【数学】2018届一轮复习人教A版第一章集合、常用逻辑用语第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件学案 6页

第 2 讲　命题及其关系、充分条件与必要条件 最新考纲　1.理解命题的概念，了解“若 p，则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命 题，会分析四种命题的相互关系；2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，能判断并 证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件. 知 识 梳 理 1.命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真 命题，判断为假的语句叫做假命题. 2.四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系 (2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性. ②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系. 3.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件 p 是 q 的充分不必要条件 p⇒q 且 q p p 是 q 的必要不充分条件 p q 且 q⇒p p 是 q 的充要条件 p⇔q p 是 q 的既不充分也不必要条件 p q 且 q p 诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)“x2＋2x－3<0”是命题.(　　) (2)命题“若 p，则 q”的否命题是“若 p，则綈 q”.(　　) (3)当 q 是 p 的必要条件时，p 是 q 的充分条件.(　　) (4)“若 p 不成立，则 q 不成立”等价于“若 q 成立，则 p 成立”.(　　) 解析　(1)错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的. (2)错误.否命题既否定条件，又否定结论. 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2.(选修 2－1P6 练习改编)命题“若 α＝ π 4 ，则 tan α＝1”的逆否命题是(　　) A.若 α≠ π 4 ，则 tan α≠1 B.若 α＝ π 4 ，则 tan α≠1 C.若 tan α≠1，则 α≠ π 4 D.若 tan α≠1，则 α＝ π 4 解析　命题“若 p，则 q”的逆否命题是“若綈q，则綈 p”，显然綈q：tan α≠1，綈 p：α≠ π 4 ，所以该命题的逆否命题是“若 tan α≠1，则 α≠ π 4 ”. 答案　C 3.(2016·天津卷)设 x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析　x>y x>|y|(如 x＝1，y＝－2). 但 x>|y|时，能有 x>y. ∴“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件. 答案　C 4.命题“若 a>－3，则 a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若 a>－6，则 a>－3”是假命题， 从而其否命题也是假命题.因此四个命题中有 2 个假命题. 答案　B 5.(2017·舟山双基检测)已知函数 f(x)的定义域为 R，则命题 p：“函数 f(x)为偶函数”是 命题 q：“∃x0∈R，f(x0)＝f(－x0)”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　若 f(x)为偶函数，则有 f(x)＝f(－x)，所以 p⇒q；若 f(x)＝x，当 x＝0 时，f(0)＝ f(－0)，而 f(x)＝x 为奇函数，所以 q p. ∴“命题 p”是“命题 q”的充分不必要条件. 答案　A 6.(2017·温州调研)已知命题 p：“若 a2＝b2，则 a＝b”，则命题p 的否命题为________，该 否命题是一个________命题(填“真”，“假”). 解析　由否命题的定义可知命题 p 的否命题为“若a2≠b2，则 a≠b”.由于命题 p 的逆命题“若 a＝b，则 a2＝b2”是一个真命题，∴否命题是一个真命题. 答案　“若 a2≠b2，则 a≠b”　真 考点一　四种命题的关系及其真假判断 【例 1】 (1)命题“若 x2－3x－4＝0，则 x＝4”的逆否命题及其真假性为(　　) A.“若 x＝4，则 x2－3x－4＝0”为真命题 B.“若 x≠4，则 x2－3x－4≠0”为真命题 C.“若 x≠4，则 x2－3x－4≠0”为假命题 D.“若 x＝4，则 x2－3x－4＝0”为假命题 (2)原命题为“若 z1，z2 互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真 假性的判断依次如下，正确的是(　　) A.真、假、真 B.假、假、真 C.真、真、假 D.假、假、假 解析　(1)根据逆否命题的定义可以排除 A，D；由 x2－3x－4＝0，得 x＝4 或－1，所以原命题 为假命题，所以其逆否命题也是假命题. (2)由共轭复数的性质，|z1|＝|z2|，∴原命题为真，因此其逆否命题为真；取 z1＝1，z2＝i， 满足|z1|＝|z2|，但是 z1，z2 不互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假. 答案　(1)C　(2)B 规律方法　(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是 “若 p，则 q”的形式，应先改写成“若 p，则 q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种 命题时需保留大前提不变. (2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例. (3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直 接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假. 【训练 1】 已知：命题“若函数 f(x)＝ex－mx 在(0，＋∞)上是增函数，则 m≤1”，则下列结 论正确的是(　　) A.否命题是“若函数 f(x)＝ex－mx 在(0，＋∞)上是减函数，则 m＞1”，是真命题 B.逆命题是“若 m≤1，则函数 f(x)＝ex－mx 在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题 C.逆否命题是“若 m＞1，则函数 f(x)＝ex－mx 在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题 D.逆否命题是“若 m＞1，则函数 f(x)＝ex－mx 在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题 解析　由 f(x)＝ex－mx 在(0，＋∞)上是增函数，则 f′(x)＝ex－m≥0 恒成立，∴m≤1. 因此原命题是真命题，所以其逆否命题“若 m＞1，则函数 f(x)＝ex－mx 在(0，＋∞)上不是 增函数”是真命题. 答案　D 考点二　充分条件与必要条件的判定 【例 2】(1)函数 f(x)在 x＝x0 处导数存在.若 p：f′(x0)＝0；q：x＝x0 是 f(x)的极值点，则 (　　) A.p 是 q 的充分必要条件 B.p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件 C.p 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件 D.p 既不是 q 的充分要件，也不是 q 的必要条件 (2)(2017·衡阳一模)“a＝1”是“直线 ax＋y＋1＝0 与直线(a＋2)x－3y－2＝0 垂直”的 (　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析　(1)由极值的定义，q⇒p，但 p⇒/ q.例如 f(x)＝x3，在 x＝0 处 f′(0)＝0，f(x)＝x3 是增函数，x＝0 不是函数 f(x)＝x3 的极值点. 因此 p 是 q 的必要不充分条件. (2)直线 ax＋y＋1＝0 与直线(a＋2)x－3y－2＝0 垂直的充要条件为 a(a＋2)＋1×(－3)＝0， 解得 a＝1 或－3，故“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0 与直线(a＋2)x－3y－2＝0 垂直”的充分 不必要条件. 答案　(1)C　(2)B 规律方法　充要条件的三种判断方法 (1)定义法：根据 p⇒q，q⇒p 进行判断. (2)集合法：根据使 p，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断. (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行 判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1 或 y≠1”的何种条件， 即可转化为判断“x＝1 且 y＝1”是“xy＝1”的何种条件. 【训练 2】 (2016·山东卷)已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 α ，β内，则“直线 a 和 直线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相交”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　由题意知 a⊂α，b⊂β，若 a，b 相交，则 a，b 有公共点，从而 α，β 有公共点，可 得出 α，β 相交；反之，若α，β相交，则 a，b 的位置关系可能为平行、相交或异面. 因此“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相交”的充分不必要条件. 答案　A 考点三　充分条件、必要条件的应用(典例迁移) 【例 3】 (经典母题)已知 P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合 S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若 x∈P 是 x∈S 的必要条件，求 m 的取值范围. 解　由 x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10， ∴P＝{x|－2≤x≤10}. ∵x∈P 是 x∈S 的必要条件， 则 S⊆P. ∴{1－m ≥ －2， 1＋m ≤ 10， 解得 m≤3. 又∵S 为非空集合， ∴1－m≤1＋m，解得 m≥0， 综上，可知 0≤m≤3 时，x∈P 是 x∈S 的必要条件. 【迁移探究 1】 本例条件不变，问是否存在实数 m，使 x∈P 是 x∈S 的充要条件？ 解　由例题知 P＝{x|－2≤x≤10}. 若 x∈P 是 x∈S 的充要条件，则 P＝S， ∴{1－m＝－2， 1＋m＝10， ∴{m＝3， m＝9， 这样的 m 不存在. 【迁移探究 2】 本例条件不变，若綈 P 是綈 S 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围. 解　由例题知 P＝{x|－2≤x≤10}. ∵綈 P 是綈 S 的必要不充分条件，∴P 是 S 的充分不必要条件， ∴P⇒S 且 S P. ∴[－2，10][1－m，1＋m]. ∴{1－m ≤ －2， 1＋m > 10 或{1－m < －2， 1＋m ≥ 10， ∴m≥9，则 m 的取值范围是[9，＋∞). 规律方法　充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出 关于参数的不等式(或不等式组)求解； (2)要注意区间端点值的检验. 【训练 3】 ax2＋2x＋1＝0 只有负实根的充要条件是________. 解析　当 a＝0 时，原方程为一元一次方程 2x＋1＝0，有一个负实根 x＝－ 1 2. 当 a≠0 时，原方程为一元二次方程， 又 ax2＋2x＋1＝0 只有负实根， 所以有{Δ＝4－4a ≥ 0， － 2 a＜0， 1 a＞0， 即 0＜a≤1. 综上，方程只有负根的充要条件是 0≤a≤1. 答案　0≤a≤1 [思想方法] 1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定 义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命 题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定. 2.充要条件的几种判断方法 (1)定义法：直接判断若 p 则 q、若 q 则 p 的真假. (2)等价法：即利用 A⇒B 与綈 B⇒綈 A；B⇒A 与綈 A⇒綈 B；A⇔B 与綈 B⇔綈 A 的等价关系，对 于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法. (3)利用集合间的包含关系判断：设 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}；若 A⊆B，则 p 是 q 的充分条 件或 q 是 p 的必要条件；若 AB，则 p 是 q 的充分不必要条件，若 A＝B，则 p 是 q 的充要条 件. [易错防范] 1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提. 2.判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若 p， 则 q”的形式. 3.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p 的一个充分而不必要条件是 q”等语言.