高中数学选修2-2教学课件第一章 章末复习课 32页

章末复习课 第一章　推理与证明 内容 索引 01 02 理 网络 明结构 探 题型 提 能力 03 04 理网络 · 明结构 探题型 · 提能力 题型一　合情推理与演绎推理 1. 归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明 . 2. 演绎推理与合情推理不同，它是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式，也是公理化体系所采用的推理形式 . 另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性 . 例 1 　 (1) 有一个奇数列 1,3,5,7,9 ， … ，现在进行如下分组：第一组含一个数 {1} ；第二组含两个数 {3,5} ；第三组含三个数 {7,9,11} ；第四组含四个数 {13,15,17,19} ； … 则每组内各数之和 f ( n ) ( n ∈ N ＋ ) 与组的编号数 n 的关系式为 ________. 解析　 由于 1 ＝ 1 3, 3 ＋ 5 ＝ 8 ＝ 2 3 ， 7 ＋ 9 ＋ 11 ＝ 27 ＝ 3 3, 13 ＋ 15 ＋ 17 ＋ 19 ＝ 64 ＝ 4 3 ， … ，猜想第 n 组内各数之和 f ( n ) 与组的编号数 n 的关系式为 f ( n ) ＝ n 3 . f ( n ) ＝ n 3 (2) 在平面几何中，对于 Rt △ ABC ， AC ⊥ BC ，设 AB ＝ c ， AC ＝ b ， BC ＝ a ，则 ① a 2 ＋ b 2 ＝ c 2 ； ② cos 2 A ＋ cos 2 B ＝ 1 ； ③ Rt △ ABC 的外接圆半径为 r ＝ . 把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；如果你能证明，写出证明过程；如果在直角三角形中你还发现了异于上面的结论，试试看能否类比到空间？ 解 　选取 3 个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象 . ② 设 3 个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为 α ， β ， γ ，则 cos 2 α ＋ cos 2 β ＋ cos 2 γ ＝ 1. ③ 设 3 个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为 a ， b ， c ，则这个四面体的外接球的半径为 R ＝ . 反思与感悟　 (1) 归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法 . (2) 类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性 . 跟踪训练 1 　下列推理是归纳推理的是 ________ ，是类比推理的是 ________. ① A 、 B 为定点，若动点 P 满足 | PA | ＋ | PB | ＝ 2 a >| AB | ，则点 P 的轨迹是椭圆； ② 由 a 1 ＝ 1 ， a n ＋ 1 ＝ 3 a n － 1 ，求出 S 1 ， S 2 ， S 3 ，猜想出数列的通项 a n 和 S n 的表达式； ③ 由圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 1 的面积 S ＝ π r 2 ，猜想出椭圆的面积 S ＝ π ab ； ④ 科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 . ② ③④ 题型二　综合法与分析法 综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法与综合法可相互转换，相互渗透，要充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径 . 一般以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表示证明过程 . 例 2 　 用综合法和分析法证明 . 已知 α ∈ (0 ， π) ，求证： 2sin 2 α ≤ . 证明　 ( 分析法 ) ∵ α ∈ (0 ， π) ， ∴ sin α >0. ∵ 1 － cos α >0 ， ( 综合法 ) 证明　 ∵ sin(2 α ＋ β ) － 2cos( α ＋ β )sin α ＝ sin [( α ＋ β ) ＋ α ] － 2cos( α ＋ β )sin α ＝ sin( α ＋ β )cos α ＋ cos( α ＋ β )sin α － 2cos( α ＋ β )sin α ＝ sin( α ＋ β )cos α － cos( α ＋ β )sin α ＝ sin [( α ＋ β ) － α ] ＝ sin β ， 两边同除以 sin α 得 题型三　反证法 反证法是一种间接证明命题的方法，它从命题结论的反面出发引出矛盾，从而肯定命题的结论 . 反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，命题： “ 若 p 则 q ” 的否定是 “ 若 p 则 綈 q ” ，由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明 “ 若 p 则 綈 q ” 为假，从而可以导出 “ 若 p 则 q ” 为真，从而达到证明的目的 . 因为 x >0 且 y >0 ， 所以 1 ＋ x ≥ 2 y 且 1 ＋ y ≥ 2 x ， 两式相加，得 2 ＋ x ＋ y ≥ 2 x ＋ 2 y ， 所以 x ＋ y ≤ 2. 这与已知 x ＋ y >2 矛盾 . 反思与感悟　 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题 ；涉及 “ 都是 ……”“ 都不是 ……”“ 至少 ……”“ 至多 ……” 等形式的命题时，也常用反证法 . 跟踪训练 3 　 已知： ac ≥ 2( b ＋ d ). 求证：方程 x 2 ＋ ax ＋ b ＝ 0 与方程 x 2 ＋ cx ＋ d ＝ 0 中至少有一个方程有实数根 . 证明　 假设两方程都没有实数根， 则 Δ 1 ＝ a 2 － 4 b <0 与 Δ 2 ＝ c 2 － 4 d <0 ，有 a 2 ＋ c 2 <4( b ＋ d ) ， 而 a 2 ＋ c 2 ≥ 2 ac ， 从而 有 4( b ＋ d )> 2 ac ， 即 ac <2( b ＋ d ) ，与已知矛盾，故原命题成立 . 题型四　数学归纳法 数学归纳法是一种逻辑推理，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明 “ 当 n ＝ k ＋ 1 时结论正确 ” 的过程中，必须用 “ 归纳假设 ” ，否则就是错误的 . 例 4 　 用数学归纳法证明当 n ∈ N ＋ 时， 1· n ＋ 2·( n － 1) ＋ 3·( n － 2) ＋ … ＋ ( n － 2)·3 ＋ ( n － 1)·2 ＋ n ·1 ＝ n ( n ＋ 1)·( n ＋ 2). 证明　 (1) 当 n ＝ 1 时， 1 ＝ · 1·2·3 ，结论成立 . (2) 假设 n ＝ k 时结论成立， 即 1· k ＋ 2·( k － 1) ＋ 3·( k － 2) ＋ … ＋ ( k － 2)·3 ＋ ( k － 1)·2 ＋ k ·1 当 n ＝ k ＋ 1 时 ， 则 1·( k ＋ 1) ＋ 2· k ＋ 3·( k － 1) ＋ … ＋ ( k － 1)·3 ＋ k ·2 ＋ ( k ＋ 1)·1 ＝ 1· k ＋ 2·( k － 1) ＋ … ＋ ( k － 1)·2 ＋ k ·1 ＋ [1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ … ＋ k ＋ ( k ＋ 1)] 即当 n ＝ k ＋ 1 时结论也成立 . 由 (1)(2) 可知，结论对一切 n ∈ N ＋ 都成立 . 跟踪训练 4 　数列 { a n } 满足： a 1 ＝ 1 ， a n ＋ 1 ＝ a n ＋ 1. (1) 写出 a 2 ， a 3 ， a 4 ； (2) 猜想数列 { a n } 的通项公式，并加以证明 . 即当 n ＝ k ＋ 1 时猜想也成立， 呈 重点、现 规律 1. 直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法 . 直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法 . 2. 数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题 . 证明时，它的两个步骤缺一不可 . 它的第一步 ( 归纳奠基 ) n ＝ n 0 时结论成立 . 第二步 ( 归纳递推 ) 假设 n ＝ k 时，结论成立，推得 n ＝ k ＋ 1 时结论也成立 . 数学归纳法是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用有限的步骤 ( 两步 ) 证明出无限的命题成立 . 更多精彩内容请 登录 http ://www.91taoke.com 谢谢观看