新课标版高考数学复习题库考点15 数列求和 8页

‎ ‎ 考点15 数列求和 ‎ ‎1.（2010·天津高考理科·Ｔ6）已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为( ) ‎ ‎（A）或5 （B）或5 （C） （D）‎ ‎【命题立意】考查等比数列的通项公式、前n项和公式．‎ ‎【思路点拨】求出数列的通项公式是关键．‎ ‎【规范解答】选C．设，则，‎ 即，，．‎ ‎2.（2010·天津高考文科·Ｔ１5）设{an}是等比数列，公比，Sn为{an}的前n项和．‎ 记设为数列{}的最大项，则= ．‎ ‎【命题立意】考查等比数列的通项公式、前n项和、基本不等式等基础知识．‎ ‎【思路点拨】化简利用基本不等式求最值．‎ ‎【规范解答】‎ ‎∴‎ ‎∵当且仅当即，所以当n=4，即时，最大．‎ ‎【答案】4‎ ‎3.（2010·安徽高考理科·Ｔ20）设数列中的每一项都不为0．‎ ‎ 证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何，都有 ‎．‎ ‎【命题立意】本题主要考查等差数列与充要条件等知识，考查考生推理论证，运算求解能力．‎ ‎【思路点拨】证明可分为两步，先证明必要性，适宜采用列项相消法，再证明充分性，‎ 可采用数学归纳法或综合法．‎ ‎【规范解答】已知数列中的每一项都不为0，先证 若数列为等差数列，设公差为，‎ 当时，有，‎ 即对任何，有成立；‎ 当时，显然也成立．‎ 再证 对任意，有①，‎ ‎②，‎ 由②-①得：-‎ 上式两端同乘，得③，‎ 同理可得④，‎ 由③-④得：，所以为等差数列．‎ ‎ 【方法技巧】‎ ‎1、在进行数列求和问题时，要善于观察关系式特点，进行适当的变形，如分组、裂项等 ，转化为常见的类型进行求和；‎ ‎2、对数列中的含n的式子，注意可以把式子中的n换为或得到相关的式子，再进行化简变形处理；也可以把n取自然数中的具体的数1，2，3…等，得到一些等式归纳证明.‎ ‎4.（2010·山东高考理科·Ｔ18）已知等差数列满足：，，的前n项和为．‎ ‎（1）求及．‎ ‎（2）令 (nN*)，求数列的前n项和．‎ ‎ 【命题立意】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和,考查了考生的逻辑推理、等价变形和运算求解能力.‎ ‎ 【思路点拨】(1)设出首项和公差，根据已知条件构造方程组可求出首项和公差，进而求出求及；(2)由(1)求出的通项公式，再根据通项的特点选择求和的方法.‎ ‎ 【规范解答】（1）设等差数列的公差为d，因为，，所以有 所以；==.‎ ‎（2）由（1）知，所以bn===，‎ 所以==，‎ 即数列的前n项和=.‎ ‎【方法技巧】数列求和的常用方法：‎ ‎1、直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意对公比的讨论.‎ ‎2、错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.‎ ‎3、分组转化法：把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.‎ ‎4、裂项相消法：主要用于通项为分式的形式，通项拆成两项之差求和，正负项相消剩下首尾若干项，注意一般情况下剩下正负项个数相同.‎ ‎5、倒序相加法：把数列正着写和倒着写相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广).‎ ‎5.（2010·安徽高考文科·Ｔ21）设是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数,圆都与圆相互外切，以表示的半径，已知为递增数列.‎ ‎(1)证明：为等比数列；‎ ‎（2）设，求数列的前项和. ‎ ‎【命题立意】本题主要考查等比数列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考查考生的抽象概括能力以及推理论证能力．‎ ‎ 【思路点拨】（1）求直线倾斜角的正弦，设的圆心为，得，同理得，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即中与的关系，可证明为等比数列．‎ ‎（2）利用（1）的结论求的通项公式，代入数列，然后采用错位相减法求和.‎ ‎ 【规范解答】‎ 又 ‎，‎ ‎．‎ ‎【方法技巧】‎ ‎1、对数列中的含n的式子，注意可以把式子中的n换为或得到相关的式子，再进行化简变形处理；‎ ‎2、在进行数列求和问题时，要善于观察关系式特点，进行适当的处理，如分组、裂项相消、错位相减等 ，转化为常见的类型进行求和．‎ ‎6.（2010·江苏高考·Ｔ１9）设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式（用表示）；‎ ‎（2）设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为．‎ ‎【命题立意】本题主要考查等差数列的通项、求和、基本不等式以及不等式的恒成立问题等有关知识，考查探索、分析及论证的能力．‎ ‎【思路点拨】（1）先求，然后利用的关系求解；（2）利用（1）中所求利用基本不等式解决．‎ ‎【规范解答】（1）由题意知：， ‎ ‎，‎ 化简，得：‎ ‎，‎ 当时，，适合的情形．‎ 故所求．‎ ‎（2）方法一：‎ ‎， 恒成立．‎ ‎ 又，，‎ 故，即的最大值为．‎ 方法二：由及，得，．‎ 于是，对满足题设的，，有 ‎．‎ 所以的最大值 方法三：任取实数．设为偶数，令，则符合条件，‎ 且．‎ 于是，只要，即当时，．‎ 所以满足条件的，从而 因此的最大值为．‎ ‎ 7.（2010·天津高考文科·Ｔ22）在数列中，=0，且对任意k，成等差数列，其公差为2k.‎ ‎（1）证明成等比数列.‎ ‎（2）求数列的通项公式.‎ ‎（3）记，证明.‎ ‎【命题立意】本小题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．‎ ‎【思路点拨】（1）（2）应用定义法证明、求解；（3）对n分奇数、偶数进行讨论．‎ ‎【规范解答】（1）由题设可知，，，，，‎ ‎。从而，所以，，成等比数列．‎ ‎（2）由题设可得 所以 + ‎ ‎ ‎ ‎ .‎ 由，得 ，从而.‎ 所以数列的通项公式为或写为，．‎ ‎（3）由（2）可知，，‎ 以下分两种情况进行讨论：‎ ‎①当n为偶数时，设n=‎‎2m 若，则，‎ 若，则 ‎ ‎ ‎ . ‎ 所以，从而 ‎②当n为奇数时，设．‎ 所以，从而 综合①和②可知，对任意有