2019届二轮复习（文）第九章平面解析几何第5节第1课时课件（30张）（全国通用） 30页

第 5 节　椭　圆 最新考纲　 1. 了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2. 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质 . 1. 椭圆的定义 在平面内与两定点 F 1 ， F 2 的距离的和等于常数 ( 大于 | F 1 F 2 |) 的点的轨迹 叫做 . 这两定点叫做椭圆 的 ， 两焦点间的距离叫做椭圆 的 . 其数学表达式：集合 P ＝ { M || MF 1 | ＋ | MF 2 | ＝ 2 a } ， | F 1 F 2 | ＝ 2 c ，其中 a ＞ 0 ， c ＞ 0 ，且 a ， c 为常数： (1) 若 ， 则集合 P 为椭圆； (2) 若 ， 则集合 P 为线段； (3) 若 ， 则集合 P 为空集 . 知 识 梳 理 椭圆 焦点 焦距 a ＞ c a = c a < c 2. 椭圆的标准方程和几何性质 性质 范围 － a ≤ x ≤ a － b ≤ y ≤ b － b ≤ x ≤ b － a ≤ y ≤ a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A 1 ( － a ， 0) ， A 2 ( a ， 0) ， B 1 (0 ，－ b ) ， B 2 (0 ， b ) A 1 (0 ，－ a ) ， A 2 (0 ， a ) ， B 1 ( － b ， 0) ， B 2 ( b ， 0) 轴 长轴 A 1 A 2 的长 为 ； 短轴 B 1 B 2 的长 为 _______ 焦距 | F 1 F 2 | ＝ _______ 离心率 e ＝ ∈ _________ a ， b ， c 的关系 c 2 ＝ ___________ 2 a 2 b 2 c (0 ， 1) a 2 － b 2 1. 思考辨析 ( 在括号内打 “√” 或 “×”) 诊 断 自 测 解析 　 (1) 由椭圆的定义知，当该常数大于 | F 1 F 2 | 时，其轨迹才是椭圆，而常数等于 | F 1 F 2 | 时，其轨迹为线段 F 1 F 2 ，常数小于 | F 1 F 2 | 时，不存在这样的图形 . 答案　 (1)× 　 (2)× 　 (3)√ 　 (4)√ 答案 　 B 解析 　根据椭圆方程可得焦点在 y 轴上，且 c 2 ＝ a 2 － b 2 ＝ 25 － 16 ＝ 9 ， ∴ c ＝ 3 ，故焦点坐标为 (0 ， ±3) ，故选 B. 答案 　 B 答案 　 D 第 1 课时　椭圆及其标准方程 考点一　椭圆的定义及其应用 【例 1 】 (1) ( 选修 1 － 1P42A7 改编 ) 如图，圆 O 的半径为定长 r ， A 是圆 O 内一个定点， P 是圆上任意一点，线段 AP 的垂直平分线 l 和半径 OP 相交于点 Q ，当点 P 在圆上运动时，点 Q 的轨迹是 ( 　　 ) A. 椭圆 B . 双曲线 C. 抛物线 D. 圆 解析 　 (1) 连接 QA . 由已知得 | QA | ＝ | QP |. 所以 | QO | ＋ | QA | ＝ | QO | ＋ | QP | ＝ | OP | ＝ r . 又因为点 A 在圆内，所以 | OA | ＜ | OP | ，根据椭圆的定义，点 Q 的轨迹是以 O ， A 为焦点， r 为长轴长的椭圆 . (2) 由椭圆定义知点 P 到另一个焦点的距离是 10 － 2 ＝ 8. 答案 　 (1)A 　 (2)D 规律方法 　 1. 椭圆定义的应用主要有：判定平面内动点的轨迹是否为椭圆、求椭圆的标准方程和离心率等 . 2. 椭圆的定义式必须满足 2 a ＞ | F 1 F 2 |. ∴ 当 a ＝ 3 时， | PF 1 | ＋ | PF 2 | ＝ 6 ＝ | F 1 F 2 | ，点 P 的轨迹是线段 F 1 F 2 ； 当 a >0 ，且 a ≠3 时， | PF 1 | ＋ | PF 2 |>6 ＝ | F 1 F 2 | ，点 P 的轨迹是椭圆 . (2) 设动圆的半径为 r ，圆心为 P ( x ， y ) ，则有 | PC 1 | ＝ r ＋ 1 ， | PC 2 | ＝ 9 － r . 所以 | PC 1 | ＋ | PC 2 | ＝ 10 ＞ | C 1 C 2 | ， 即 P 在以 C 1 ( － 3 ， 0) ， C 2 (3 ， 0) 为焦点，长轴长为 10 的椭圆上， 考点二　椭圆的标准方程 解析 　 (1) 设椭圆方程为 mx 2 ＋ ny 2 ＝ 1( m ， n >0 ， m ≠ n ). 规律方法 　 1. 求椭圆方程的基本方法是待定系数法，先定位，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于 a ， b 的方程组 . 2. 如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为 mx 2 ＋ ny 2 ＝ 1( m ＞ 0 ， n ＞ 0 ， m ≠ n ) ，求出 m ， n 的值即可 . 【训练 2 】 (1) 已知 F 1 ( － 1 ， 0) ， F 2 (1 ， 0) 是椭圆 C 的两个焦点，过 F 2 且垂直于 x 轴的直线交 C 于 A ， B 两点，且 | AB | ＝ 3 ，则 C 的方程为 ________. ( 2)( 一题多解 ) 若椭圆经过两点 (2 ， 0) 和 (0 ， 1) ，则椭圆的标准方程为 ____________. 过点 F 2 (1 ， 0) 且垂直于 x 轴的直线被曲线 C 截得弦长 | AB | ＝ 3 ， 又由 c ＝ 1 ，得 1 ＋ b 2 ＝ a 2 . ② 由 ①② 联立，得 b 2 ＝ 3 ， a 2 ＝ 4. ∵ 椭圆经过两点 (2 ， 0) ， (0 ， 1) ， ∵ 椭圆经过两点 (2 ， 0) ， (0 ， 1) ， 法二　 设椭圆方程为 mx 2 ＋ ny 2 ＝ 1 ( m >0 ， n >0 ， m ≠ n ). ∵ 椭圆过 (2 ， 0) 和 (0 ， 1) 两点， 考点三　焦点三角形问题 (2) 由题意得 | PF 1 | ＋ | PF 2 | ＝ 2 a ，又 ∠ F 1 PF 2 ＝ 60° ， 所以 | PF 1 | 2 ＋ | PF 2 | 2 － 2| PF 1 || PF 2 |cos 60° ＝ | F 1 F 2 | 2 ， 所以 (| PF 1 | ＋ | PF 2 |) 2 － 3| PF 1 || PF 2 | ＝ 4 c 2 ， 所以 3| PF 1 || PF 2 | ＝ 4 a 2 － 4 c 2 ＝ 4 b 2 ， 答案 　 (1)A 　 (2)3 规律方法 　 1. 椭圆上一点 P 与两焦点 F 1 ， F 2 构成的三角形称为焦点三角形，解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理等知识 . 2. 椭圆中焦点三角形的周长等于 2 a ＋ 2 c . | F 1 F 2 | ＝ 2 c ＝ 10 ，由于 PF 1 ⊥ PF 2 ， 所以由勾股定理得 | PF 1 | 2 ＋ | PF 2 | 2 ＝ | F 1 F 2 | 2 ， 即 | PF 1 | 2 ＋ | PF 2 | 2 ＝ 100. 又由椭圆定义知 | PF 1 | ＋ | PF 2 | ＝ 2 a ＝ 14 ， ∴ (| PF 1 | ＋ | PF 2 |) 2 － 2| PF 1 |·| PF 2 | ＝ 100 ， 即 196 － 2| PF 1 |·| PF 2 | ＝ 100 . 解 得 | PF 1 |·| PF 2 | ＝ 48. 答案　 48