2021高考数学一轮复习课后限时集训45垂直关系理北师大版 8页

课后限时集训45‎ 垂直关系 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．(2019·昆明模拟)已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，若α⊥β，则下列结论正确的是(　　)‎ A．l∥β或lβ　　　　　　 B．l∥m C．m⊥α D．l⊥m A　[直线l⊥平面α，α⊥β，则l∥β或lβ，A正确，故选A.]‎ ‎2．已知直线m，n和平面α，β，则下列四个命题中正确的是(　　)‎ A．若α⊥β，mβ，则m⊥α B．若m⊥α，n∥α，则m⊥n C．若m∥α，n∥m，则n∥α D．若m∥α，m∥β，则α∥β B　[对于A，若α⊥β，mβ，则当m与α，β的交线垂直时才有m⊥α，故A错；对于B，若n∥α，则α内存在直线a，使得a∥n，∵m⊥α，∴m⊥a，∴m⊥n，故B正确；对于C，当nα时，显然结论错误，故C错；对于D，若α∩β＝l，则当m∥l时，显然当条件成立时，结论不成立，故D错．故选B.]‎ ‎3.如图，在四面体DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是(　　)‎ A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE C　[因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.]‎ ‎4.(2019·宁夏模拟)如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，PA⊥平面ABC，则四面体PABC的四个面中，直角三角形的个数有(　　)‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8‎ A　[∵AB是圆O的直径， ∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，△ABC是直角三角形．又PA⊥⊙O所在平面， ‎ ‎∴△PAC，△PAB是直角三角形．且PA⊥BC ，因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线， ∴BC⊥平面PAC, ∴△PBC是直角三角形．从而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是4.故选A.]‎ ‎5．(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，E为棱CD的中点，则(　　)‎ A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC C　[如图，∵A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，‎ ‎∴选项B，D错误；‎ ‎∵A1E在平面BCC1B1上的投影为B‎1C，且B‎1C⊥BC1，‎ ‎∴A1E⊥BC1，故选项C正确；‎ ‎(证明：由条件易知，BC1⊥B‎1C，BC1⊥CE，又CE∩B‎1C＝C，‎ ‎∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1.)‎ ‎∵A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故选项A错误．‎ 故选C.]‎ 二、填空题 ‎6．(2019·北京高考)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：‎ ‎①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.‎ 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________.‎ 如果l⊥α，m∥α，则l⊥m(或若l⊥m，l⊥α，则m∥α)　[将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：(1)如果l⊥α，m∥α，则l⊥m，正确；(2)如果l⊥α，l⊥m，则m∥α，正确；(3)如果l⊥m，m∥α，则l⊥α，错误，有可能l与α斜交或l∥α.]‎ ‎7.如图，在长方体ABCDA1B‎1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B‎1C1D1所成角的正弦值为________．‎ 　[连接A‎1C1，则∠AC‎1A1为AC1与平面A1B‎1C1D1所成的角．‎ 因为AB＝BC＝2，所以A‎1C1＝AC＝2，‎ 又AA1＝1，所以AC1＝3，‎ 所以sin∠AC‎1A1＝＝.]‎ ‎8.(2019·潍坊模拟)四面体PABC中，PA＝PB＝PC，底面△ABC 8‎ 为等腰直角三角形，AC＝BC，O为AB中点，请从以下平面中选出两个相互垂直的平面________．(只填序号)‎ ‎①平面PAB；②平面ABC；③平面PAC；④平面PBC；‎ ‎⑤平面POC.‎ ‎②⑤(答案不唯一)　[∵四面体PABC中，PA＝PB＝PC，‎ 底面△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，O为AB中点， ∴CO⊥AB，PO⊥AB，CO∩PO＝O，‎ ‎∴AB⊥平面POC.∵AB平面ABC, ∴平面POC⊥平面ABC，‎ ‎∴两个相互垂直的平面为②⑤.]‎ 三、解答题 ‎9．(2019·江苏高考)如图，在直三棱柱ABCA1B‎1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC.‎ 求证：(1)A1B1∥平面DEC1；‎ ‎(2)BE⊥C1E.‎ ‎[证明]　(1)因为D，E分别为BC，AC的中点，‎ 所以ED∥AB.‎ 在直三棱柱ABCA1B‎1C1中，AB∥A1B1，‎ 所以A1B1∥ED.‎ 又因为ED平面DEC1，A1B1平面DEC1，‎ 所以A1B1∥平面DEC1.‎ ‎(2)因为AB＝BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.‎ 因为三棱柱ABCA1B‎1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.‎ 又因为BE平面ABC，所以CC1⊥BE.‎ 因为C‎1C平面A1ACC1，AC平面A1ACC1，C‎1C∩AC＝C，‎ 所以BE⊥平面A1ACC1.‎ 因为C1E平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.‎ ‎10.如图，三棱锥PABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，PA⊥PC，PB＝2.‎ ‎(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；‎ ‎(2)若PA＝PC，求三棱锥PABC的体积．‎ ‎[解]　(1)证明：如图，取AC的中点O，连接BO，PO，‎ 因为△ABC是边长为2的正三角形，‎ 所以BO⊥AC，BO＝.‎ 8‎ 因为PA⊥PC，所以PO＝AC＝1.‎ 因为PB＝2，所以OP2＋OB2＝PB2，‎ 所以PO⊥OB.‎ 因为AC∩OP＝O，AC，OP平面PAC，‎ 所以BO⊥平面PAC.‎ 又OB平面ABC，‎ 所以平面PAC⊥平面ABC.‎ ‎(2)因为PA＝PC，PA⊥PC，AC＝2，‎ 所以PA＝PC＝.‎ 由(1)知BO⊥平面PAC，‎ 所以VPABC＝VBAPC＝S△PAC·BO＝××××＝.‎ ‎1．(2019·武邑模拟)如图所示，在斜三棱柱ABCA1B‎1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影H必在(　　)‎ A．直线AB上 B．直线BC上 C．直线AC上 D．△ABC的内部 A　[连接AC1(图略)，因为AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1，又AC平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC，所以点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上，故选A.]‎ ‎2．(2019·南昌模拟)如图所示，在正方形ABCD中，AC为对角线，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点．现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H.下列说法错误的是________．(将符合题意的序号填到横线上)‎ ‎①AG⊥△EFH所在平面；②AH⊥△EFH所在平面；③HF⊥△AEF所在平面；④HG⊥△AEF 8‎ 所在平面．‎ ‎①③④　[根据折叠前AB⊥BE，AD⊥DF可得折叠后AH⊥HE，AH⊥HF，可得AH⊥平面EFH，即②正确；∵过点A只有一条直线与平面EFH垂直，∴①不正确；∵AG⊥EF，AH⊥EF，∴EF⊥平面HAG，∴平面HAG⊥平面AEF，过H作直线垂直于平面AEF，该直线一定在平面HAG内，∴③不正确；∵HG不垂直AG，∴HG⊥平面AEF不正确，④不正确，综上，说法错误的是①③④.]‎ ‎3．(2019·全国卷Ⅰ)已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为________．‎ 　[如图，过点P作PO⊥平面ABC于O，则PO为P到平面ABC的距离．‎ 再过O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，‎ 连接PC，PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC.‎ 又PE＝PF＝，所以OE＝OF，‎ 所以CO为∠ACB的平分线，‎ 即∠ACO＝45°.‎ 在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝，所以CE＝1，‎ 所以OE＝1，所以PO＝＝＝.]‎ ‎4.在如图所示的五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，EA＝ED＝AB＝2EF＝2，EF∥AB，M为BC的中点．‎ ‎(1)求证：FM∥平面BDE；‎ ‎(2)若平面ADE⊥平面ABCD，求点F到平面BDE的距离．‎ ‎[解]　(1)证明：取BD的中点O，连接OM，OE，‎ 因为O，M分别为BD，BC的中点，‎ 所以OM∥CD，且OM＝CD.‎ 因为四边形ABCD为菱形，所以CD∥AB，‎ 又EF∥AB，所以CD∥EF，‎ 又AB＝CD＝2EF，‎ 所以EF＝CD，‎ 所以OM∥EF，且OM＝EF，‎ 所以四边形OMFE为平行四边形，‎ 所以MF∥OE.‎ 8‎ 又OE平面BDE，MF平面BDE，‎ 所以MF∥平面BDE.‎ ‎(2)由(1)得FM∥平面BDE，‎ 所以点F到平面BDE的距离等于点M到平面BDE的距离．‎ 取AD的中点H，连接EH，BH，‎ 因为EA＝ED，四边形ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，‎ 所以EH⊥AD，BH⊥AD.‎ 因为平面ADE⊥平面ABCD，‎ 平面ADE∩平面ABCD＝AD，EH平面ADE，‎ 所以EH⊥平面ABCD，所以EH⊥BH，‎ 易得EH＝BH＝，所以BE＝，‎ 所以S△BDE＝××＝.‎ 设点F到平面BDE的距离为h，‎ 连接DM，则S△BDM＝S△BCD＝××4＝，‎ 连接EM，由V三棱锥EBDM＝V三棱锥MBDE，‎ 得××＝×h×，‎ 解得h＝，‎ 即点F到平面BDE的距离为.‎ ‎1．(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为(　　)‎ A. B. C. D. A　[记该正方体为ABCDA′B′C′D′，正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，即共点的三条棱A′A，A′B′，A′D′与平面α所成的角都相等．如图，连接AB′，AD′，B′D′，因为三棱锥A′AB′D′是正三棱锥，所以A′A，A′B′，A′D′与平面AB′D′所成的角都相等．分别取C′D′，B′C′，BB′，AB，AD，DD′的中点E，F，G，H，I，J，连接EF，FG，GH，IH，IJ，JE，易得E，F，G，H，‎ 8‎ I，J六点共面，平面EFGHIJ与平面AB′D′平行，且截正方体所得截面的面积最大．又EF＝FG＝GH＝IH＝IJ＝JE＝，所以该正六边形的面积为6××2＝，所以α截此正方体所得截面面积的最大值为，故选A.]‎ ‎2．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD，DE⊥AB，沿DE将△AED折起到△A1ED的位置，连接A1B，A‎1C，M，N分别为A‎1C，BE的中点，如图2.‎ 图1　　　　　图2‎ ‎(1)求证：DE⊥A1B；‎ ‎(2)求证：MN∥平面A1ED；‎ ‎(3)在棱A1B上是否存在一点G，使得EG⊥平面A1BC？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．‎ ‎[解]　(1)证明：∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD，DE⊥AB，‎ 沿DE将△AED折起到△A1ED的位置，∴DE⊥A1E，DE⊥BE，‎ ‎∵A1E∩BE＝E，∴DE⊥平面A1BE，‎ ‎∵A1B平面A1BE，∴DE⊥A1B.‎ ‎(2)证明：取CD中点F，连接NF，MF，‎ ‎∵M，N分别为A‎1C，BE的中点，‎ ‎∴MF∥A1D，NF∥DE，‎ 又DE∩A1D＝D，NF∩MF＝F，DE平面A1DE，A1D平面A1DE，NF平面MNF，MF平面MNF.‎ ‎∴平面A1DE∥平面MNF，‎ ‎∴MN∥平面A1ED.‎ ‎(3)取A1B的中点G，连接EG，‎ ‎∵A1E＝BE，‎ ‎∴EG⊥A1B，‎ 由(1)知DE⊥平面A1BE，‎ ‎∵DE∥BC，‎ ‎∴BC⊥平面A1BE，∴EG⊥BC，‎ 又A1B∩BC＝B，‎ ‎∴EG⊥平面A1BC.‎ 8‎ 故棱A1B上存在中点G，使得EG⊥平面A1BC，此时＝1.‎ 8‎