陕西省渭南市韩城市司马迁中学2020届高三全国统一招生考试数学（文）试卷 15页

数学（文）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 注意事项：‎ ‎ 1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并帖好条形码。请认真核准条形码的准考证号、姓名和科目。‎ ‎ 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合,, 则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．若（为虚数单位，），则等于（ ）‎ A. -2 B. -1 C. 1 D. 2‎ ‎（ ）‎ ‎ ‎ ‎4.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表 广告费用x（百元）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 销售额y（万元）‎ ‎0.1‎ ‎1.8‎ m ‎4‎ 根据上表可得回归方程，则m= ‎ A.2.9‎‎ B.3.0 C.3.1 D.2.8‎ ‎5.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用勾股股勾朱实黄实弦实，化简，得勾股弦．设勾股形中勾股比为，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）‎ A. 866 B. 500 C. 300 D. 134‎ ‎6．已知数列为等差数列，其前项和为，，则为（ ）‎ A. B. C. D. 不能确定 ‎7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）‎ 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）‎ A．36+12π B．36+16π C．40+12π D．40+16π ‎8.如图，直线2x+2y﹣3＝0经过函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）图象的最高点M和最低点N，则（）‎ A．ω＝，φ＝ B．ω＝π，φ＝0 C．ω＝，φ＝﹣ D．ω＝π，φ＝‎ ‎9．已知，设，y=logbc，，则x，y，z的大小关系正确的是（）‎ A．z＞x＞y B．z＞y＞ C．x＞y＞ D．x＞z＞y ‎ ‎10．函数的图像大致是（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎11．已知抛物线,过焦点且斜率为的直线与相交于两点,且两点在准线上的投影分别为两点,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知函数f（x）＝则函数g（x）＝2[f（x）]2－3f（x）－2的零点个数为 ‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ 第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.‎ ‎13．已知向量 =（3，﹣1）， =（2，1），则 在 方向上的投影为________． ‎ ‎14．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2bsin2A=3asinB，且c=2b，则等于 ‎ ‎15．《九章算术》卷第五《商功》中，有问题“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”，意思是：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，‎ 下底面宽丈，长丈；上棱长丈，无宽，高丈（如图）．‎ 问它的体积是多少? ”这个问题的答案是（ ）‎ 16． 设直线l：3x+4y+4=0，圆C：（x﹣2）2+y2=r2（r＞0），若圆C上存在两点P，Q，直线l上存在一点M，使得∠PMQ=90°，则r的取值范围是．‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn＝n（n+1）+2，其中n∈N*．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若,,（k∈N*）为等比数列{bn}的前三项，求数列{bn}的通项公式．‎ ‎18．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，E，F分别为PD，BC的中点．‎ ‎（1）求证：AE⊥PC；‎ ‎（2）G为线段PD上一点，若FG∥平面AEC，求的值．‎ ‎19．（12分）为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北、湖北，从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区．在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记．由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，如有些对象对普查有误解，配合不够主动；参与普查工作的技术人员对全新的操作平台运用还不够熟练等，这为正式普查提供了宝贵的试点经验．在某普查小区，共有50家企事业单位，150家个体经营户，普查情况如表所示：‎ 普查对象类别 顺利 不顺利 合计 企事业单位 ‎40‎ ‎50‎ 个体经营户 ‎50‎ ‎150‎ 合计 ‎（1）写出选择5个国家综合试点地区采用的抽样方法；‎ ‎（2）补全上述列联表（在答题卡填写），并根据列联表判断是否有90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”；‎ ‎（3）根据该试点普查小区的情况，为保障第四次经济普查的顺利进行，请你从统计的角度提出一条建议．‎ 附：K2＝‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.10‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎20．已知椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=8y的焦点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）已知点P（2，3），Q（2，﹣3）在椭圆上，点A、B是椭圆上不同的两个动点，且满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．‎ ‎21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝＋aln x(a≠0，a∈R)．‎ ‎(1)若a＝1，求函数f(x)的极值和单调区间；‎ ‎(2)若在区间(0，e]上至少存在一点x0，使得f(x0)＜0成立，求实数a的取值范围．‎ 请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(r>0, φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，若直线l与曲线C相切．‎ ‎(Ⅰ)求曲线C的极坐标方程；‎ ‎(Ⅱ)在曲线C上取两点M，N与原点O构成△MON，且满足∠MON＝，求△MON面积的最大值．‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知．‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若存在，使得成立，求实数的取值范围．‎ 文科数学参考答案及评分标准（二）‎ 一、 选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1、D【解析】因为，．‎ 所以，故答案选D．‎ ‎2．B.【解析】因为，则．所以 ‎，故答案选B．‎ ‎3. B ‎4.C ‎5.【答案】D 由题意，大正方形的边长为2，中间小正形的边长为，则所求黄色图形内的图钉数大约为，故选D.‎ ‎6．B【解析】，．故答案选B．‎ ‎7．【考点】L!：由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】几何体为棱柱与半圆柱的组合体，作出直观图，代入数据计算．‎ ‎【解答】解：由三视图可知几何体为长方体与半圆柱的组合体，‎ 作出几何体的直观图如图所示：‎ 其中半圆柱的底面半径为2，高为4，长方体的棱长分别为4，2，2，‎ ‎∴几何体的表面积S=π×22×2++2×4+2×4×2+2×4+2×2×2=12π+40．‎ 故选C．‎ ‎8.【解答】解：因为M．N分别是图象的最高点和最低点得M．N的纵坐标为1和﹣1，‎ 带入直线2x+2y﹣3＝0得M．N横坐标为和，‎ 故M（，1）．N（，﹣1）．‎ 得＝＝2，故T＝4＝，故ω＝．‎ M代入f（x）得1＝sin（φ），‎ 故φ＝2kπ+，‎ 所以φ＝2kπ+，k∈Z．因为|φ|＜π，所以φ＝，‎ 故选：A．‎ ‎9.【解答】解：∵，‎ ‎∴=﹣logba=﹣×=，‎ ‎2a＞3，a＞log23＞1，∈（0，1）．‎ y=logbc＜0，＞＞=，‎ ‎∴z＞x＞y．‎ 故选：A．‎ ‎10．A【解析】因为函数可化简为可知函数为奇函数关于原点对称，可排除答案C；同时有 ‎，则当 ,可知函数在处附近单调递增，排除答案B和D，故答案选A．‎ ‎11．B【解析】由题意可得直线与抛物线联解得：，‎ 所以点，，则．在中，边上的高，则，故答案选B．‎ 方法二:不防设交点在轴上方,由抛物线焦点弦性质得,‎ 且, ，故，，‎ 所以，故答案选B．‎ ‎12.【答案】B ‎【解析】依题意，当时，，故当时，，当时，，且，作出函数的大致图象如下所示；令，解得，观察可知，函数共有3个零点，故选B.‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.‎ ‎13．【答案】 【考点】平面向量数量积的运算 【解析】【解答】解： =6﹣1=5，| |= ， ∴ 在 方向上的投影为| |cos＜cos ＞=| | = = = ‎ ‎． 故答案为： ． 14．‎ ‎【解答】解：由2bsin2A=3asinB，利用正弦定理可得：4sinBsinAcosA=3sinAsinB，‎ 由于：sinA≠0，sinB≠0，‎ 可得：cosA=，‎ 又c=2b，‎ 可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+4b2﹣2b•2b•=2b2，‎ 则=．‎ ‎15.立方丈 ‎ 将该几何体分成一个直三棱柱，两个四棱锥， 即，‎ ‎ 16.【解答】解：圆C：（x﹣2）2+y2=r2，圆心为：（2，0），半径为r，‎ ‎∵在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得∠PMQ=90°，‎ ‎∴在直线l上存在一点M，使得过M作圆的两条切线，切线夹角大于等于90，‎ ‎∴只需MC⊥l时，使得过M作圆的两条切线，切线夹角大于等于900即可 ‎∵C到直线l：3x+4y+4=0的距离2，则r．‎ 个答案为：[，+∞）．‎ 三.解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17.【解答】解：（Ⅰ）当n＝1时，S1＝a1＝4，………………（2分）‎ 当n≥2时，由题意，得Sn＝n（n+1）+2，①Sn﹣1＝（n﹣1）n+2，②‎ 由①﹣②，得an＝2n，其中n≥2．………………（5分）‎ 所以数列{an}的通项公式………………（7分）‎ ‎（Ⅱ）由题意，得．………………（9分）‎ 即[2（k+2）]2＝4×2（3k+2）．‎ 解得k＝0（舍）或k＝2．………………（10分）‎ 所以公比．………………（11分）‎ 所以．………………（12分）‎ ‎18.【解答】（1）证明：∵AP⊥平面ABCD，∴AP⊥CD，‎ 在矩形ABCD中，CD⊥AD，‎ 又AP∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，‎ ‎∵AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE，‎ 在△PAD中，E为PD中点，PA=AD，∴AE⊥PD，‎ 又CD∩PD=D，CD，PD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD，‎ ‎∵PC⊂平面PCD，∴AE⊥PC ‎（2）解：‎ 取AP中点M，连接MF，MG，ME．‎ 在△PAD中，M，E分别为PA，PD的中点 则ME为△PAD的中位线∴，‎ 又，∴ME∥FC，ME=FC，∴四边形MECF为平行四边形，∴MF∥EC，‎ 又MF⊄平面AEC，EC⊂平面AEC，∴MF∥平面AEC，‎ 又FG∥平面AEC，MF∩FG=F，MF，FG⊂平面MFG，∴平面MFG∥平面AEC，‎ 又平面MFG∩平面PAD=MG，平面AEC∩平面PAD=AE，∴MG∥AE，‎ 又∵M为AP中点，∴G为PE中点，‎ 又E为PD中点，∴，即．‎ ‎19.【解答】解：（1）根据样本是由差异比较明显的几部分组成，所以应用分层抽样法； …2 分 ‎（2）根据题意填写列联表如下，‎ 普查对象类别 顺利 不顺利 合计 企事业单位 ‎40‎ ‎10‎ ‎50‎ 个体经营户 ‎100‎ ‎50‎ ‎150‎ 合计 ‎140‎ ‎60‎ ‎200‎ ‎…5 分 将列联表中的数据代入公式计算K2＝≈3.175＞2.706，‎ 所以有 90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”；…10 分 ‎（3）（意思相近即可得分）‎ 建议：加大宣传力度，消除误解因素，尤其要做好个体经营户的思想工作．…12 分 ‎20.解：（1）∵椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上，‎ ‎∴设椭圆C的方程为，a＞b＞0，‎ 离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=8y的焦点，‎ ‎∴b=2，，‎ ‎∵a2=b2+c2，∴a=4，‎ ‎∴椭圆C的方程为． ……………5分 ‎（2）当∠APQ=∠BPQ时，PA，PB的斜率之和为0，‎ 设直线PA的斜为k，则PB的斜率为﹣k，设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 设PA的直线方程为y﹣3=k（x﹣2），‎ 由，消去y并整理，得：‎ ‎（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k2）﹣48=0，‎ ‎∴，‎ 设PB的直线方程为y﹣3=﹣k（x﹣2），‎ 同理，得=， ……………8分 ‎∴，，‎ kAB==‎ ‎==，‎ ‎∴AB的斜率为定值． ……………12分 ‎21．解：(1)当a＝1时，f′(x)＝－＋＝.‎ 令f′(x)＝0，得x＝1.( 1分)‎ 又f(x)的定义域为(0，＋∞)，由f′(x)＜0得0＜x＜1，由f′(x)＞0得，x＞1.所以x＝1时，f(x)取得极小值f(1)＝1，无极大值，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．(3分)‎ ‎(2)若在区间(0，e]上存在一点x0，使得f(x0)＜0成立，即f(x)在区间(0，e]上的最小值小于0.‎ 由已知得，f′(x)＝－＋＝，且a≠0，令f′(x)＝0，得x＝，(4分)‎ 当x＝＜0，即a＜0时，f′(x)＜0恒成立，即f(x)在区间(0，e]上单调递减，(5分)‎ 故f(x)在区间(0，e]上的最小值为f(e)＝＋aln e＝＋a，(6分)‎ 由＋a＜0，得a＜－，即a∈.(7分)‎ 当x＝＞0，即a＞0时，‎ ‎①若e≤，则f′(x)≤0对x∈(0，e]恒成立，所以f(x)在区间(0，e]上单调递减，(8分)‎ 故f(x)在区间(0，e]上的最小值为f(e)＝＋aln e＝＋a＞0，显然，f(x)在区间(0，e]上的最小值小于0不成立．(9分)‎ ‎②若0＜＜e，即a＞时，则有 x f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎  极小值  所以f(x)在区间(0，e]上的最小值为f＝a＋aln ，(10分)‎ 由f＝a＋aln ＝a(1－ln a)＜0，得1－ln a＜0，解得a＞e，即a∈(e，＋∞)．(11分)‎ 综上可知，a∈∪(e，＋∞)．(12分)‎ ‎22.【解析】(Ⅰ)由题意可知直线l的直角坐标方程为y＝x＋2, ‎ 曲线C是圆心为，半径为r的圆，直线l与曲线C相切，可得：‎ r＝＝2；可知曲线C的方程为＋＝4, ‎ 所以曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ＝0，即ρ＝4sin.(5分)‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)不妨设M(ρ1，θ)，N，(ρ1>0，ρ2>0)，‎ S△MON＝sin，‎ ‎＝ρ1·ρ2＝4sin·sin＝2sin θcos θ＋2cos2 θ ‎＝sin 2θ＋cos 2θ＋＝2sin＋，‎ 当θ＝时， S△MON＝2＋，所以△MON面积的最大值为2＋.(10分)‎ ‎23．【解析】（Ⅰ）不等式等价于或 ‎ 或 ，解得或，‎ 所以不等式的解集是；‎ ‎（Ⅱ），，‎ ‎，解得实数的取值范围是．‎