【数学】2019届一轮复习人教A版（文）第三章第7节正弦定理和余弦定理学案 29页

第七节正弦定理和余弦定理 ‎1．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R，(R为△ABC外接圆半径)‎ a2＝b2＋c2－2bccos A；‎ b2＝c2＋a2－2cacos B；‎ c2＝a2＋b2－2abcos_C 变形形式(边角转化)‎ a＝2Rsin A，b＝2RsinB，c＝2Rsin C；‎ sin A＝，sinB＝，sin C＝；‎ a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C cos A＝；cosB＝；cos C＝ ‎2．三角形中常用的面积公式 ‎(1)S＝ah(h表示边a上的高)；‎ ‎(2)S＝bcsin A＝acsinB＝absin C；‎ ‎(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．‎ ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　　)‎ ‎(2)在△ABC中，若sin A>sinB，则A>B.(　　)‎ ‎(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　　)‎ ‎(4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形．(　　)‎ ‎(5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√‎ ‎2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝‎2a，bsin B－asin A＝ asin C，则cosB为(　　)‎ A.　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析：选B　∵bsin B－asin A＝asin C，且c＝‎2a，∴b＝a，∴cos B＝＝＝.‎ ‎3．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有(　　)‎ A．无解 B．两解 C．一解 D．解的个数不确定 解析：选B　∵＝，‎ ‎∴sinB＝sin A＝sin 45°＝.‎ 又∵a0，于是有cos B<0，B为钝角，△ABC是钝角三角形．‎ ‎5．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________.‎ 解析：由正弦定理，得sin B＝＝＝，‎ 因为0°＜B＜180°，‎ 所以B＝45°或135°.‎ 因为b＜c，所以B＜C，故B＝45°，‎ 所以A＝180°－60°－45°＝75°.‎ 答案：75°‎ ‎6．在△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．‎ 解析：由余弦定理知72＝52＋BC2－2×5×BC×cos 120°，‎ 即49＝25＋BC2＋5BC，解得BC＝3.‎ 故S△ABC＝AB·Bcsin B＝×5×3×＝.‎ 答案： 　　　　 ‎[考什么·怎么考]‎ 利用正、余弦定理解三角形是高考的重点和热点内容，主要考查利用两个定理求三角形的边的长度、角的大小等，既有灵活多变的小题，也有考查能力的大题，试题多为中低档题.‎ 考法(一)　正弦定理解三角形 ‎1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝b，A＝2B，则cos B等于(　　)‎ A.　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析：选C　因为a＝b，A＝2B，所以由正弦定理可得＝，所以＝，所以cos B＝.‎ ‎2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a>b，则B＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A　由正弦定理得，‎ sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝sin B，‎ 所以sin Acos C＋sin Ccos A＝，‎ 即sin(A＋C)＝，所以sin B＝.‎ 已知a>b，所以B不是最大角，所以B＝.‎ ‎3．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，则b＝________.‎ 解析：因为sin B＝且B∈(0，π)，‎ 所以B＝或B＝，‎ 又C＝，所以B＝，A＝π－B－C＝，‎ 又a＝，由正弦定理得＝，‎ 即＝，解得b＝1.‎ 答案：1‎ ‎[题型技法]　利用正弦定理可解决两类问题 基本类型 一般解法 已知两角及其中一角的对边，如A，B，a ‎①由A＋B＋C＝180°，求出C；‎ ‎②根据正弦定理，得＝及＝，求出边b，c 已知两边及其中一边所对的角，如a，b，A ‎①根据正弦定理，经讨论求B；‎ ‎②求出B后，由A＋B＋C＝180°，求出C；‎ ‎③再根据正弦定理＝，求出边c.‎ ‎[提醒]　也可以根据余弦定理，列出以边c为元的一元二次方程c2－(2bcos A)c＋(b2－a2)＝0，根据一元二次方程的解法，求边c，然后应用正弦定理或余弦定理，求出B，C 考法(二)　余弦定理解三角形 ‎4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＝ac，c＝‎2a，则cos C＝(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B．－ C. D．－ 解析：选B　由题意得，b2＝ac＝‎2a2，‎ 即b＝a，∴cos C＝＝＝－.‎ ‎5．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则边AC上的高为(　　)‎ A. B. C. D．3 解析：选B　由题意得cos A＝＝＝，‎ ‎∴sin A＝ ＝，‎ ‎∴边AC上的高h＝ABsin A＝.‎ ‎6．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos B＝acos C＋ccos A，则B＝________.‎ 解析：由2bcosB＝acos C＋ccos A及余弦定理，得 ‎2b·＝a·＋c·，‎ 整理得，a2＋c2－b2＝ac，‎ 所以2accosB＝ac＞0，cosB＝.‎ 又0＜B＜π，所以B＝.‎ 答案： ‎[题型技法]　利用余弦定理可解决两类问题 已知两边和它们的夹角，如a，b，C ‎①根据余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，求出边c；‎ ‎②根据cos A＝，求出A；‎ ‎③根据B＝180°－(A＋C)，求出B.‎ 求出第三边后，也可用正弦定理求角，这样往往可以使计算简便，应用正弦定理求角时，为了避开讨论(因为正弦函数在区间(0，π)上是不单调的)，应先求较小边所对的角，它必是锐角 已知三边 可以连续用余弦定理求出两角，常常是分别求较小两边所对的角，再由A＋B＋C＝180°，求出第三个角；‎ 由余弦定理求出一个角后，也可以根据正弦定理求出第二个角，但仍然是先求较小边所对的角 ‎[怎样快解·准解]‎ ‎1．避免失误准解题 ‎(1)应用正弦定理求角时容易出现增解或漏解的错误，要根据条件和三角形的限制条件合理取舍．‎ ‎(2)求角时易忽略角的范围而导致错误，需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图帮助判断．‎ ‎2．运用知识结论巧解题 ‎(1)三角形的内角和定理A＋B＋C＝π，由此可得到sin A＝sin(B＋C)，cos A＝－cos(B＋C)，tan A＝－tan(B＋C)；sin＝cos，cos＝sin.‎ ‎(2)内角A，B，C成等差数列⇔B＝60°，A＋C＝120°.‎ ‎(3)在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C.‎ ‎(4)△ABC为正三角形的充要条件是A，B，C成等差数列，且a，b，c成等比数列．‎ ‎(5)在△ABC中，A>B⇔sin A>sin B⇔cos Acos B，sin B>cos C，sin C>cos A等．‎ 考点二　利用正弦、余弦定理判定三角形的形状　　 利用正、余弦定理判断三角形的形状主要是考查三角形是哪类特殊的三角形，在高考中考查频率不高，一般以选择题、填空题的形式出现，难度中等.‎ ‎[典题领悟]‎ ‎1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为(　　)‎ A．直角三角形　　　　　　 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 解析：选C　∵＝，∴＝，∴b＝c.‎ 又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc，‎ ‎∴cos A＝＝＝.‎ ‎∵A∈(0，π)，∴A＝，∴△ABC是等边三角形．‎ ‎2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－acos B＝(‎2a－b)cos A，则△ABC的形状为(　　)‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 解析：选D　因为c－acos B＝(‎2a－b)cos A，‎ C＝π－(A＋B)，‎ 所以由正弦定理得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin B·cos A，‎ 所以sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，‎ 所以cos A(sin B－sin A)＝0，‎ 所以cos A＝0或sin B＝sin A，‎ 所以A＝或B＝A或B＝π－A(舍去)，‎ 所以△ABC为等腰或直角三角形．‎ ‎[解题师说]‎ ‎1．判定三角形形状的2种常用途径 ‎2．判定三角形形状的3个注意点 ‎(1)“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；‎ ‎(2)“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系；‎ ‎(3)还要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．‎ ‎[冲关演练]‎ ‎1．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝＝，则该三角形的形状是(　　)‎ A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 解析：选A　因为＝，由正弦定理得＝，所以sin ‎2A＝sin 2B.由＝，可知a≠b，所以A≠B.又A，B∈(0，π)，所以‎2A＝180°－2B，即A＋B＝90°，所以C＝90°，于是△ABC是直角三角形．‎ ‎2．在△ABC中，内角A，B，C所对边分别是a，b，c，若sin2 ＝，则△ABC的形状一定是________．‎ 解析：由题意，得＝，即cos B＝，又由余弦定理，得＝，整理得a2＋b2＝c2，所以△ABC为直角三角形．‎ 答案：直角三角形 　　　　 正弦定理和余弦定理的应用比较广泛，也比较灵活，在高考中常与求三角形面积或取值范围结合进行考查.有时是求三角形面积，有时是以三角形面积作为已知条件出现，求与三角形有关的量的取值范围，此时难度较大.有关面积问题的考查，在高考中客观题和解答题均有可能考查，属于中档题.‎ ‎[典题领悟]‎ ‎(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为.‎ ‎❶‎ ‎(1)求sinBsin C；‎ ‎(2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．‎ ‎　 　　❸　　　　 　　　　❷‎ ‎[学审题]‎ ‎①看到△ABC的面积为?想到三角形的面积公式，即可求出sin Bsin C的值；‎ ‎②看到要求△ABC的周长?想到求a＋b＋c的值；‎ ‎③看到cos Bcos C的值?想到第(1)问已求出sin Bsin C的值，可求得A的值，借助余弦定理可求得b＋c.‎ 解：(1)由题设得acsin B＝，‎ 即csin B＝.‎ 由正弦定理得sin Csin B＝.‎ 故sin Bsin C＝.‎ ‎(2)由题设及(1)得cos Bcos C－sin Bsin C＝－，‎ 即cos(B＋C)＝－.‎ 所以B＋C＝，故A＝.‎ 由题设得bcsin A＝，即bc＝8.‎ 由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，‎ 得b＋c＝.‎ 故△ABC的周长为3＋.‎ ‎[解题师说]‎ 与三角形面积有关问题的解题模型 ‎[冲关演练]‎ ‎1．(2018·云南第一次统一检测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B ‎＝，a＝，sin2B＝2sin Asin C，则△ABC的面积S＝(　　)‎ A.　　　　　　　　　　　 B．3‎ C. D．6‎ 解析：选B　由sin2B＝2sin Asin C及正弦定理，得b2＝‎2ac，①‎ 又B＝，所以a2＋c2＝b2.②‎ 联立①②解得a＝c＝，所以S＝××＝3.‎ ‎2．(2018·安徽两校阶段性测试)如图，在△ABC中，AB＝2，cos B＝，点D在线段BC上．‎ ‎(1)若∠ADC＝，求AD的长；‎ ‎(2)若BD＝2DC，△ACD的面积为，求的值．‎ 解：(1)在△ABC中，∵cos B＝，∴sin B＝.‎ 在△ABD中，＝，‎ 又AB＝2，∠ADB＝，sin B＝，∴AD＝.‎ ‎(2)∵BD＝2DC，‎ ‎∴S△ABD＝2S△ADC，S△ABC＝3S△ADC，‎ 又S△ADC＝，∴S△ABC＝4，‎ ‎∵S△ABC＝AB·Bcsin B，‎ 即4＝×2×BC×，∴BC＝6.‎ ‎∵S△ABD＝AB·ADsin∠BAD，‎ S△ADC＝AC·ADsin∠CAD，‎ S△ABD＝2S△ADC，‎ ‎∴＝2·，‎ 在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，‎ ‎∴AC＝4，‎ ‎∴＝2·＝4.‎ ‎(一)普通高中适用作业 A级——基础小题练熟练快 ‎1．在△ABC中，若＝，则B的大小为(　　)‎ A．30°　　　　　　　　　 B．45°‎ C．60° D．90°‎ 解析：选B　由正弦定理知，＝，∴sin B＝cos B，∴B＝45°.‎ ‎2．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　)‎ A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 解析：选C　由正弦定理得＝，‎ ‎∴sin B＝＝＝>1.‎ ‎∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．‎ ‎3．(2018·南昌模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos ‎2A＝sin A，bc＝2，则△ABC的面积为(　　)‎ A. B. C．1 D．2‎ 解析：选A　由cos ‎2A＝sin A，得1－2sin‎2A＝sin A，解得sin A＝(负值舍去)，由bc＝2，可得△ABC的面积S＝bcsin A＝×2×＝.‎ ‎4．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A＝，a＝3，S△ABC＝2，则b的值为(　　)‎ A．6 B．3‎ C．2 D．2或3‎ 解析：选D　因为S△ABC＝bcsin A＝2，‎ 所以bc＝6，‎ 又因为sin A＝，‎ 所以cos A＝，又a＝3，‎ 由余弦定理得9＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－4，b2＋c2＝13，可得b＝2或b＝3.‎ ‎5．在△ABC中，2acos A＋bcos C＋ccos B＝0，则角A的大小为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C　由余弦定理得2acos A＋b·＋c·＝0，即2acos A＋a＝0，‎ ‎∴cos A＝－，A＝.‎ ‎6．(2017·山东高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，则下列等式成立的是(　　)‎ A．a＝2b B．b＝‎‎2a C．A＝2B D．B＝‎‎2A 解析：选A　由题意可知sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin(A＋C)，即2sin Bcos C＝sin Acos C，又cos C≠0，故2sin B＝sin A，由正弦定理可知a＝2b.‎ ‎7．在△ABC中，AB＝，A＝75°，B＝45°，则AC＝________.‎ 解析：C＝180°－75°－45°＝60°，‎ 由正弦定理得＝，‎ 即＝，解得AC＝2.‎ 答案：2‎ ‎8．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，A＝，b2sin C＝4sin B，则△ABC的面积为________．‎ 解析：因为b2sin C＝4sin B，‎ 所以b‎2c＝4b，所以bc＝4，‎ S△ABC＝bcsin A＝×4×＝2.‎ 答案：2‎ ‎9．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，则c＝________.‎ 解析：∵3sin A＝2sin B，∴‎3a＝2b.‎ 又a＝2，∴b＝3.‎ 由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcos C，‎ ‎∴c2＝22＋32－2×2×3×＝16，‎ ‎∴c＝4.‎ 答案：4‎ ‎10．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若cos A＝，c－a＝2，b＝3，则a＝________.‎ 解析：由余弦定理可知，a2＝b2＋c2－2bccos A⇒a2＝9＋(a＋2)2－2·3·(a＋2)·⇒a＝2.‎ 答案：2‎ B级——中档题目练通抓牢 ‎1．在△ABC中，若＝3，b2－a2＝ac，则cos B的值为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 解析：选D　由题意知，c＝‎3a，b2－a2＝ac＝c2－2accos B，所以cos B＝＝＝.‎ ‎2．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcos C，则此三角形一定是(　　)‎ A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 解析：选C　法一：由余弦定理可得a＝2b·，‎ 因此a2＝a2＋b2－c2，得b2＝c2，于是b＝c，‎ 从而△ABC为等腰三角形．‎ 法二：由正弦定理可得sin A＝2sin Bcos C，‎ 因此sin(B＋C)＝2sin Bcos C，‎ 即sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，‎ 于是sin(B－C)＝0，因此B－C＝0，即B＝C，‎ 故△ABC为等腰三角形．‎ ‎3．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，则C＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B　因为sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，‎ 所以sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C＝0，‎ 所以sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0，整理得sin C(sin A＋cos A)＝0.因为sin C≠0，‎ 所以sin A＋cos A＝0，所以tan A＝－1，‎ 因为A∈(0，π)，所以A＝，‎ 由正弦定理得sin C＝＝＝，‎ 又0＜C＜，所以C＝.‎ ‎4．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，sin A，sin B，sin C成等差数列，且a＝‎2c，则cos A＝________.‎ 解析：因为sin A，sin B，sin C成等差数列，所以2sin B＝sin A＋sin C．由正弦定理得a＋c＝2b，又a＝‎2c，可得b＝c，所以cos A＝＝＝－.‎ 答案：－ ‎5．已知△ABC中，AC＝4，BC＝2，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，则的值为________．‎ 解析：在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AC2＋AB2－‎2AC·AB·cos∠BAC，即28＝16＋AB2－4AB，解得AB＝6(AB＝－2舍去)，则cos∠ABC＝＝，BD＝AB·cos∠ABC＝6×＝，CD＝BC－BD＝2－＝，所以＝6.‎ 答案：6‎ ‎6．(2018·贵州适应性考试)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos B＝4，bsin A＝3.‎ ‎(1)求tan B及边长a的值；‎ ‎(2)若△ABC的面积S＝9，求△ABC的周长．‎ 解：(1)在△ABC中，acos B＝4，bsin A＝3，‎ 两式相除，有＝＝tan B＝，‎ 由sin2B＋cos2B＝1，＝，‎ 得cos B＝，又因为acos B＝4，所以a＝5.‎ ‎(2)由(1)知，sin B＝，‎ 由S＝acsin B＝×5×c＝9，得c＝6.‎ 由b2＝a2＋c2－2accos B＝25＋36－2×5×6×＝13，‎ 得b＝.‎ 故△ABC的周长为11＋.‎ ‎7．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.‎ ‎(1)求c；‎ ‎(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．‎ 解：(1)由已知可得tan A＝－，所以A＝.‎ 在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos ，‎ 即c2＋‎2c－24＝0.‎ 解得c＝4(负值舍去)．‎ ‎(2)由题设可得∠CAD＝，‎ 所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝－＝.‎ 故△ABD的面积与△ACD的面积的比值为 ＝1.‎ 又△ABC的面积为×4×2×sin＝2，‎ 所以△ABD的面积为.‎ C级——重难题目自主选做 ‎(2018·昆明质检)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝2，BD＝，∠BCD＝2∠ABD，△ABD的面积为2.‎ ‎(1)求AD的长；‎ ‎(2)求△CBD的面积．‎ 解：(1)由已知S△ABD＝AB·BD·sin∠ABD＝×2××sin∠ABD＝2，可得sin∠ABD＝，又∠BCD＝2∠ABD，所以∠ABD∈，所以cos∠ABD＝.‎ 在△ABD中，由余弦定理AD2＝AB2＋BD2－2·AB·BD·cos∠ABD，可得AD2＝5，所以AD＝.‎ ‎(2)由AB⊥BC，得∠ABD＋∠CBD＝，‎ 所以sin∠CBD＝cos∠ABD＝.‎ 又∠BCD＝2∠ABD，‎ 所以sin∠BCD＝2sin∠ABD·cos∠ABD＝，‎ ‎∠BDC＝π－∠CBD－∠BCD＝π－－2∠ABD＝－∠ABD＝∠CBD，‎ 所以△CBD为等腰三角形，即CB＝CD.‎ 在△CBD中，由正弦定理＝，‎ 得CD＝＝＝，‎ 所以S△CBD＝CB·CD·sin∠BCD＝×××＝.‎ ‎(二)重点高中适用作业 A级——保分题目巧做快做 ‎1.在△ABC中，A＝45°，C＝105°，BC＝，则AC为(　　)‎ A.－1　　　　　　　　　 B．1‎ C．2 D.＋1‎ 解析：选B　因为A＝45°，C＝105°，‎ 所以B＝180°－C－A＝30°，‎ 由正弦定理得AC＝＝＝1.‎ ‎2．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A＝，a＝3，S△ABC＝2，则b的值为(　　)‎ A．6 B．3‎ C．2 D．2或3‎ 解析：选D　因为S△ABC＝bcsin A＝2，‎ 所以bc＝6，又因为sin A＝，所以cos A＝，又a＝3，由余弦定理得9＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－4，b2＋c2＝13，可得b＝2或b＝3.‎ ‎3．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcos C，则此三角形一定是(　　)‎ A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 解析：选C　法一：由余弦定理可得a＝2b·，‎ 因此a2＝a2＋b2－c2，得b2＝c2，于是b＝c，‎ 从而△ABC为等腰三角形．‎ 法二：由正弦定理可得sin A＝2sin Bcos C，‎ 因此sin(B＋C)＝2sin Bcos C，‎ 即sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，‎ 于是sin(B－C)＝0，因此B－C＝0，即B＝C，‎ 故△ABC为等腰三角形．‎ ‎4．(2018·合肥质检)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C＝，bcos A＋acos B＝2，则△ABC的外接圆面积为(　　)‎ A．4π B．8π C．9π D．36π 解析：选C　由余弦定理得b·＋a·＝2.即＝2，整理得c＝2，由cos C＝得sin C＝，再由正弦定理可得2R＝＝6，所以△ABC的外接圆面积为 πR2＝9π.‎ ‎5.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　　)‎ A．3 B. C. D．3 解析：选C　∵c2＝(a－b)2＋6，∴a2＋b2－c2＝2ab－6，‎ 又cos C＝＝＝，∴ab＝6，‎ ‎∴S△ABC＝absin C＝×6×＝.‎ ‎6．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，则c＝________.‎ 解析：∵3sin A＝2sin B，∴‎3a＝2b.‎ 又a＝2，∴b＝3.‎ 由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcos C，‎ ‎∴c2＝22＋32－2×2×3×＝16，‎ ‎∴c＝4.‎ 答案：4‎ ‎7．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，A＝，b2sin C＝4sin B，则△ABC的面积为________．‎ 解析：因为b2sin C＝4sin B，‎ 所以b‎2c＝4b，所以bc＝4，‎ S△ABC＝bcsin A＝×4×＝2.‎ 答案：2‎ ‎8．已知△ABC中，AC＝4，BC＝2，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，则的值为________．‎ 解析：在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AC2＋AB2－‎2AC·AB·cos∠BAC，即28＝16＋AB2－4AB，解得AB＝6(AB＝－2，舍去)，则cos∠ABC＝＝，BD＝AB ‎·cos∠ABC＝6×＝，CD＝BC－BD＝2－＝，所以＝6.‎ 答案：6‎ ‎9.(2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2.‎ ‎(1)求cos B；‎ ‎(2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.‎ 解：(1)由题设及A＋B＋C＝π得sin B＝8sin2 ，‎ 即sin B＝4(1－cos B)，‎ 故17cos2B－32cos B＋15＝0，‎ 解得cos B＝或cos B＝1(舍去)．‎ ‎(2)由cos B＝，得sin B＝，‎ 故S△ABC＝acsin B＝ac.‎ 又S△ABC＝2，则ac＝.‎ 由余弦定理及a＋c＝6得 b2＝a2＋c2－2accos B ‎＝(a＋c)2－‎2ac(1＋cos B)‎ ‎＝36－2×× ‎＝4.‎ 所以b＝2.‎ ‎10．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.‎ ‎(1)求c；‎ ‎(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．‎ 解：(1)由已知可得tan A＝－，所以A＝.‎ 在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos ，‎ 即c2＋‎2c－24＝0.‎ 解得c＝4(负值舍去)．‎ ‎(2)由题设可得∠CAD＝，‎ 所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝－＝.‎ 故△ABD的面积与△ACD的面积的比值为 ＝1.‎ 又△ABC的面积为×4×2×sin＝2，‎ 所以△ABD的面积为.‎ B级——拔高题目稳做准做 ‎1.在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S△ABC＝2，a＋b＝6，＝2cos C，则c等于(　　)‎ A．2 B．2 C．4 D．3 解析：选B　因为＝＝＝1，所以2cos C＝1，所以C＝60°.‎ 因为S△ABC＝2，所以absin C＝2，所以ab＝8.‎ 因为a＋b＝6，‎ 所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab＝62－3×8＝12，所以c＝2.‎ ‎2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin A－sin B＝sin C,3b＝‎2a,2≤a2＋ac≤18，设△ABC的面积为S，p＝a－S，则p的最大值是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选D　在△ABC中，由sin A－sin B＝sin C结合正弦定理可得，c＝‎3a－3b，再根据3b＝‎2a,2≤a2＋ac≤18，可得a＝c,1≤a≤3，由余弦定理可得b2＝＝a2＋a2－‎2a·acos B⇒cos B＝，可得sin B＝，所以S＝acsin B＝a2，故p＝a－S＝a－a2，根据二次函数的图象可得，当a＝时，p取得最大值.‎ ‎3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果△ABC的面积等于8，a＝5，tan B＝－，那么＝________.‎ 解析：∵tan B＝－，‎ ‎∴sin B＝，cos B＝－，‎ 又S△ABC＝acsin B＝‎2c＝8，‎ ‎∴c＝4，∴b＝＝，‎ ‎∴＝＝.‎ 答案： ‎4.(2018·洛阳统考)在△ABC中，B＝30°，AC＝2 ，D是AB边上的一点，CD＝2，若∠ACD为锐角，△ACD的面积为4，则BC＝________.‎ 解析：依题意得S△ACD＝CD·AC·sin∠ACD＝2·sin∠ACD＝4，解得sin∠ACD＝.‎ 又∠ACD是锐角，因此cos ∠ACD＝.‎ 在△ACD中，AD＝＝4.由正弦定理得，＝，‎ 即sin A＝＝.‎ 在△ABC中，＝，即BC＝＝4.‎ 答案：4‎ ‎5.(2018·湖北七市联考)如图，已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝120°.‎ ‎(1)若c＝1，求△ABC面积的最大值；‎ ‎(2)若a＝2b，求tan A.‎ 解：(1)由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos 120°＝1，‎ ‎∴a2＋b2＋ab＝1≥2ab＋ab＝3ab，‎ 当且仅当a＝b时取等号，∴ab≤，‎ 故S△ABC＝absin C＝ab≤，‎ 即△ABC面积的最大值为.‎ ‎(2)∵a＝2b，∴由正弦定理得sin A＝2sin B，‎ 又C＝120°，故A＋B＝60°，‎ ‎∴sin A＝2sin(60°－A)＝cos A－sin A，‎ ‎∴cos A＝2sin A，∴tan A＝.‎ ‎6.(2018·昆明质检)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝2，BD＝，∠BCD＝2∠ABD，△ABD的面积为2.‎ ‎(1)求AD的长；‎ ‎(2)求△CBD的面积．‎ 解：(1)由已知S△ABD＝AB·BD·sin∠ABD＝×2××sin∠ABD＝2，可得sin∠ABD＝，‎ 又∠BCD＝2∠ABD，所以∠ABD∈，‎ 所以cos∠ABD＝.‎ 在△ABD中，由余弦定理AD2＝AB2＋BD2－2·AB·BD·cos∠ABD，可得AD2＝5，‎ 所以AD＝.‎ ‎(2)由AB⊥BC，得∠ABD＋∠CBD＝，‎ 所以sin∠CBD＝cos∠ABD＝.‎ 又∠BCD＝2∠ABD，所以sin∠BCD＝2sin∠ABD·cos∠ABD＝，‎ ‎∠BDC＝π－∠CBD－∠BCD＝π－－2∠ABD＝－∠ABD＝∠CBD，‎ 所以△CBD为等腰三角形，即CB＝CD.‎ 在△CBD中，由正弦定理＝，‎ 得CD＝＝＝，‎ 所以S△CBD＝CB·CD·sin∠BCD＝×××＝.‎ A组 ‎1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足＝，则A＝(　　)‎ A.　　　　　　　　 B. C. D.或 解析：选B　由＝，结合正弦定理，得＝，整理得b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝，由A为三角形的内角，知A＝.‎ ‎2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＝1，B＝，tan A＝2，则a＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C　由题意知，sin A＝，由＝，得＝，解得a＝.‎ ‎3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin A＝2sin Bsin C，且BC边上的高为，则＋的最大值为(　　)‎ A．2 B. C．2 D．4‎ 解析：选C　由sin A＝2sin Bsin C，根据正弦定理，得a2＝2bcsin A，代入cos A＝中，得b2＋c2＝2bc(cos A＋sin A)，所以＋＝2(cos A＋sin A)＝2sinA＋，当A＝时，＋取得最大值2.‎ ‎4．(2018·江西丰城中学测试)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＋b＝，△ABC的面积为sin C，sin A＋sin B＝sin C，则C的值为________．‎ 解析：由△ABC的面积为absin C＝sin C，得ab＝.‎ 又a＋b＝且sin A＋sin B＝sin C，‎ 所以a＋b＝c，c＝1，‎ 所以a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝2－2×＝，‎ 则cos C＝＝＝，故C＝.‎ 答案： ‎5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足b2－a2＝ac，则－的取值范围是________．‎ 解析：由余弦定理得b2－a2＝(a2＋c2－2accos B)－(b2＋c2－2bccos A)＝a2－b2＋‎2c(bcos A－acos B)，即b2－a2＝c(bcos A－acos B)＝ac⇒bcos A－acos B＝a⇒sin(B－A)＝sin A⇒B＝‎2A.又△ABC为锐角三角形，所以