    ,A B - 8 - 在圆上,且 ,则 的取值范围是_________ 8、(2015,湖南)已知点 在圆 上运动,且 ,若点 的坐标为 ,则 的最大值为( ) A. B. C. D. 9、已知 为非零向量, ,若 ,当且仅当 时, 取到 最小值,则向量 的夹角为_______ 10、(2016,重庆万州二中)已知单位向量 满足 ,且 ,则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 11、(2016,贵阳一中四月考)已知点 是 的重心,若 , , 则 的最小值是( ) A. B. C. D. 2 3AB  OA OB  , ,A B C 2 2 1x y  AB BC P  2,0 PA PB PC    6 7 8 9 ,a b   m a tb t R     1, 2a b   1 4t  m ,a b  ,a b  0a b   2 5c a c b       2c a   1,3 2 2,3   6 5 ,2 25       6 5 ,35       G ABC 120A   2AB AC    AG 3 3 2 2 2 3 3 4 - 9 - 习题答案: 1、答案: 解析: 为 的重心,延长 交 于 ,则 是中线 2、答案: 解析: ,代入已知条件可得: 3、答案: 解析:设 ,因为 是单位向量,且 ,所以 为模长是 的向 量 , 由 已 知 可 得 , 所 以 数 形 结 合 可 知 : , 从 而 的 范 围 是 2 3 cos 2 4AB AC AB AC A AB AC             G ABC AG BC M AM    2 2 1 1 3 3 2 3AG AM AB AC AB AC             22 2 2 2 21 1 1 2 1 1 4=9 9 9 9 9 9 9AG AB AC AB AC AB AC AB AC                 2 2 2 8AB AC AB AC       2 8 4 4 9 9 9AG    2 3AG  2 2 2 2 2 22 2 1 1 22 2c ta b c t a b tc a c b a bt t t                      2 2 2 2 1 1 2 1 12 2 2c ta b t t t tt t t t t                        t R 1 2t t     2 21 1 12 8,c ta b t tt t t                      1 2 2c ta bt      2 1, 2 1     m c a b      ,a b  0a b   a b  2 1m   c m a b      c 2 1, 2 1    - 10 - 4、答案: 解析:由余弦定理可得: 5、答案:C 解析:由题意, ,当且仅当 共线 同向时,取等号,即 取得最大值,最大值是 , 6、答案:D 解析:设 ; 以 所 在 直 线 为 轴 , 为 坐 标 原 点 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 , ∵ 与 的夹角为 , 则 , 设 ∵ 即 表 示 以 为 圆 心 , 以 1 为 半 径 的 圆 , 表 示 点 A, C 的 距 离 即 圆 上 的 点 与 点 的 距 离 ; ∵ 圆 心 到 B 的 距 离 为 , ∴ 的 最 大 值 为 . 7、答案: 解析:设 , 中点 1 ,12      2 2 2 2 cos 7AB AC BC AC BC C AB        2 2 BA tBC AC BA tBC AC           2 2 222BA BA BC t BC t AC            2 9BA BC BC CA BC BC CA BC               2 2 27 18 12 1 12 18 6 0 2 3 1 0t t t t t t            1 12 t   2 2MA MB MC MA MO MA MO           M O A, , MA MB MC    2 3 22 1 12 2    , ,OA a OB b OC c        OA x O 4, 2 2,a b   a b 4     4,0 , 2,2A B  ,C x y ( ) ( ) 1c a c b        2 2 6 2 9 0x y x y      , 2 23 1 1x y   ( ) ( )  3,1 c a   4,0A 2)01()43( 22  c a  12   4,8    1 1 2 2, , ,A x y B x y AB  0 0,M x y - 11 - 由圆 可得: 在以 为圆心,半径 的圆上 即 8、答案:B 解析:由 可知 为直径,因为该圆为圆心在原点的单位圆,所以 关于原点对 称 , 设 , 则 , 设 , 所 以 可 得 : ,所以 ,则 ,因为 在圆上,所以 ,代入可 得 ,故 9、答案: 解析: ,设 , 因为 时, 取得最小值,所以 的对称轴 ,所以 ,所以 夹角为 10、答案:D 解析:以 为基底建立直角坐标系,可知 ,设 1 2 0 1 2 0 2 2 x xx y yy     2OA OB OM     2 2: 6 5 0C x y x     2 23 4x y    3,0 , 2C CA r   2 2 1 12CM CA AB       M C 1r  2, 4OM OC r OM OC r       2 4OM  4 8OA OB    AB BC AB ,A B  ,A m n  ,B m n   ,C x y      2, , 2, , 2,PA m n PB m n PC x y           6,PA PB PC x y       2 2 26PA PB PC x y       C 2 2 2 21 1x y y x     2 37 12 49PA PB PC x       7PA PB PC     2 3     22 2 22 22 4 2 1m a tb a ta b t b t a b t                     24 2 1f t t a b t     1 4t  2 m  f t  2 1 18 4 a b t a b             1cos , 2 a ba b a b          ,a b  2 3  ,a b     1,0 , 0,1a b    ,c x y - 12 - 即 到 的距离和为 , 在线段 上, 直线方程为 ,即线段 上动点 到定点 的距离 通过数形结合可得: 所以 的取值范围是 11、答案:C 解析: ,可知 ,设 为底边 上的中线, 由重心性质可得:    2 22 22 1 2 5c a c b x y x y              ,C x y    1,0 , 0,2A B 5 5AB  C AB AB 2 2 0x y    2 22 2c a x y     AB C  2,0D  min 6 62 555D ABc a d       max 2 3c a DA    2c a  6 5 ,35       2 cos 2AB AC cb A       4bc  AD BC    2 2 1 1 3 3 2 3AG AD AB AC AB AC                22 2 2 2 21 1 12 49 9 9AG AB AC AB AC AB AC c b               2 2 2 8b c bc    2 1 48 49 9AG    2 3AG 

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