湖南省长沙市第一中学2020届高三第七次大联考数学（理）试题 15页

长沙市第一中学2020届高三第七次大联考 数学（理）试题 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知全集,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数则的共轭复数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．函数（）的图象可能是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．的展开式中，项的系数为（ ）‎ A．20 B．‎30 ‎C． D．‎ ‎5．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数(注:素数也叫做质数)猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一,可以这样描述:存在无穷多个素数使得是素数,素数对称为孪生素数．从20以内的素数中任取两个,其中能构成孪生素数的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．如图所示的程序框图，则输出的的值分别是（ ）‎ A．，600， B．1200,500,300‎ C．1100,400,600 D．300,500,1200‎ ‎7．若,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为是抛物线上的一点,若的外接圆与抛物线的准线相切,且该圆的面积为,则（ ）‎ A．2 B．‎4 ‎C．6 D．8‎ ‎9．在三棱锥中,平面为等边三角形,是的中点,则异面直线和所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．直线与双曲线的渐近线交于两点,设为双曲线上任意一点,若（为坐标原点）,则下列不等式恒成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知函数,给出下列命题:（ ）‎ ‎①,都有成立;‎ ‎②存在常数恒有成立;‎ ‎③的最大值为 ‎④在上是增函数．‎ 以上命题中正确的为 A．①②③④ B．②③ C．①②③ D．①②④‎ ‎12．已知函数的值域与函数的值域相同,则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分,共20分．把各题答案的最简形式写在题中的横线上．‎ ‎13．已知向量,且与共线，则实数___‎ ‎14．某中学有学生3600名,从中随机抽取300名调查他们的居住地与学校之间的距离,其中不超过1公里的学生共有15人,不超过2公里的学生共有45人，由此估计该学校所有学生中居住地到学校的距离在公里的学生有____人．‎ ‎15．如图所示,在正四棱锥中,底面是边长为4的正方形,分别是的中点,若在同一球面上,则此球的体积为____‎ ‎16．如图,在中,为边上的点,为上的点,,则___‎ 三、解答题:本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题,考生根据要求作答．‎ ‎(一)必考题:共60分．‎ ‎17．已知等差数列和递增的等比数列满足:且，‎ ‎．‎ ‎(1)分别求数列和的通项公式;‎ ‎(2)设表示数列的前项和,若对任意的恒成立,求实数的取值范围．‎ ‎18．如图,三棱柱中,．‎ ‎(1)求证；‎ ‎(2)若平面平面，且,求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎19．2019年上半年我国多个省市暴发了“非洲猪瘟”疫情,生猪大量病死,存栏量急剧下降,一时间猪肉价格暴涨,其他肉类价格也跟着大幅．上扬,严重影响了居民的生活．为了解决这个问题,我国政府一方面鼓励有条件的企业和散户防控疫情,扩大生产;另一方面积极向多个国家开放猪肉进口,扩大肉源,确保市场供给稳定．某大型生猪生产企业分析当前市场形势，决定响应政府号召,扩大生产．决策层调阅了该企业过去生产相关数据,就“一天中一头猪的平均成本与生猪存栏数量之间的关系”进行研究．‎ 现相关数据统计如下表:‎ 生猪存栏数量（千头）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎8‎ 一头猪每天平均成本（元）‎ ‎3.2‎ ‎2.4‎ ‎2‎ ‎1.9‎ ‎1.5‎ ‎(1)研究员甲根据以上数据认为与具有线性回归关系，请帮他求出关于的线性回归方程；(保留小数点后两位有效数字)‎ ‎(2)研究员乙4根据以上数据得出与的回归模型:．为了评价两种模型的拟合效果,请完成以下任务:‎ ‎①完成下表(计算结果精确到0,01元)(备注：称为相应于点的残差);‎ 生猪存栏数量（千头）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎8‎ 一头猪每天平均成本（元）‎ ‎3.2‎ ‎2.4‎ ‎2‎ ‎1.9‎ ‎1.5‎ 模型甲 估计值 残差 模型乙 估计值 ‎3.2‎ ‎2.4‎ ‎2‎ ‎1.76‎ ‎1.4‎ 残差 ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0.14‎ ‎0.1‎ ‎②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和及并通过比较的大小,判断哪个模型拟合效果更好．‎ ‎(3)根据市场调查,生猪存栏数量达到1万头时,饲养一头猪每一天的平均收人为7.5元;生猪存栏数量达到1.2万头时,饲养一头猪每一天的平均收入为7.2元．若按(2)中拟合效果较好的模型计算一天中一头猪的平均成本,问该生猪存栏数量选择1万头还是1.2万头能获得更多利润?请说明理由．(利润=收入-成本)‎ 参考公式：．‎ 参考数据：．‎ ‎20．已知)两点分别在轴和轴上运动,且,若动点满足．‎ ‎(1)求出动点的轨迹的标准方程;‎ ‎(2)设动直线与曲线有且仅有一个公共点,与圆相交于两点(两点均不在坐标轴_上),求直线的斜率之积．‎ ‎21．已知函数（为常数）．‎ ‎(1)讨论函数的单调性;‎ ‎(2)若函数在内有极值,试比较与的大小,并证明你的结论．‎ ‎(二)选考题:共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答,若多做,则按所做的第一题记分．‎ ‎22．选修4-4:坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系中,直线的参数方程为（为参数),曲线方程为．以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求直线和曲线的极坐标方程;‎ ‎(2)曲线分别交直线和曲线于点,求的最大值及相应的值．‎ ‎23．选修4-5:不等式选讲 已知函数．‎ ‎(1)若,解不等式；‎ ‎(2)若不存在实数,使,求实数的取值范围．‎ 炎德·英才大联考长沙市一中2020届高三月考试卷（七）‎ 数学（理科）参考答案 一、选择题 ‎1．C 【解析】由题，则，故选C．‎ ‎2．B 【解析】．故选B．‎ ‎3．D 【解析】，∴函数需向下平移个单位，不过点，所以排除A．当时，，所以排除B．当时，，所以排除C．故选D．‎ ‎4．C 【解析】展开式的通项为．所以的展开式中项的系数为，故选C．‎ ‎5．B 【解析】依题意，20以内的素数共有8个，从中选两个共包含个基本事件，而20以内的孪生素数有共四对，包含4个基本事件，所以从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为．故选B．‎ ‎6．B 【解析】根据程序框图得：①，满足；②，满足；③，，不满足．故输出的．故选B．‎ ‎7．D 【解析】‎ ‎，故选D．‎ ‎8．D 【解析】依题意得，的外接圆半径为6，的外接圆圆心应位于线段的垂直平分线上，圆心到准线的距离等于6，即有，由此解得，故选D．‎ ‎9．B 【解析】取的中点，连接，则，所以或其补角就是异面直线和所成角．因为为正三角形，所以．设，因为平面，所以，故，故选B．‎ ‎10．D 【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为，联立直线，解得，∴不妨设，，‎ 为双曲线上的任意一点，，‎ ‎（时等号成立），可得，故选D．‎ ‎11．D 【解析】①，为奇函数，正确；②‎ ‎，为周期函数，正确；③，令，则，令，得，且为最大值，错误；④当时，，所以在上为增函数，正确．故选D．‎ ‎12．D 【解析】时，；时，，在上递增，在上递减，‎ ‎，即的值域为．‎ 令，则在上递增，在上递减，要使的值为，则的取值范围是，故选D．‎ 二、填空题 ‎13． 【解析】由己知得，，由于与共线，所以，得．故答案为．‎ ‎14．360 【解析】依题意可知，样本中公里的人数所占的比例为，故全体学生中居住地到学校的距离在公里的人数为人．‎ ‎15． 【解析】由题意得，底面是边长为4的正方形，，故高为2．易知正四棱锥的外接球的球心在它的高上，记球心为，则或（此时在的延长线上），在直角中，，解得 ‎，所以球的体积为．‎ ‎16．2 【解析】设，在中，，‎ ‎，由正弦定理符：，即，在中，，由正切定义：，在中，，由余弦定义：．‎ 三、解答题 ‎17．【解析】（1）由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，‎ 由 则，解得（舍去）或3，‎ 所以；‎ 代入方程组得，因此．‎ 综上，．‎ ‎（2）由题意，，‎ 由得 设 当；当；‎ 由数列的单调性可得，‎ 所以．‎ ‎18．【解析】如图，设的中点为，连接，‎ 又设，则．‎ ‎（1）在中，的中点为，故 在中，，所以为等边三角形．‎ 又的中点为，所以，‎ 因为，且，‎ 所以平面，平面，‎ 所以，又，所以．‎ ‎（2）因为平面平面，平面平面，且，‎ 故平面，如图，建立空间直角坐标系，‎ 则，‎ 故，‎ 设平面的法向量，则有 令，得，‎ 设直线与平面所成角为，则，‎ 故直线与平面所成角的正弦值为．‎ ‎19．【解析】（1）由题知：，‎ ‎，‎ 故．‎ ‎(2)①经计算,可得下表:‎ 生猪存栏数量（千头）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎8‎ 一头猪每天平均成本（元）‎ ‎3.2‎ ‎2.4‎ ‎2‎ ‎1.9‎ ‎1.5‎ 模型甲 估计值 ‎2.80‎ ‎2.55‎ ‎2.30‎ ‎2.05‎ ‎1.30‎ 残差 ‎0.40‎ ‎0.20‎ 模型乙 估计值 ‎3.2‎ ‎2.4‎ ‎2‎ ‎1.76‎ ‎1.4‎ 残差 ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0.14‎ ‎0.1‎ ‎，‎ 因为，故模型的拟合效果更好．‎ ‎（3）若生猪存栏数量达到1万头，由（2）模型乙可知，每头猪的成本为元，‎ 这样一天获得的总利润为（元）；‎ 若生猪存栏数量达到1.2万头，由（2）模型乙可知，每头猪的成本为元，‎ 这样一天获得的总利润为（元），‎ 因为，所以选择生猪存栏数量1.2万头能获得更多利润．‎ ‎20．【解析】（1）因为，即 所以，所以 又因为，所以，即，即．‎ 所以曲线的标准方程为．‎ ‎（2）当直线的斜率存在时，设的方程为．‎ 由方程组得．‎ 直线与椭圆有且仅有一个公共点，‎ ‎，即．‎ 由方程组得，‎ 则．‎ 设，则，‎ 设直线的斜率分别为，‎ 所以 ‎，‎ 将代入上式，得．‎ 当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为．‎ 此时，圆与的交点，也满足．‎ 综上，直线的斜率之积为定值．‎ ‎21．【解析】（1）定义域为 设 当时，，此时，从而恒成立，‎ 故函数在上是增函数，在上是增函数；‎ 当时，函数图象开口向上，对称轴，又 所以此时，从而恒成立，‎ 故函数在上是增函数，在上是增函数；‎ 当时，，设有两个不同的实根，‎ 其中，令，则 令，得或；令，得或，‎ 故函数在上是增函数，在上是增函数，在上是减函数，在上是减函数．‎ 综上，当时，函数在上是增函数，在上是增函数；‎ 当时，函数在上是增函数，在上是增函数，在上是减函数，在上是减函数，‎ ‎（2）要使在上有极值，由（1）知，①‎ 则有一变号零点在区间上，不妨设，‎ 又因为，又，‎ ‎∴只需，即，②‎ 联立①②可得：．‎ 从而与均为正数．‎ 要比较与的大小，同取自然底数的对数，‎ 即比较与的大小，再转化为比较与的大小．‎ 构造函数，则，‎ 再设，则，从而在上单调递减，‎ 此时，故在上恒成立，则在上单调递减．‎ 综上所述，当时，；‎ 当时，；‎ 当时，．‎ ‎22．【解析】（1），∴直线的普通方程为：，‎ 直线的极坐标方程为．‎ 曲线的普通方程为，因为，‎ 的参数方程为：．‎ ‎（2）直线的极坐标方程为，令，则．又，‎ ‎，‎ ‎，即时，取得最大值．‎ ‎23．【解析】（1）‎ 当时，，解得；‎ 当时，，解得；‎ 当时，，解得．‎ 综上所述，不等式的解集为．‎ ‎（2）不存在实数，使得，等价于恒成立，‎ 即恒成立．‎ 当时，，解得；‎ 当时，，解得．‎ 时，不存在实数，使得．‎