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- 2021-06-16 发布
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第7讲 二次函数与幂函数
1.二次函数的图像和性质
解析式
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
图像
定义域
R
R
值域
单调性
在 上单调递减,
在-b2a,+∞上
单调递增
在 上单调递增,
在-b2a,+∞上
单调递减
顶点坐标
奇偶性
当 时为偶函数
对称轴
方程
x=-b2a
2.幂函数
(1)定义:形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.
(2)常见的五种幂函数的图像和性质比较
函数
y=x
y=x2
y=x3
y=x12
y=x-1
图像
性
质
定义
域
R
R
R
值域
R
R
奇偶
性
函数
函数
函数
函数
函数
单
调
性
在R上单
调递增
在 上
单调递减;
在 上
单调递增
在R上
单调递增
在
上单调
递增
在 和
上
单调递减
公共
点
常用结论
1.二次函数解析式的三种形式:
(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);
(2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0);
(3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
2.一元二次不等式恒成立的条件:
(1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是“a>0且Δ<0”;
(2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件是“a<0且Δ<0”.
题组一 常识题
1.[教材改编] 若函数f(x)=4x2-kx-8在[5,20]上是单调函数,则实数k的取值范围是 .
2.[教材改编] 已知幂函数y=f(x)的图像过点(2,2),则函数f(x)= .
3.[教材改编] 函数f(x)=x2-2x+3在闭区间[0,3]上的最大值为 ,最小值为 .
4.[教材改编] 若函数y=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的图像关于直线x=1对称,则b= .
题组二 常错题
◆索引:图像特征把握不准出错;不会利用二次函数图像解决问题;二次函数的单调性理解不到位;忽略幂函数的定义域;幂函数的图像掌握不到位出错.
5.如图2-7-1,若a<0,b>0,则函数y=ax2+bx的大致图像是 (填序号).
① ②
③ ④
图2-7-1
6.设二次函数f(x)=x2-x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m-1) 0.(填“>”“<”或“=”)
7.若函数y=mx2+x+2在[3,+∞)上是减函数,则m的取值范围是 .
8.已知幂函数f(x)=x-12,若f(a+1)n>p B.m>p>n
C.n>p>m D.p>n>m
(2)[2018·乌鲁木齐二模] 已知点(m,8)在幂函数f(x)=(m-1)xn的图像上,设a=f33,b=f(ln π),c=f22,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.a4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a0(a≠0)恒成立,即转化为a>0,b2-4ac<0;(2)对于轴定区间不定的一元二次不等式恒成立问题,可结合对称轴的情况,对不定区间进行讨论,最后得参数的范围.
应用演练
1.【微点3】已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为 ( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
2.【微点2】函数f(x)=x2-bx+c满足f(x+1)=f(1-x),且f(0)=3,则f(bx)与f(cx)的大小关系是 ( )
A.f(bx)≤f(cx)
B.f(bx)≥f(cx)
C.f(bx)>f(cx)
D.不确定
3.【微点2】已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,5]上为减函数,则实数a的取值范围为 .
4.【微点4】若一元二次不等式2kx2+kx-38<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为 .
5.【微点4】已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在[-1,1]上恒小于零,则实数a的取值范围为 .
第7讲 二次函数与幂函数
考试说明 1.二次函数
(1)掌握二次函数的图像与性质(单调性、对称性、顶点、最值).
(2)了解二次函数的广泛应用.
2.幂函数
(1)了解幂函数的概念.
(2)结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=1x,y=x12的图像,了解它们的变化情况.
【课前双基巩固】
知识聚焦
1.4ac-b24a,+∞ -∞,4ac-b24a -∞,-b2a -∞,-b2a -b2a,4ac-b24a b=0
2.{x|x≥0} {x|x≠0} {y|y≥0} {y|y≥0} {y|y≠0} 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 (-∞,0] (0,+∞) [0,+∞) (-∞,0) (0,+∞) (1,1)
对点演练
1.(-∞,40]∪[160,+∞) [解析] 二次函数图像的对称轴方程是x=k8,故只需k8≤5或k8≥20,即k≤40或k≥160,故所求实数k的取值范围是(-∞,40]∪[160,+∞).
2.x12 [解析] 设f(x)=xα,则2=2α,所以α=12,故函数f(x)=x12.
3.6 2 [解析] f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,x∈[0,3],当x=1时,函数f(x)取得最小值2;当x=3时,函数f(x)取得最大值6.
4.6 [解析] 函数y=x2+(a+2)x+3的图像在[a,b]上关于直线x=1对称,说明函数图像的对称轴为直线x=1,即-a+22=1且a+b2=1,∴a=-4,b=6.
5.③ [解析] 函数图像的开口向下,对称轴方程为x=-b2a>0,且过原点,故大致图像是③.
6.> [解析] f(x)=x2-x+a图像的对称轴为直线x=12,且f(1)>0,f(0)>0,而f(m)<0,∴m∈(0,1),∴m-1<0,∴f(m-1)>0.
7.m≤-16 [解析] 当m=0时,函数在给定区间上是增函数,不合题意;当m≠0时,函数是二次函数,其图像的对称轴为直线x=-12m,依题意知m<0,-12m≤3,解得m≤-16.
8.(3,5) [解析] ∵幂函数f(x)=x12在定义域(0,+∞)内单调递减,∴由f(a+1)0,10-2a>0,a+1>10-2a,解得30时,根据题意知m<1,所以0p>m,故选C.
(2)函数f(x)=(m-1)xn为幂函数,所以m=2.由题意,点(2,8)在幂函数的图像上,即8=2n,所以n=3,即f(x)=x3,则f(x)在(0,+∞)上是增函数,
又33<22<10,即b2>4ac,①正确.
对称轴为直线x=-1,即-b2a=-1,即2a-b=0,②错误.
结合图像知,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,③错误.
由对称轴为直线x=-1知,b=2a,又函数图像开口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a0,且其图像的对称轴为直线x=1.
因为2,-32,3与对称轴之间的距离分别为|2-1|,-32-1,|3-1|,且|2-1|<|3-1|<-32-1,
所以f(2)f(2x).∴f(3x)≥f(2x),即f(bx)≤f(cx).故选A.
3.a≤-4 [解析] 易知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2的图像开口向上,且以直线x=1-a为对称轴,若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,5]上是减函数,则5≤1-a,即a≤-4.
4.(-3,0) [解析] 由题意知k<0,且Δ=k2+3k<0,所以-31时,函数图像如图③所示,函数f(x)在区间[t,t+1]上为增函数,所以最小值为f(t)=t2-2t+2.
综上可知,f(x)min=t2+1,t<0,1,0≤t≤1,t2-2t+2,t>1.
例4 [配合例6使用] 函数f(x)=a2x+3ax-2(a>1),若在区间[-1,1]上f(x)≤8恒成立,则a的最大值为 .
[答案] 2
[解析] 令ax=t,因为a>1,x∈[-1,1],所以1a≤t≤a,原函数可化为g(t)=t2+3t-2,显然g(t)在1a,a上单调递增,所以f(x)≤8恒成立,即g(t)max=g(a)≤8恒成立,所以有a2+3a-2≤8,解得-5≤a≤2,又a>1,所以a的最大值为2.