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- 2021-06-16 发布
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§1.1 集合及其运算
考纲展示►
1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系.
2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.
3.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.
4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.
5.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及运算.
考点1 集合的基本概念
元素与集合
(1)集合元素的特性:________、________、无序性.
(2)集合与元素的关系:若a属于集合A,记作________;若b不属于集合A,记作________.
(3)集合的表示方法:________、________、图示法.
(4)常见数集及其符号表示:
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
________
N*或N+
Z
Q
R
答案:(1)确定性 互异性 (2)a∈A b∉A (3)列举法 描述法 (4)N
集合表示的两个误区:集合的代表元素;图示法.
(1)已知集合A={y|y=sin x},B={x|y=sin x},则A∩B=________.
答案:[-1,1]
解析:集合A表示的是函数y=sin x的值域,即A=[-1,1];集合B表示的是函数y=sin x的定义域,即B=R,所以A∩B=[-1,1].
(2)设全集U=R,A={x|0<x<2},B={x|x<1},则图中阴影部分表示的集合为________.
答案:{x|1≤x<2}
解析:图中阴影部分可用(∁UB)∩A表示,故(∁UB)∩A={x|1≤x<2}.
解决集合问题的两个方法:列举法;图示法.
(1)若集合A={1,2,3},B={1,3,4},则A∩B的子集的个数为________.
答案:4
解析:A∩B={1,3},其子集分别为∅,{1},{3},{1,3},共4个.
(2)[2015·北京卷改编]若集合A={x|-5<x<2},B={x|-3<x<3},则A∩B=________.
答案:{x|-3<x<2}
解析:在数轴上画出表示集合A,B的两个区间,观察可知A∩B={x|-3<x<2}.
[典题1] (1)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( )
A.1 B.3
C.5 D.9
[答案] C
[解析] ∵A={0,1,2},∴B={x-y|x∈A,y∈A}={0,-1,-2,1,2}.故集合B中有5个元素.
(2)若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a=( )
A. B.
C.0 D.0或
[答案] D
[解析] 当a=0时,显然成立;当a≠0时,Δ=(-3)2-8a=0,即a=.
(3)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}=,则b-a=( )
A.1 B.-1
C.2 D.-2
[答案] C
[解析] 因为{1,a+b,a}=,a≠0,
所以a+b=0,则=-1,
所以a=-1,b=1,所以b-a=2.
(4)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为________.
[答案] -
[解析] 由题意得m+2=3或2m2+m=3,则m=1或m=-.当m=1时,m+2=3且2m2+m=3,根据集合中元素的互异性可知不满足题意;当m=-时,m+2=,而2m2+m=3,故m=-.
[点石成金] 与集合中的元素有关问题的求解策略
(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型集合.
(2)集合中元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大,特别是含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
考点2 集合间的基本关系
集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
记法
集合
间的
基本
子集
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素
__________或__________
关系
真子集
集合A是集合B的子集,并且B
__________或__________
中至少有一个元素不属于A
相等
集合A的每一个元素都是集合B的元素,集合B的每一个元素也都是集合A的元素
A⊆B且B⊆A⇔A=B
空集
空集是________集合的子集
∅⊆A
空集是________集合的真子集
∅B且B≠∅
答案:A⊆B B⊇A AB BA 任何
任何非空
集合中的两个易混结论:集合中元素的个数;集合的子集的个数.
(1)[2015·江苏卷]已知集合A={1,2,3},B={2,4,5},则集合A∪B中元素的个数为________.
答案:5
解析:因为A∪B={1,2,3,4,5},所以A∪B中元素的个数为5.
(2)集合A={1,4,7,10,13,16,19,21},则集合A有________个子集、________个真子集、________个非空子集、________个非空真子集.
答案:28 28-1 28-1 28-2
解析:因为集合A中有8个元素,所以集合A有28个子集,28-1个真子集,28-1个非空子集,28-2个非空真子集.
[典题2] (1)设P={y|y=-x2+1,x∈R},Q={y|y=2x,x∈R},则( )
A.P⊆Q B.Q⊆P
C.∁RP⊆Q D.Q⊆∁RP
[答案] C
[解析] 因为P={y|y=-x2+1,x∈R}={y|y≤1},Q={y|y=2x,x∈R}={y|y>0},所以∁RP={y|y>1},所以∁RP⊆Q,故选C.
(2)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
[答案] D
[解析] 由x2-3x+2=0得x=1或x=2,
∴A={1,2}.
由题意知B={1,2,3,4},
∴满足条件的C可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}.
(3)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围为________.
[答案] (-∞,3]
[解析] ∵B⊆A,
∴①若B=∅,则2m-1a},若M⊆N,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-1] B.(-∞,-1)
C.[3,+∞) D.(3,+∞)
答案:A
解析:M={x|(x-3)(x+1)<0}=(-1,3),又M⊆N,因此有a≤-1,即实数a的取值范围是(-∞,-1].
考点3 集合的基本运算
集合的基本运算
(1)三种基本运算的概念及表示:
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
________
________
若全集为U,则集合A的补集为________
图形表示
意义
{x|________}
{x|________}
∁U A=________________
(2)三种运算的常见性质:
①A∪B=A⇔B⊆A,A∩B=A⇔A⊆B.
②A∩A=________,A∩∅=________.
③A∪A=________,A∪∅=________.
④A∩(∁UA)=________,A∪(∁UA)=________,
∁U(∁UA)=________.
⑤A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)=∅.
答案:(1)A∪B A∩B ∁UA x∈A,或x∈B
x∈A,且x∈B {x|x∈U,且x∉A}
(2)②A ∅ ③A A ④∅ U A
(1)[教材习题改编]满足{0,1}⊆A{0,1,2,3}的集合A的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案:C
解析:A中包含元素0,1,还有集合{2,3}真子集中的元素,{2,3}的真子集有22-1=3(个).
(2)[教材习题改编]已知集合A={1,2},B={x|ax-1=0},且A∪B=A,则a的值可为________.
答案:1或或0
解析:A∪B=A⇒BA,若B=∅,则a=0;若1∈B⇒a=1;若2∈B⇒a=.
集合中两组常用结论:集合间的基本关系;集合的运算.
(1)A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)=∅.
(2)(∁UA)∩(∁UB)=________,(∁UA)∪(∁UB)=________.
答案:∁U(A∪B) ∁U(A∩B)
解析: 设x∈∁U(A∪B),则x∉A∪B,得x∉A且x∉B,即x∈∁UA且x∈∁UB,即x∈(∁UA)∩(∁UB),即∁U(A∪B)⊆(∁UA)∩(∁UB);反之,当x∈(∁UA)∩(∁UB)时,得x∈∁UA且x∈∁UB,得x∉A且x∉B,则x∉A∪B,所以x∈∁U(A∪B),即∁U(A∪B)⊇(∁UA)∩(∁UB).根据集合相等的定义,得∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).同理可证另一结论.
[考情聚焦] 有关集合运算的考题,在高考中多以选择题或填空题的形式呈现,试题难度不大,多为低档题,集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系,考查对集合的理解及不等式的有关知识;有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题,考查学生灵活处理问题的能力.
主要有以下几个命题角度:
角度一
离散型数集间的交、并、补运算
[典题3] [2017·湖南株洲模拟]设全集U={0,1,2,3,4,5},集合A={2,4},B={y|y=log (x-1),x∈A},则集合(∁UA)∩(∁UB)=( )
A.{0,4,5,2} B.{0,4,5}
C.{2,4,5} D.{1,3,5}
[答案] D
[解析] 由题意知B={0,2},∴∁UA={0,1,3,5},∁UB={1,3,4,5},∴(∁UA)∩(∁UB)={1,3,5}.
角度二
连续型数集间的交、并、补运算
[典题4] (1)设全集U=R,A={x|x(x+3)<0},B={x|x<-1},则图中阴影部分表示的集合为( )
A.{x|-30},则A∩B=( )
A. B.
C. D.
答案:D
解析:由题意得,A={x|10},则S∩T=( )
A.[2,3]
B.(-∞,2]∪[3,+∞)
C.[3,+∞)
D.(0,2]∪[3,+∞)
答案:D
解析:集合S=(-∞,2]∪[3,+∞),结合数轴,可得S∩T=(0,2]∪[3,+∞).
4.[2015·新课标全国卷Ⅱ]已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B=( )
A.{-1,0} B.{0,1}
C.{-1,0,1} D.{0,1,2}
答案:A
解析:由题意知B={x|-20},B={x|2