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- 2021-06-16 发布
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2018-2019 学年广东省潮州市高一下学期期末数学试题
一、单选题
1.下列函数中,最小正周期为 的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由函数的最小正周期为 ,逐个选项运算即可得解.
【详解】
解:对于选项 A, 的最小正周期为 ,
对于选项 B, 的最小正周期为 ,
对于选项 C, 的最小正周期为 ,
对于选项 D, 的最小正周期为 ,
故选 D.
【点睛】
本题考查了三角函数的最小正周期,属基础题.
2.在 中, , ,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由向量的减法及坐标运算即可得解.
【详解】
解:因为 ,
故选 D.
【点睛】
本题考查了向量差的坐标运算,属基础题.
3.要完成下列两项调查:①从某社区 125 户高收入家庭、280 户中等收入家庭、95 户
低收入家庭中选出 100 户调查社会购买力的某项指标;②从某中学的 15 名艺术特长生
中选出 3 名调查学习负担情况,宜采用的抽样方法依次为( )
A.①随机抽样法,②系统抽样法
B.①分层抽样法,②随机抽样法
π
siny x= cosy x= 1sin 2y x= cos2y x=
2T ω
π=
siny x= 2π
cosy x= 2π
1sin 2y x= 4π
cos2y x= π
ABC∆ ( )2,4AB = ( )1,3AC = BC =
( )3,7 ( )3,5 ( )1,1 ( )1, 1− −
BC = ( )1, 1AC AB− = − −
C.①系统抽样法,②分层抽样法
D.①②都用分层抽样法
【答案】B
【解析】①由于社会购买力与收入有关系,所以应采用分层抽样法;②由于人数少,
可以采用简单随机抽样法
要完成下列二项调查:①从某社区 125 户高收入家庭,280 户中等收入家庭,95 户低
收入家庭中,选出 100 户调查社会
解:∵社会购买力的某项指标,受到家庭收入的影响
而社区中各个家庭收入差别明显
①用分层抽样法,
而从某中学的 15 名艺术特长生,要从中选出 3 人调查学习负担情况的调查中
个体之间差别不大,且总体和样本容量较小,
∴②用随机抽样法
故选 B
4.若角 的终边与单位圆交于点 ,则 ( )
A. B. C. D.不存在
【答案】B
【解析】由三角函数的定义可得: ,得解.
【详解】
解:在单位圆中, ,
故选 B.
【点睛】
本题考查了三角函数的定义,属基础题.
5.甲、乙、丙三人随机排成一排,乙站在中间的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】先求出甲、乙、丙三人随机排成一排的基本事件的个数,再求出乙站在中间的
基本事件的个数,再求概率即可.
α 1 3,2 2P
sinα =
1
2
3
2 3
sin yα =
3sin 2yα = =
1
2
1
3
1
4
1
6
【详解】
解:三个人排成一排的所有情况有:甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙乙甲,丙甲乙共 6 种,
乙在中间有 2 种,所以乙在中间的概率为 ,
故选 B.
【点睛】
本题考查了古典概型,属基础题.
6.将 的图像怎样移动可得到 的图象( )
A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位
C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位
【答案】C
【解析】因为将 向左平移 个单位可以得到 ,
得解.
【详解】
解:将 向左平移 个单位可以得到 ,
故选 C.
【点睛】
本题考查了函数图像的平移变换,属基础题.
7.如图:样本 A 和 B 分别取自两个不同的总体,他们的样本平均数分别为 和 ,
样本标准差分别为 和 ,则( )
A.
B.
1
3
sin 2y x= sin 2 3y x
π = +
3
π
3
π
6
π
6
π
sin 2y x=
6
π sin 2 6y x
π = +
sin 2y x=
6
π sin 2 6y x
π = + sin 2 3x
π = +
Ax Bx
As Bs
,A B A Bx x s s> >
,A B A Bx x s s
C.
D.
【答案】B
【解析】从图形中可以看出样本 A 的数据均不大于 10,而样本 B 的数据均不小于 10,
A 中数据波动程度较大,B 中数据较稳定,由此得到结论.
【详解】
∵样本 A 的数据均不大于 10,
而样本 B 的数据均不小于 10,
,
由图可知 A 中数据波动程度较大,
B 中数据较稳定,
.
故选:B.
8.已知 与 均为单位向量,它们的夹角为 ,那么 等于( )
A. B. C. D.4
【答案】A
【解析】本题主要考查的是向量的求模公式。由条件可知
= = ,所以应选 A。
9.设 为 所在平面内一点,若 ,则下列关系中正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】【详解】
∵
∴ − =3( − );
∴ = − .
故选:A.
,A B A Bx x s s> <
,A B A Bx x s s< <
A Bx x∴ <
A Bs s∴ >
a b 60° 3a b−
7 10 13
D ABC∆ 3BC CD=
1 4
3 3AD AB AC= − + 1 4
3 3AD AB AC= −
4 1
3 3AD AB AC= + 4 1
3 3AD AB AC= −
3BC CD =
AC AB AD AC
AD 4
3 AC 1
3 AB
10.已知函数 ,且 的图象向左平移
个单位后所得的图象关于坐标原点对称,则 的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由函数图像的平移变换得 的图象向左平移 个单位,得到
,再结合三角函数的性质运算即可得解.
【详解】
解: ,
将 的图象向左平移 个单位,得到 ,
因为平移后图象关于 对称,所以 ,
可得 , , , ,
因为 ,
所以 的最小值为 ,
故选 C.
【点睛】
本题考查了函数图像的平移变换及三角函数的性质,属基础题.
二、填空题
11.已知扇形的圆心角为 ,半径为 ,则扇形的弧长为______ .
【答案】9
【解析】由扇形的弧长公式运算可得解.
【详解】
解:由扇形的弧长公式得: ,
故答案为 9.
( ) 22 3sin cos 2cos 1f x x x x= − + ( )y f x=
( )0m m > m
3
π
6
π
12
π 5
12
π
( )y f x= m
( ) 2sin 2 2 6g x x m
π = + −
( ) 22 3sin cos 2cos 1f x x x x= − + 3sin 2 cos2 2sin 2 6x x x
π = − = −
( )y f x= m ( ) 2sin 2 2 6g x x m
π = + −
( )0,0 sin 2 06m
π − =
2 6m k
π π− = k Z∈
2 12
km
π π= + k Z∈
0m >
m
12
π
3
2 rad 6cm cm
3 6 92l rα= = × =
【点睛】
本题考查了扇形的弧长,属基础题.
12.某单位为了了解用电量 度与气温 之间的关系,随机统计了某 天的用电量与
当天气温.
气温(℃) 14 12 8 6
用电量(度) 22 26 34 38
由表中数据得回归直线方程 中 ,据此预测当气温为 5℃时,用电量的
度数约为____.
【答案】40
【解析】【详解】
由表格得 ,
即样本中心点的坐标为 ,
又因为样本中心点 在回归方程 上且 ,
解得: ,
当 时, ,故答案为 40.
【考点】回归方程
【名师点睛】
本题考查线性回归方程,属容易题.两个变量之间的关系,除了函数关系,还存在相关
关系,通过建立回归直线方程,就可以根据其部分观测值,获得对这两个变量之间整体
关系的了解.解题时根据所给的表格做出本组数据的样本中心点,根据样本中心点在线
性回归直线上,利用待定系数法做出 的值,现在方程是一个确定的方程,根据所给的
的值,代入线性回归方程,预报要销售的件数.
13.下图是 2016 年在巴西举行的奥运会上,七位评委为某体操运动员的单项比赛打出
的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的方差为
__________.
y x C 4
y b x a
∧ ∧ ∧
= + 2b
∧
= −
14 12 8 6 22 26 34 3810 304 4x y
+ + + + + += = = =,
10 0( ,3 )
10 0( ,3 ) ˆy bx a+= ˆ=-2b
30 10 2 a
∧
∴ = × − +( ) ,
ˆ50 50ˆ2a y x
∧
= ∴ − +, =
5x = 2 5 50 40y = − × + =( )
a
∧
x
【答案】
【解析】由平均数公式可得 ,故所求数据的方差是
,应填答案 。
14.已知 sin = ,则 cos =________.
【答案】
【解析】【详解】
由 sin = ,得 cos2 =1-2sin2 = ,
即 cos = ,
所以 cos =cos = ,故答案为 .
三、解答题
15.设 , , .
(1)若 ,求实数 的值;
(2)若 ,求实数 的值.
【答案】(1) ; (2)
【解析】(1)由向量加法的坐标运算可得: ,
再由向量平行的坐标运算即可得解.
(2)由向量垂直的坐标运算即可得解.
【详解】
解:(1) , , , ,
180 (3 4 6 7) 855x = + × + + =
2 1 8(1 1 1 1 4)5 5s = + + + + = 8
5
6
πα +
1
3
2 23
π α −
7
9
−
6
πα +
1
3 6
πα + 6
πα +
7
9
2 3
πα +
7
9
2 23
π α − 2 3
ππ α − +
7
9
− 7
9
−
( )1,1a = − ( )4,3b = ( )5, 2c = −
( )a tb c+
t
( )a tb c+ ⊥ t
3
23t = − 1
2t =
( )1 4 ,1 3a tb t t+ = − + +
( )1,1a = − ( )4,3b = ( )5, 2c = − ( )1 4 ,1 3a tb t t+ = − + +
,故 ,
所以 .
(2) , ,
,
所以 .
【点睛】
本题考查了向量加法的坐标运算、向量平行和垂直的坐标运算,属基础题.
16.已知 , ,求 的值.
【答案】
【解析】【详解】
∵ ,且 ,∴ ,
则 , ∴ = = =- .
【考点】本题考查了三角恒等变换
17.某校举行汉字听写比赛,为了了解本次比赛成绩情况,从得分不低于 50
分的试卷中随机抽取 100 名学生的成绩(得分均为整数,满分 100 分)进行统
计,请根据频率分布表中所提供的数据,解答下列问题:
组号 分组 频数 频率
第 1 组 [50,60) 5 0.05
第 2 组 [60,70) 0.35
第 3 组 [70,80) 30
第 4 组 [80,90) 20 0.20
第 5 组 [90,100] 10 0.10
( )a tb c+
( ) ( )5 1 3 2 1 4t t+ = − − +
3
23t = −
( )a tb c+ ⊥ ( ) 0a tb c+ ⋅ =
( ) ( ) ( )1 4 5 1 3 2 0t t− + × + + × − =
1
2t =
12cos 13
θ = − 3, 2
πθ π ∈ tan 4
πθ −
7
17
−
12cos 13
θ = − 3, 2
πθ π ∈
5sin 13
θ = −
5tan 12
θ = tan 4
πθ −
tan 1
1 tan
θ
θ
−
+
5 112
5 112
−
+
7
17
a
b
合计 100 1.00
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)若从成绩较好的第 3、4、5 组中按分层抽样的方法抽取 6 人参加市汉
字听写比赛,并从中选出 2 人做种子选手,求 2 人中至少有 1 人是第 4 组的
概率。
【答案】(1) 35,0.30;(2) .
【解析】试题分析:(Ⅰ)直接利用频率和等于 1 求出 b,用样本容量乘以频率求 a 的
值;
(Ⅱ)由分层抽样方法求出所抽取的 6 人中第三、第四、第五组的学生数,利用列举法
写出从中任意抽取 2 人的所有方法种数,查出 2 人至少 1 人来自第四组的事件个数,然
后利用古典概型的概率计算公式求解.
试题解析:
(Ⅰ)a=100-5-30-20-10=35,b=1-0.05-0.35-0.20-0.10=0.30
(Ⅱ )因为第 3、4、5 组共有 60 名学生,所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名
学生,
每组分别为,第 3 组: ×30=3 人,第 4 组: ×20=2 人,第 5 组: ×10=1 人,
所以第 3、4、5 组应分别抽取 3 人、2 人、1 人
设第 3 组的 3 位同学为 A1、A2、A3,第 4 组的 2 位同学为 B1、B2,第 5 组的 1 位
同学为 C1,则从 6 位同学中抽 2 位同学有 15 种可能,如下:
(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),
(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1).其中第 4 组被
入选的有 9 种,
所以其中第 4 组的 2 位同学至少有 1 位同学入选的概率为 =
点睛:古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无
序”区别的题目,常采用树状图法.
(3)列表法:适用于多元素基本事件的求解问题,通过列表把复杂的题目简单化、抽象的
题目具体化.
a b、
3
5
6
60
6
60
6
60
9
15
3
5
(4)排列组合法:适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
18.在边长为 2 的菱形 中, , 为 的中点.
(1)用 和 表示 ;
(2)求 的值.
【答案】(1) ; (2)-1
【解析】(1)由平面向量基本定理可得: .
(2)由数量积运算可得:
,运算可得解.
【详解】
解:(1) .
(2)
.
【点睛】
本题考查了平面向量基本定理及数量积运算,属基础题.
19.如图所示,函数 的图象与 轴交于点
,且该函数的最小正周期为 .
(1)求 和 的值;
(2)已知点 ,点 是该函数图象上一点,点 是 的中点,当
时,求 的值.
ABCD 60BAD∠ = E BC
AD AB AE
AE BD⋅
1
2AE AB AD= +
1
2AE AB AD= +
( )1
2AE BD AB AD AD AB ⋅ = + ⋅ −
2 21 1
2 2AB AD AB AD= ⋅ − +
1
2AE AB BC= + 1
2AB AD= +
( )1
2AE BD AB AD AD AB ⋅ = + ⋅ −
2 21 1
2 2AB AD AB AD= ⋅ − +
2 21 1 12 2 2 22 2 2
= × × × − + × 1= −
( )2cos ( , 0.0 )2y x x R
πω θ ω θ= + ∈ > ≤ ≤ y
( )0, 3 π
θ ω
πA ,02
P 0 0( , )Q x y PA
0 0
3 , ,2 2y x
π π = ∈ 0x
【答案】(1) . .(2) ,或 .
【解析】试题分析:
(1)由三角函数图象与 轴交于点 可得 ,则 .由最小正周期公
式可得 .
(2)由题意结合中点坐标公式可得点 的坐标为 .代入三角函数式可得
,结合角的范围求解三角方程可得 ,或 .
试题解析:
(1)将 代入函数 中,得 ,
因为 ,所以 .
由已知 ,且 ,得 .
(2)因为点 是 的中点,
,所以点 的坐标为 .
又因为点 在 的图象上,且 ,
所以 ,且 ,
从而得 ,或 ,即 ,或 .
πθ 6
= ω 2= 0
2
3x
π= 0
3
4x
π=
y ( )0, 3 3cos 2
θ =
6
πθ =
2ω =
P 02 , 32x
π −
0
5 3cos 4 6 2x
π − = 0
2
3x
π= 0
3
4x
π=
0, 3x y= = ( )2cosy xω θ= + 3cos 2
θ =
0 2
πθ≤ ≤
6
πθ =
T π= 0ω > 2 2 2T
π πω π= = =
( )0 0,0 , ,2A Q x y
π
PA
0
3
2y = P 02 , 32x
π −
P 2cos 2 6y x
π = + 02 x
π π≤ ≤
0
5 3cos 4 6 2x
π − = 0
7 5 1946 6 6x
π π π≤ − ≤
0
5 114 6 6x
π π− = 0
5 134 6 6x
π π− = 0
2
3x
π= 0
3
4x
π=