2019届二轮复习小题对点练2　三角函数与平面向量作业（全国通用） 6页

小题对点练(二) 三角函数与平面向量 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1．在△ABC 中，(b－c)2＝a2－3bc，则角 A 等于( ) A.5π 6 B.2π 3 C.π 3 D.π 6 B [(b－c)2＝a2－3bc，即 b2－2bc＋c2＝a2－3bc，所以 b2＋c2－a2＝－bc， ∴cos A＝－1 2 ，∵A∈(0，π)，∴A＝2π 3 ，故选 B.] 2．若|a|＝2，|b|＝4，且(a＋b)⊥a，则 a 与 b 的夹角为( ) A.2π 3 B.π 3 C.4π 3 D．－2π 3 A [(a＋b)⊥a⇒(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0⇒a·b＝－4， cos〈a，b〉＝ a·b |a||b| ＝ －4 2×4 ＝－1 2 ，∴〈a，b〉＝2π 3 .] 3．先将函数 y＝2sin x 的图象纵坐标不变，横坐标压缩为原来的一半，再将 得到的图象向左平移 π 12 个单位，则所得图象的对称轴可以为( ) A．x＝－ π 12 B．x＝11π 12 C．x＝－π 6 D．x＝π 6 D [将函数 y＝2sin x 的图象纵坐标不变，横坐标压缩为原来的一半得 y＝ 2sin 2x，再向左平移 π 12 个单位得 y＝2sin 2 x＋ π 12 ＝2sin 2x＋π 6 ，令 2x＋π 6 ＝kπ＋ π 2 ，即 x＝kπ 2 ＋π 6(k∈Z)，当 k＝0 时，x＝π 6 ，故选 D.] 4．已知锐角α满足 cos α－π 4 ＝cos 2α，则 sin αcos α等于( ) A.1 4 B．－1 4 C. 2 4 D．－ 2 4 A [由 cos α－π 4 ＝cos 2α，得 cos αcosπ 4 ＋sin αsinπ 4 ＝cos2α－sin2α ＝ 2 2 (sin α＋cos α)＝(sin α＋cos α)(cos α－sin α)， ∵α∈ 0，π 2 ∴sin α＋cos α＞0， 则 cos α－sin α＝ 2 2 . 两边平方得：1－2sin αcos α＝1 2 ， ∴sin αcos α＝1 4.] 5．y＝cos x 2 －π 6 (－π≤x≤π)的值域为( ) A. －1 2 ，1 2 B．[－1,1] C. －1 2 ，1 D. －1 2 ， 3 2 C [由－π≤x≤π，可知－π 2 ≤x 2 ≤π 2 ，－2π 3 ≤x 2 －π 6 ≤π 3 ，函数 y＝cos x 在区间 －2π 3 ，0 内单调递增，在区间 0，π 3 内单调递减，且 cos －2π 3 ＝－1 2 ，cosπ 3 ＝1 2 ， cos 0＝1，因此所求值域为 －1 2 ，1 ，故选 C.] 6．在△ABC 中，BC 边上的中线 AD 的长为 2，BC＝2 6，则AB → ·AC → ＝( ) A. 1 B. 2 C. －2 D. －1 C [AB → ·AC → ＝(AD → ＋DB → )(AD → ＋DC → )＝(AD → ＋DB → )(AD → －DB → )＝AD → 2－DB → 2＝4－6 ＝－2，故选 C.] 7．在△ABC 中，若 a＝ 5，b＝ 15，A＝30°，则边 c 的长度等于( ) A．2 5 B. 5 C．2 5或 5 D．以上都不对 C [∵a＝ 5，b＝ 15，A＝30°， ∴由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A 得： 5＝15＋c2－3 5c， 即 c2－3 5c＋10＝0， 解得：c＝2 5或 c＝ 5， 则 c＝2 5或 5.] 8．函数 y＝Asin(ωx＋φ) ω＞0，|φ|≤π 2 的部分图象如图 1 所示，则函数的一 个表达式为( ) 图 1 A．y＝－4sin π 8x＋π 4 B．y＝4sin π 8x－π 4 C．y＝－4sin π 8x－π 4 D．y＝4sin π 8x＋π 4 A [由函数的图象可得最大值为 4，且在一周期内先出现最小值，所以 A＝ ±4，观察图象可得函数的周期 T＝16，ω＝2π 16 ＝π 8 ，若 A＝4，则 y＝4sin π 8x＋φ ， 当 x＝6 时，π 8x＋φ＝2kπ，k∈Z，φ＝－3π 4 ＋2kπ，k∈Z，∵|φ|＜π 2 ，∴φ∈∅；当 A ＝－4，又函数的图象过(2，－4)代入可得 sin π 4 ＋φ ＝1，∴π 4 ＋φ＝2kπ＋π 2 ，k∈Z， ∵|φ|＜π 2 ，∴φ＝π 4 ，∴函数的表达式 y＝－4sin π 8x＋π 4 ，故选 A.] 9．(2018·北京西城模拟)已知向量 a＝(1,3)，b＝(m,2m－3)，平面上任意向量 c 都可以唯一地表示为 c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则实数 m 的取值范围是( ) A．(－∞，0)∪(0，＋∞) B．(－∞，3) C．(－∞，－3)∪(－3，＋∞) D．[－3,3) C [根据平面向量基本定理可知，若平面上任意向量 c 都可以唯一地表示为 c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则向量 a，b 不共线，由 a＝(1,3)，b＝(m,2m－3)得 2m－ 3≠3m，解得 m≠－3，即实数 m 的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，＋∞)，故选 C.] 10．已知向量AB → ，AC → ，AD → 满足AC → ＝AB → ＋AD → ，|AB → |＝2，|AD → |＝1，E，F 分别 是线段 BC，CD 的中点，若DE → ·BF → ＝－5 4 ，则向量AB → 与AD → 的夹角为( ) A.π 6 B.π 3 C.2π 3 D.5π 6 B [DE → ＝AB → －AD → 2 ，BF → ＝AD → －AB → 2 ， ∴DE → ·BF → ＝－AB → 2 2 －AD2 → 2 ＋5AD → ·AB → 4 ＝－5 2 ＋5 4AB → ·AD → ＝－5 4. ∴AB → ·AD → ＝1，cos〈AB → ，AD → 〉＝1 2 ，∴AB → 与AD → 的夹角为π 3.选 B.] 11．(2018·运城模拟)设向量 a，b 满足|a|＝1，|a＋b|＝ 3，a·(a＋b)＝0，则|2a －b|＝( ) A．2 B．2 3 C．4 D．4 3 B [∵|a|＝1，|a＋b|＝ 3，∴|a＋b|2＝( 3)2⇒a2＋2b·a＋b2＝3，∴2b·a＋b2 ＝2，又∵a·(a＋b)＝0，∴a2＋a·b＝0，a·b＝－a2＝－1，故由 2b·a＋b2＝2 可得 b2＝4，|b|＝2，则|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝4＋4＋4＝12，∴|2a－b|＝2 3，选 B.] 12．定义区间[a，b]的长度为 b－a.若区间 π 4 ，π 2 是函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω ＞0，|φ|＜π)的一个长度最大的单调减区间，则( ) A．ω＝8，φ＝π 2 B．ω＝8，φ＝－π 2 C．ω＝4，φ＝π 2 D．ω＝4，φ＝－π 2 D [若区间 π 4 ，π 2 是函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)的一个长度最大的单调减区间，则 函数 f(x)的最小正周期为 2 π 2 －π 4 ＝π 2 ，∴ω＝4，且函数 f(x)在 x＝π 4 时取得最大值， 所以 f π 4 ＝sin(π＋φ)＝1，∴π＋φ＝2kπ＋π 2(k∈Z)，∴φ＝2kπ－π 2(k∈Z)，又|φ|＜π， ∴φ＝－π 2 ，故选 D.] 二、填空题 13．(2018·济宁模拟)已知 cos α＋π 4 ＝3 2 5 ，则 sin 2α＝________. －11 25 [cos α＋π 4 ＝ 2 2 (cos α－sin α)＝3 2 5 ， ∴cos α－sin α＝6 5 ， 平方得 1－sin 2α＝36 25 ，∴sin 2α＝－11 25.] 14．已知向量 a＝(1,2)，b＝(－2，m)，a＋b 与 a－b 垂直，则 m＝________. ±1 [向量 a＝(1,2)，b＝(－2，m)，a＋b 与 a－b 垂直，故(a＋b)(a－b)＝a2 －b2＝0，∴a2＝b2，即 5＝ 4＋m2⇒m＝±1.] 15．已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 csin B＝ 3bcos C，A＝45°，则 B＝________. 75° [由题意结合正弦定理有： sin Csin B＝ 3sin Bcos C， ∵sin B≠0，∴tan C＝ 3，C＝60°， 三角形内角和为 180°，则 B＝180°－45°－60°＝75°.] 16．若 f(x)＝cos x－sin x 在[－a，a]是减函数，则 a 的最大值是________． π 4 [f(x)＝cos x－sin x＝－ 2sin x· 2 2 －cos x· 2 2 ＝－ 2sin x－π 4 ，当 x∈ －π 4 ，3 4π ，即 x－π 4 ∈ －π 2 ，π 2 时，y＝sinx－π 4 单调递增， y＝－ 2sin x－π 4 单调递减． ∵函数 f(x)在[－a，a]是减函数， ∴[－a，a]⊆ －π 4 ，3 4π ， ∴0＜a≤π 4 ，∴a 的最大值为π 4.]