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- 2021-06-16 发布
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- 1 -
微专题 33 向量的模长问题——代数法
一、基础知识:
利用代数方法处理向量的模长问题,主要采取模长平方——数量积和坐标两种方式
1、模长平方:通过 可得: ,将模长问题转化为数量积问题,
从而能够与条件中的已知向量(已知模长,夹角的基向量)找到联系。要注意计算完向量数
量积后别忘记开方
2、坐标运算:若 ,则 。某些题目如果能把几何图形放入坐标系中,
则只要确定所求向量的坐标,即可求出(或表示)出模长
3、有关模长的不等问题:通常考虑利用“模长平方”或“坐标化”得到模长与某个变量间的
函数关系,从而将问题转化为求函数最值问题
二、典型例题
例 1:在 中, 为 中点,若 ,则 _____
思路:题目条件有 ,进而 可
求,且 可用 表示,所以考虑模长平方转化为数量积
问题
解: 为 中点 可得:
代入可求出:
答案:
例 2:若 均为单位向量,且 ,则 的最大值为( )
A. B. C. D.
思路:题目中所给条件与模和数量积相关,几何特征较少,所以考虑将 平方,转化
22
cos0a a a a 2 2
a a
,a x y 2 2a x y
ABC O BC 1, 3, 60AB AC A OA
1, 3, 60AB AC A AB AC
OA ,AB AC
O BC 1
2AO AB AC
22 2 2 21 1 22 4AO AO AB AC AB AB AC AC
3cos 2AB AC AB AC A
2 13= 4AO 13
2AO
13
2
, ,a b c 0, 0a b a c b c a b c
2 1 1 2 2
a b c
OB C
A
- 2 -
为数量积问题,再求最值。
解: ①
①转化为
答案:B
例 3 : 平 面 上 的 向 量 满 足 , 且 , 若
,则 的最小值为___________
思路:发现所给条件均与 相关,且 可以用 表示,所以考虑 进行模
长平方,然后转化为 的运算。从而求出最小值
解:
,代入可得:
答案:
例 4 : 已 知 平 面 向 量 满 足 , 且 与 的 夹 角 为 , 则
的最小值是( )
A. B. C. D.
思路:题目所给条件围绕着 与 ,所以考虑所求向量用这两个向量进行表示:
2
0 0a c b c a b b c a c c
0, 1a b c
1 0 1b c a c b c a c
2 2 2 2 2
2 2 2a b c a b c a b c a b a c b c
1 1 1 2 3 2 1b c a c
1a b c
,MA MB 2
4MA MB 0MA MB
1 2
3 3MC MA MB MC
,MA MB MC ,MA MB MC
,MA MB
22 2 21 2 1 4 43 3 9MC MA MB MA MA MB MB
0MA MB
2
4MA MB
22 21 1 1 63 1 63 74 4 49 9 8 16 9 16 16MC MB MB MB
min
7
4MC
7
4
, 2 3 2 150
3
2t t R
3
4
3
3
3
2 3
2
- 3 -
,从而模长平方变成数量积问题,可得:
,将 视为一个
整体,则可配方求出最小值
解:
答案:A
小炼有话说:本题的关键在于选好研究对象,需要把已知的两个向量视为整体,而不是
例 5:已知平面向量 的夹角 ,且 ,若 ,
则 的取值范围是__________
思路:由 和夹角范围即可得到 的范围,从而可想到将 模长平方,
再利用 转变为关于 的问题,从而得到关于夹角 的函数,求得范
围。
3 1 1 22 2 2t t
2 2 23 1 3 1 3
2 2 2 2 4t t t
1
2t
3 1 1 22 2 2t t
223 1 1 22 2 2t t
2 21 1 1 12 2 22 2 2 2t t
21 3 1 2 cos1502 4 2t t
2 21 3 1 3
2 2 2 4t t
21 3 3 3
2 4 16 16t
3 3
2 4t
,
,OA OB 2,3 3
3OA OB 1 2
3 3OP OA OB
OP
3OA OB OA OB OP
1 2
3 3OP OA OB ,OA OB
- 4 -
解:
答案:
例 6:已知 , ,则 的最小值是( )
A. B. C. D.
思路:由条件可得 ,所以考虑将 模长平方,从而
转化为数量积问题,代入 的值可得到关于 的二次函数,进而求出最小值
解:
答案:D
例 7:已知直角梯形 中, ∥ , 为腰 上的
动点,则 的最小值为__________
思路:所求 难以找到其几何特点,所以考虑
利用代数手段,在直角梯形中依直角建系,点 的纵坐
标 与 梯 形 的 高 相 关 , 可 设 高 为 , ,
, 则 , 所
以 , , 即
22 2 21 2 1 4 4
3 3 9 9 9OP OA OB OA OA OB OB
5 4cos
2,3 3
1 1cos ,2 2
2
3,7OP 3, 7OP
3, 7
2, 6, 2a b a b a R a b
4 2 3 2 3
2
2 2 6a b a a b a a b
, ,a b a b
2
2 2a b a a b a
2
2 6a b a
2 2 2 22 22 36 12 4a b a b a a b b
2 2236 12 4 6 1 3 3a b
min
3a b
ABCD AD , 90 , 2, 1BC ADC AD BC P CD
2 3PA PB
2 3PA PB
B
h 0,P y
2,0 , 1,A B h 2, , 1,PA y PB h y
2 3 7,3 5PA PB h y 222 3 7 3 5 7PA PB h y
min
2 3 7PA PB
- 5 -
答案:
例 8 :如图,在边长为 的正三角形 中, 分别是边 上的动点,且满足
,其中 , 分别是 的中点,则
的最小值为( )
A. B. C. D.
思路:等边三角形三边已知,故可以考虑用三边的向量将
进行表示,从而模长平方后 可写成关于 的表
达式,再利用 即可消元。
解:
答案:C
例 9 :已知 与 的夹角为 , , ,且 , ,
在 时取到最小值。当 时, 的取值范围是( )
A. B. C. D.
思路:本题含两个变量 ,且已知 范围求 的范围,所以考虑建立 和 的关系式,
, 从 而 考 虑 模 长 平 方 , 向 靠 拢 , 可 得 :
7
1 ABC ,E F ,AB AC
,AE mAB AF nAC , 0,1 , 1m n m n ,M N ,EF BC
MN
2
4
3
3
3
4
5
3
MN 2MN ,m n
1m n
1 112 2MN ME EB BN FE m AB BC
1 1 1 1 11 12 2 2 2 2AE AF m AB BC mAB nAC m AB AC AB
1 1 11 12 2 2m AB n AC nAB mAC
22 2 21 1
4 4MN nAB mAC n m mn
1m n
22 2 2 21 1 1 1 3 31 1 14 4 4 2 4 16MN m m m m m m m
3
4MN
OA OB =2OA =1OB OP tOA 1OQ t OB ( )
PQ
0t 0
10 5t
0, 3
,3 2
2,2 3
20, 3
0,t 0t 0t
1PQ OQ OP t OB tOA ,OA OB
N
M
A
B C
E
F
- 6 -
,所以当 达到最小
值 时 , , 由 可 得 解 得 , 即
解:
时, 取得最小值
,所以不等式等价于:
答案:C
例 10:已知 中, ,点 是线段 (含端点)上的一点,
且 ,则 的范围是__________
思路:本题由垂直和模长条件可考虑建系,从而用坐标来使用数量积的条件。如图建系,设
,则 ,设 ,则
由 可 得 , 已 知 条 件
, 所 求 模 长 平 方 后 可 得
, 所 以 问 题 转 化 为 已 知 求
的 最 大 值 。 考 虑 ,
2 2 21 5 4cos 2 4cos 1PQ t OB tOA t t
2
PQ
0
1 2cos
5 4cost
0
10 5t 1 2cos 10 5 4cos 5
1 cos 02
2
2 3
1PQ OQ OP t OB tOA
2 2 2 22 21 1 2 1PQ t OB tOA t OB t t OA OB t OA
2 21 4 1 cos 4t t t t
25 4cos 2 4cos 1t t
0
1 2cos
5 4cost
PQ 0
10 5t
1 2cos 10 5 4cos 5
5 4cos 0
2cos 1 0 1 cos 01 21 2cos 5 4cos5
2,2 3
ABC , 2AB AC AB AC M BC
1AM AB AC AM
0, , ,0B b C c ,AD AB AC c b ,M x y
1AM AB AC 1cx by
2 22 4AB AC b c AM
2 2 2AM x y
2 2
1
4
cx by
b c
2 2x y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2x y b c x c b y x b c y
- 7 -
,寻找两个式子的联系,有 ,所以
,即 ,从而 ,而
另 一 方 面 : 由 及 ( 符 合 直 线 的 方 程 ) 可 得 :
,所以 ( 时取等号),所
以综上可得:
答案:
三、历年好题精选(模长综合)
1、点 是 的重心,若 ,则 的最小值为__________
2、已知 是两个互相垂直的单位向量,且 ,则对任意的正实数 ,
的最小值为_________
3、已知 是单位向量,且 ,若 满足 ,则 的范围是_______
4、在 中, ,如果不等式 恒成立,则实数
的取值范围是_____________
5、设直角 的三个顶点都在单位圆 上,点 ,则
的最大值是( )
A. B. C. D.
6、已知向量 满足 与 的夹角为 , ,则
的最大值为( )
A. B. C. D.
7、(2016,上海五校联考)在平面直角坐标系 中,已知圆 ,点
2 2 2 2 2 2cx by c x b y bcxy 2 2 2 2 2x b c y bcxy
22 2 2 2x y b c cx by 2
2 2 2
2 2
1
4
cx byAM x y b c
1
2AM
1cx by 1x y
c b M BC
2 21 x y bxy cxycx by x yc b c b
2 2 1x y 0x y
1 12 AM
1 12 AM
G ABC 120 , 2A AB AC AG
,a b 1, 1, 2c a c b c t
1c ta bt
,a b 0a b c 1c a b c
ABC 1, 2 3, 6AC BC C BA tBC AC t
ABC 2 2 1x y 1 1( , )2 2M | |MA MB MC
2 1 2 2 3 2 12 3 2 22
, ,a b c 4, 2 2,a b a b
4
( ) ( ) 1c a c b
c a
12 2 2 12 2 1
2
2 1
xOy 2 2: 6 5 0C x y x ,A B
- 8 -
在圆上,且 ,则 的取值范围是_________
8、(2015,湖南)已知点 在圆 上运动,且 ,若点 的坐标为
,则 的最大值为( )
A. B. C. D.
9、已知 为非零向量, ,若 ,当且仅当 时, 取到
最小值,则向量 的夹角为_______
10、(2016,重庆万州二中)已知单位向量 满足 ,且 ,则
的取值范围是( )
A. B. C. D.
11、(2016,贵阳一中四月考)已知点 是 的重心,若 , ,
则 的最小值是( )
A. B. C. D.
2 3AB OA OB
, ,A B C 2 2 1x y AB BC P
2,0 PA PB PC
6 7 8 9
,a b m a tb t R 1, 2a b 1
4t m
,a b
,a b 0a b 2 5c a c b
2c a
1,3 2 2,3
6 5 ,2 25
6 5 ,35
G ABC 120A 2AB AC
AG
3
3
2
2
2
3
3
4
- 9 -
习题答案:
1、答案:
解析:
为 的重心,延长 交 于 ,则 是中线
2、答案:
解析: ,代入已知条件可得:
3、答案:
解析:设 ,因为 是单位向量,且 ,所以 为模长是 的向
量 , 由 已 知 可 得 , 所 以 数 形 结 合 可 知 : , 从 而 的 范 围 是
2
3
cos 2 4AB AC AB AC A AB AC
G ABC AG BC M AM
2 2 1 1
3 3 2 3AG AM AB AC AB AC
22 2 2 2 21 1 1 2 1 1 4=9 9 9 9 9 9 9AG AB AC AB AC AB AC AB AC
2 2
2 8AB AC AB AC
2 8 4 4
9 9 9AG 2
3AG
2 2
2
2 2 22
2
1 1 22 2c ta b c t a b tc a c b a bt t t
2 2
2
2
1 1 2 1 12 2 2c ta b t t t tt t t t t
t R
1 2t t
2 21 1 12 8,c ta b t tt t t
1 2 2c ta bt
2 1, 2 1
m c a b ,a b 0a b a b 2
1m c m a b c
2 1, 2 1
- 10 -
4、答案:
解析:由余弦定理可得:
5、答案:C
解析:由题意, ,当且仅当 共线
同向时,取等号,即 取得最大值,最大值是 ,
6、答案:D
解析:设 ;
以 所 在 直 线 为 轴 , 为 坐 标 原 点 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ,
∵ 与 的夹角为 ,
则 , 设
∵
即 表 示 以 为 圆 心 , 以 1 为 半 径 的 圆 ,
表 示 点 A, C 的 距 离 即 圆 上 的 点 与 点 的 距 离 ;
∵ 圆 心 到 B 的 距 离 为 ,
∴ 的 最 大 值 为 .
7、答案:
解析:设 , 中点
1 ,12
2 2 2 2 cos 7AB AC BC AC BC C AB
2 2
BA tBC AC BA tBC AC
2 2 222BA BA BC t BC t AC
2
9BA BC BC CA BC BC CA BC
2 2 27 18 12 1 12 18 6 0 2 3 1 0t t t t t t
1 12 t
2 2MA MB MC MA MO MA MO M O A, ,
MA MB MC 2 3 22 1 12 2
, ,OA a OB b OC c
OA x O
4, 2 2,a b a b
4
4,0 , 2,2A B ,C x y
( ) ( ) 1c a c b
2 2 6 2 9 0x y x y ,
2 23 1 1x y ( ) ( ) 3,1
c a 4,0A
2)01()43( 22
c a 12
4,8
1 1 2 2, , ,A x y B x y AB 0 0,M x y
- 11 -
由圆 可得:
在以 为圆心,半径 的圆上
即
8、答案:B
解析:由 可知 为直径,因为该圆为圆心在原点的单位圆,所以 关于原点对
称 , 设 , 则 , 设 , 所 以 可 得 :
,所以 ,则
,因为 在圆上,所以 ,代入可
得 ,故
9、答案:
解析: ,设 ,
因为 时, 取得最小值,所以 的对称轴 ,所以
,所以 夹角为
10、答案:D
解析:以 为基底建立直角坐标系,可知 ,设
1 2
0
1 2
0
2
2
x xx
y yy
2OA OB OM
2 2: 6 5 0C x y x 2 23 4x y
3,0 , 2C CA r
2
2 1 12CM CA AB
M C 1r
2, 4OM OC r OM OC r
2 4OM
4 8OA OB
AB BC AB ,A B
,A m n ,B m n ,C x y
2, , 2, , 2,PA m n PB m n PC x y 6,PA PB PC x y
2 2 26PA PB PC x y C 2 2 2 21 1x y y x
2
37 12 49PA PB PC x 7PA PB PC
2
3
22 2 22 22 4 2 1m a tb a ta b t b t a b t 24 2 1f t t a b t
1
4t
2
m f t 2 1 18 4
a b
t a b
1cos , 2
a ba b
a b
,a b 2
3
,a b 1,0 , 0,1a b ,c x y
- 12 -
即 到 的距离和为 ,
在线段 上, 直线方程为
,即线段 上动点 到定点 的距离
通过数形结合可得:
所以 的取值范围是
11、答案:C
解析: ,可知 ,设 为底边 上的中线,
由重心性质可得:
2 22 22 1 2 5c a c b x y x y
,C x y 1,0 , 0,2A B 5 5AB
C AB AB 2 2 0x y
2 22 2c a x y AB C 2,0D
min
6 62 555D ABc a d
max
2 3c a DA
2c a 6 5 ,35
2 cos 2AB AC cb A 4bc AD BC
2 2 1 1
3 3 2 3AG AD AB AC AB AC
22 2 2 2 21 1 12 49 9 9AG AB AC AB AC AB AC c b
2 2 2 8b c bc
2 1 48 49 9AG
2
3AG