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  • 2021-06-16 发布

【数学】2018届一轮复习人教A版1-1集合及其运算学案

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‎§1.1 集合及其运算 考纲展示► ‎ ‎1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系.‎ ‎2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.‎ ‎3.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.‎ ‎4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.‎ ‎5.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及运算.‎ 考点1 集合的基本概念 元素与集合 ‎(1)集合元素的特性:________、________、无序性.‎ ‎(2)集合与元素的关系:若a属于集合A,记作________;若b不属于集合A,记作________.‎ ‎(3)集合的表示方法:________、________、图示法.‎ ‎(4)常见数集及其符号表示:‎ 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 ‎________‎ N*或N+‎ Z Q R 答案:(1)确定性 互异性 (2)a∈A b∉A (3)列举法 描述法 (4)N 集合表示的两个误区:集合的代表元素;图示法.‎ ‎(1)已知集合A={y|y=sin x},B={x|y=sin x},则A∩B=________.‎ 答案:[-1,1]‎ 解析:集合A表示的是函数y=sin x的值域,即A=[-1,1];集合B表示的是函数y=sin x的定义域,即B=R,所以A∩B=[-1,1].‎ ‎(2)设全集U=R,A={x|0<x<2},B={x|x<1},则图中阴影部分表示的集合为________.‎ 答案:{x|1≤x<2}‎ 解析:图中阴影部分可用(∁UB)∩A表示,故(∁UB)∩A={x|1≤x<2}.‎ 解决集合问题的两个方法:列举法;图示法.‎ ‎(1)若集合A={1,2,3},B={1,3,4},则A∩B的子集的个数为________.‎ 答案:4‎ 解析:A∩B={1,3},其子集分别为∅,{1},{3},{1,3},共4个.‎ ‎(2)[2015·北京卷改编]若集合A={x|-5<x<2},B={x|-3<x<3},则A∩B=________.‎ 答案:{x|-3<x<2}‎ 解析:在数轴上画出表示集合A,B的两个区间,观察可知A∩B={x|-3<x<2}.‎ ‎[典题1] (1)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是(  )‎ A.1 B.3‎ C.5 D.9‎ ‎[答案] C ‎[解析] ∵A={0,1,2},∴B={x-y|x∈A,y∈A}={0,-1,-2,1,2}.故集合B中有5个元素.‎ ‎(2)若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a=(  )‎ A. B. C.0 D.0或 ‎[答案] D ‎[解析] 当a=0时,显然成立;当a≠0时,Δ=(-3)2-‎8a=0,即a=. ‎ ‎(3)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}=,则b-a=(  )‎ A.1 B.-1‎ C.2 D.-2‎ ‎[答案] C ‎[解析] 因为{1,a+b,a}=,a≠0,‎ 所以a+b=0,则=-1,‎ 所以a=-1,b=1,所以b-a=2.‎ ‎(4)已知集合A={m+2,‎2m2‎+m},若3∈A,则m的值为________.‎ ‎[答案] - ‎[解析] 由题意得m+2=3或‎2m2‎+m=3,则m=1或m=-.当m=1时,m+2=3且‎2m2‎+m=3,根据集合中元素的互异性可知不满足题意;当m=-时,m+2=,而‎2m2‎+m=3,故m=-.‎ ‎[点石成金] 与集合中的元素有关问题的求解策略 ‎(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型集合.‎ ‎(2)集合中元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大,特别是含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.‎ 考点2 集合间的基本关系 集合间的基本关系 表示 关系    ‎ 文字语言 记法 集合 间的 基本 子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 ‎__________或__________‎ 关系 真子集 集合A是集合B的子集,并且B ‎__________或__________‎ 中至少有一个元素不属于A 相等 集合A的每一个元素都是集合B的元素,集合B的每一个元素也都是集合A的元素 A⊆B且B⊆A⇔A=B 空集 空集是________集合的子集 ‎∅⊆A 空集是________集合的真子集 ‎∅B且B≠∅‎ 答案:A⊆B B⊇A AB BA 任何 ‎ 任何非空 集合中的两个易混结论:集合中元素的个数;集合的子集的个数.‎ ‎(1)[2015·江苏卷]已知集合A={1,2,3},B={2,4,5},则集合A∪B中元素的个数为________.‎ 答案:5‎ 解析:因为A∪B={1,2,3,4,5},所以A∪B中元素的个数为5.‎ ‎(2)集合A={1,4,7,10,13,16,19,21},则集合A有________个子集、________个真子集、________个非空子集、________个非空真子集.‎ 答案:28 28-1 28-1 28-2‎ 解析:因为集合A中有8个元素,所以集合A有28个子集,28-1个真子集,28-1个非空子集,28-2个非空真子集.‎ ‎[典题2] (1)设P={y|y=-x2+1,x∈R},Q={y|y=2x,x∈R},则(  )‎ A.P⊆Q B.Q⊆P C.∁RP⊆Q D.Q⊆∁RP ‎[答案] C ‎[解析] 因为P={y|y=-x2+1,x∈R}={y|y≤1},Q={y|y=2x,x∈R}={y|y>0},所以∁RP={y|y>1},所以∁RP⊆Q,故选C.‎ ‎(2)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(  )‎ A.1 B.2 ‎ C.3 D.4‎ ‎[答案] D ‎[解析] 由x2-3x+2=0得x=1或x=2,‎ ‎∴A={1,2}.‎ 由题意知B={1,2,3,4},‎ ‎∴满足条件的C可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}.‎ ‎(3)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤‎2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围为________.‎ ‎[答案] (-∞,3]‎ ‎[解析] ∵B⊆A,‎ ‎∴①若B=∅,则‎2m-1a},若M⊆N,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(-∞,-1] B.(-∞,-1)‎ C.[3,+∞) D.(3,+∞)‎ 答案:A 解析:M={x|(x-3)(x+1)<0}=(-1,3),又M⊆N,因此有a≤-1,即实数a的取值范围是(-∞,-1].‎ 考点3 集合的基本运算 集合的基本运算 ‎(1)三种基本运算的概念及表示:‎ 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 ‎________‎ ‎________‎ 若全集为U,则集合A的补集为________‎ 图形表示 意义 ‎{x|________}‎ ‎{x|________}‎ ‎∁U A=________________‎ ‎(2)三种运算的常见性质:‎ ‎①A∪B=A⇔B⊆A,A∩B=A⇔A⊆B.‎ ‎②A∩A=________,A∩∅=________.‎ ‎③A∪A=________,A∪∅=________.‎ ‎④A∩(∁UA)=________,A∪(∁UA)=________,‎ ‎∁U(∁UA)=________.‎ ‎⑤A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)=∅.‎ 答案:(1)A∪B A∩B ∁UA x∈A,或x∈B x∈A,且x∈B {x|x∈U,且x∉A} ‎ ‎(2)②A ∅ ③A A ④∅ U A ‎(1)[教材习题改编]满足{0,1}⊆A{0,1,2,3}的集合A的个数为(  )‎ A.1 B.2 ‎ C.3 D.4‎ 答案:C 解析:A中包含元素0,1,还有集合{2,3}真子集中的元素,{2,3}的真子集有22-1=3(个).‎ ‎(2)[教材习题改编]已知集合A={1,2},B={x|ax-1=0},且A∪B=A,则a的值可为________.‎ 答案:1或或0‎ 解析:A∪B=A⇒BA,若B=∅,则a=0;若1∈B⇒a=1;若2∈B⇒a=.‎ 集合中两组常用结论:集合间的基本关系;集合的运算.‎ ‎(1)A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)=∅.‎ ‎(2)(∁UA)∩(∁UB)=________,(∁UA)∪(∁UB)=________.‎ 答案:∁U(A∪B) ∁U(A∩B)‎ 解析: 设x∈∁U(A∪B),则x∉A∪B,得x∉A且x∉B,即x∈∁UA且x∈∁UB,即x∈(∁UA)∩(∁UB),即∁U(A∪B)⊆(∁UA)∩(∁UB);反之,当x∈(∁UA)∩(∁UB)时,得x∈∁UA且x∈∁UB,得x∉A且x∉B,则x∉A∪B,所以x∈∁U(A∪B),即∁U(A∪B)⊇(∁UA)∩(∁UB).根据集合相等的定义,得∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).同理可证另一结论.‎ ‎[考情聚焦] 有关集合运算的考题,在高考中多以选择题或填空题的形式呈现,试题难度不大,多为低档题,集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系,考查对集合的理解及不等式的有关知识;有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题,考查学生灵活处理问题的能力.‎ 主要有以下几个命题角度:‎ 角度一 离散型数集间的交、并、补运算 ‎[典题3] [2017·湖南株洲模拟]设全集U={0,1,2,3,4,5},集合A={2,4},B={y|y=log (x-1),x∈A},则集合(∁UA)∩(∁UB)=(  )‎ A.{0,4,5,2} B.{0,4,5}‎ C.{2,4,5} D.{1,3,5}‎ ‎[答案] D ‎[解析] 由题意知B={0,2},∴∁UA={0,1,3,5},∁UB={1,3,4,5},∴(∁UA)∩(∁UB)={1,3,5}.‎ 角度二 连续型数集间的交、并、补运算 ‎[典题4] (1)设全集U=R,A={x|x(x+3)<0},B={x|x<-1},则图中阴影部分表示的集合为(  )‎ A.{x|-30},则A∩B=(  )‎ A. B. C. D. 答案:D 解析:由题意得,A={x|10},则S∩T=(  )‎ A.[2,3] ‎ B.(-∞,2]∪[3,+∞)‎ C.[3,+∞) ‎ D.(0,2]∪[3,+∞)‎ 答案:D 解析:集合S=(-∞,2]∪[3,+∞),结合数轴,可得S∩T=(0,2]∪[3,+∞).‎ ‎4.[2015·新课标全国卷Ⅱ]已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B=(  )‎ A.{-1,0} B.{0,1} ‎ C.{-1,0,1} D.{0,1,2}‎ 答案:A 解析:由题意知B={x|-20},B={x|2