【数学】2018届一轮复习人教A版 数系的扩充与复数的引入 学案 5页

数系的扩充与复数的引入 ‎【考点梳理】‎ ‎1．复数的有关概念 ‎(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．‎ ‎(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．‎ ‎(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．‎ ‎(4)复数的模：向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝.‎ ‎2．复数的几何意义 复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b) 平面向量＝(a，b)．‎ ‎3．复数代数形式的四则运算 ‎(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.‎ z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.‎ z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.‎ ＝＝＋i(c＋di≠0)．‎ ‎(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．‎ 如图所示给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.‎ ‎【考点突破】‎ 考点一、复数的有关概念 ‎【例1】(1)若z＝4＋3i，则＝(　　)‎ A．1　　 B．－1‎ C.＋i D.－i ‎(2)i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________.‎ ‎[答案] (1)D　(2)－2‎ ‎[解析] (1)∵z＝4＋3i，∴＝4－3i，|z|＝＝5，‎ ‎∴＝＝－i.‎ ‎(2)由(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－‎2a)i是纯虚数可得a＋2＝0,1－‎2a≠0，解得a＝－2.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1.复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意列出实部、虚部满足的方程(组)即可．‎ ‎2．求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z，然后利用复数模的定义求解．‎ ‎【对点训练】‎ ‎1．已知i为虚数单位，复数z＝的虚部为(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎[答案] D ‎[解析]复数z＝＝＝＝＋i，则其虚部为，故选D.‎ ‎2．设z＝＋i，则|z|＝(　　)‎ A. B. C. D．2‎ ‎[答案] B ‎[解析] z＝＋i＝＋i＝＋i，|z|＝＝.‎ 考点二、复数代数形式的四则运算 ‎【例2】(1)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝(　　)‎ A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i ‎(2)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为________．‎ ‎[答案] (1)C　(2)2‎ ‎[解析] (1)∵(z－1)i＝i＋1，∴z－1＝＝1－i，∴z＝2－i，故选C.‎ ‎(2)∵(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，又a，b∈R，∴1＋b＝a且1－b＝0，得a＝2，b＝1，∴＝2.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．‎ ‎2．记住以下结论，可提高运算速度 ‎(1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i；(3)＝－i；(4)－b＋ai＝i(a＋bi)；(5)i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i(n∈N)．‎ ‎【对点训练】‎ ‎1．已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝(　　)‎ A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i ‎[答案] D ‎[解析] 由＝1＋i，得z＝＝＝＝－1－i，故选D.‎ ‎2．已知i是虚数单位，8＋2 018＝________.‎ ‎[答案] 1＋i ‎[解析] 原式＝8＋1 009‎ ‎＝i8＋1 009＝i8＋i1 009‎ ‎＝1＋i4×252＋1＝1＋i.‎ 考点三、复数的几何意义 ‎【例3】(1)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．(－3,1) B．(－1,3)‎ C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)‎ ‎(2)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝(　　) ‎ A．－5 B．5‎ C．－4＋i D．－4－i ‎[答案] (1)A　(2)A ‎[解析] (1)由题意知即－3＜m＜1.故实数m的取值范围为(－3,1)．‎ ‎(2)∵z1＝2＋i在复平面内的对应点的坐标为(2,1)，又z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z2的对应点的坐标为(－2,1)即z2＝－2＋i，‎ ‎∴z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1.复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.‎ ‎2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．‎ ‎【对点训练】‎ ‎1．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝0的复数z对应的点在(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎[答案] A ‎[解析] 由题意得z×1－2(1＋i)＝0，则z＝2＋2i在复平面内对应的点为(2，2)，位于第一象限，故选A.‎ ‎2．若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是(　　) ‎ A．E B．F ‎ C．G D．H ‎[答案] D ‎[解析] 由题图知复数z＝3＋i，‎ ‎∴＝＝＝＝2－i.‎ ‎∴表示复数的点为H.‎