青海省西宁市海湖中学2019-2020学年高二下学期第一阶段考试数学（理）试题 19页

西宁市海湖中学2019—2020学年度第二学期 高二数学（理科）第一阶段测试题 一.单选题 ‎1.若，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用空间向量坐标运算法则先求出，再由向量的模计算.‎ ‎【详解】∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查空间向量的坐标运算法则以及空间向量模的计算，属于基础题.‎ ‎2.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．‎ 甲：我的成绩比乙高．‎ 乙：丙的成绩比我和甲的都高．‎ 丙：我的成绩比乙高．‎ 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A. 甲、乙、丙 B. 乙、甲、丙 C. 丙、乙、甲 D. 甲、丙、乙 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用逐一验证的方法进行求解.‎ ‎【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3‎ 人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A．‎ ‎【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．‎ ‎3.已知，，若与共线，则实数( )‎ A. -2 B. C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间向量的坐标运算，求出与，再根据共线定理，列方程求出的值.‎ ‎【详解】∵，，‎ ‎∴，.‎ ‎∵与共线，‎ ‎∴，即.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查空间向量的坐标运算法则以及空间向量共线定理，属于基础题.‎ ‎4.若，则等于（ ）‎ A. 2 B. －‎2 ‎C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：，故选C.‎ 考点：导数的定义 ‎5.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 如图所示，补成直四棱柱，‎ 则所求角为，‎ 易得，因此，故选C．‎ 平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：‎ ‎①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；‎ ‎②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；‎ ‎③计算：求该角值，常利用解三角形；‎ ‎④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．‎ ‎6.如图，在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）中，，，则的长为（ ）‎ A. 3 B. C. 6 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量数量积的应用，由以及模的计算公式即可求出．‎ ‎【详解】因为，所以 ‎．‎ 故的长为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用向量的数量积计算线段的长度，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．‎ ‎7.如图，在边长为1的正方体中，求到平面的距离( )‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等体积法进行转换，即可求出到平面的距离.‎ ‎【详解】设到平面的距离为，则由可得：‎ ‎，‎ 即.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了利用等体积法求点到面的距离，属于基础题.‎ ‎8.设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）‎ A. B. C. -2 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的求导运算得到导函数，根据题干所给的垂直关系，得到方程，进而求解.‎ ‎【详解】由题意得，，‎ ‎∵在点处的切线与直线垂直，∴，解得，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】这个题目考查了函数的求导法则，涉及到导数的几何意义的应用，属于基础题.‎ ‎9.若函数有极值点，则导函数的图象可能是( )‎ A. ①③ B. ②③ C. ①②④ D. ②④‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依据函数在某点取得极值的条件，再结合选项中的图像即可得到答案.‎ ‎【详解】若函数有极值点，‎ 则导函数有零点，且在零点左右两侧异号.‎ 图①②④满足有零点，且在零点左右两侧异号；图③满足有零点，但在零点左右两侧同号，不满足取得极值的条件.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查可导函数取得极值点的条件，属于基础题.‎ ‎10.函数在[0,3]上的最大值和最小值分别是（ ）‎ A. 5，-15 B. 5，‎-4 ‎C. -4，-15 D. 5，-16‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出，判断在[0,3]上的单调性，再进行求解．‎ ‎【详解】，令，得或，所以当时，，即为单调递减函数，当时，，即为单调递增函数，所以，又，所以，故选A．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数最值问题，考查计算能力，属基础题 ‎11.如图所示，在长方体中，，则与平面所成角的正弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图，作出在平面上的射影，求出和，然后直接求正弦值即可 ‎【详解】如图所示，在平面内过点作的垂线，垂足为，连接.平面，的正弦值即为所求.，，.‎ ‎【点睛】本题考查线面角的计算问题，属于基础题，解题核心在于找到平面外直线在平面的射影 ‎12.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为‎105cm，头顶至脖子下端的长度为‎26 cm，则其身高可能是 A. ‎165 cm B. ‎175 cm C. ‎185 cm D. ‎‎190cm ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．‎ ‎【详解】设人体脖子下端至肚脐的长为x cm，肚脐至腿根的长为y cm，则，得．又其腿长为‎105cm，头顶至脖子下端的长度为‎26cm，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近‎175cm．故选B．‎ ‎【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．‎ 二.填空题 ‎13.用数学归纳法证明且，第一步要证的不等式是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：式子的左边应是分母从1，依次增加1，直到，所以答案为．‎ 考点：本题主要考查数学归纳法的概念及方法步骤．‎ 点评：简单题，理解式子的结构特点，计算要细心．‎ ‎14.已知，则曲线在点处的切线方程为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，求出函数的导数，计算可得的值，由导数的几何意义即可得切线的斜率，进而求出切线方程.‎ ‎【详解】由，得，‎ 则有，即曲线在点处的切线斜率，‎ 因此切线方程为，即.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查函数在某点处的切线的求法，属于基础题.‎ ‎15.如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=-x+8，则f（2018）+f'（2018）=_________. ‎ ‎【答案】-2011‎ ‎【解析】‎ 分析：由题意，函数的图象在点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数值，以内可求得，再根据切点的双重性，即切点既在曲线上又在切线上，可求得的值，即可求解答案. ‎ 详解：根据函数的图象可知，函数的图象在点处的切线切于点，‎ 所以，‎ 又由切线的方程为，‎ 所以为函数的图象在点处的切线的斜率，所以，‎ 所以. ‎ 点睛：本题主要考查了利用导数研究曲线在某点出处的切线方程，以及过曲线上某点处的切线的斜率问题，其中正确理解导数的几何意义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. ‎ ‎16.下列关于空间向量的命题中，正确的有______.‎ ‎①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；‎ ‎②若非零向量，，满足，，则有；‎ ‎③若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面；‎ ‎④若向量，，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底.‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间向量基本定理，能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此分别分析选择.‎ ‎【详解】对于①：若向量，与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即，故①正确；‎ 对于②：若非零向量，，满足，，则与不一定共线，故②错误；‎ 对于③：若，，是空间的一组基底，且，则，即，可得到，，，四点共面，故③正确；‎ 对于④：若向量，，，是空间一组基底，则空间任意一个向量，存在唯一实数组，使得，则，，也是空间的一组基底，故④正确.‎ 故答案为：①③④‎ ‎【点睛】本题主要考查空间向量基本定理，属于基础题.‎ 三.解答题 ‎17.已知函数，求的单调区间与极值.‎ ‎【答案】函数在上单调递增，在上单调递减；函数在处取得极小值，极小值为，无极大值.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 求出的导函数，利用函数单调性和极值间的关系即可求出的单调区间与极值.‎ ‎【详解】由，知函数定义域为，且.‎ 由，得，即函数在上递增；‎ 由，得，即函数在上递减；‎ 因此函数在处取得极小值，且极小值为，函数无极大值.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调性与极值，属于基础题.‎ ‎18.已知函数， ， ．‎ ‎（）若在处与直线相切，求， 的值．‎ ‎（）在（）的条件下，求在上的最大值．‎ ‎【答案】（）， ；（）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据导数的几何意义与函数值，代入即可求得a、b的值．‎ ‎(2)根据导函数的符号，判断函数的单调性，进而在定义域内求得函数的最大值．‎ ‎【详解】（）， ，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴．‎ ‎（），定义域， ‎ ‎， ，得， ，得，‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎∴在上最大值为．‎ ‎【点睛】本题考查了导函数的几何意义，利用导数研究函数的单调性与最值，属于基础题．‎ ‎19.如图，在四棱锥中，底面， ，点为棱的中点.， （1）证明： ；（2）求二面角的大小．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由题意，可得面所以, ,所以面，所以，所以；（2）建立空间直角坐标系，，，求得二面角．‎ 试题解析：‎ ‎⑴证明：取中点，连接 ‎ 分别是的中点 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 四边形是平行四边形 ‎ ‎ ‎ ‎ 面 , ‎ ‎ ‎ ‎ , ‎ ‎ 面 ‎ ‎ ‎⑵以点坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则 ‎ ‎ ‎ ‎ 设面的法向量为 由，令，即 ‎ 面的一个法向量 设二面角的大小为，则 ‎ 二面角的大小 ‎20.如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求二面角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）过作，证明，再证明，可得，再由线面平行的判定可得平面；‎ ‎（2）以为坐标原点，以垂直于得直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的正弦值.‎ ‎【详解】（1）如图，过作，则，且，‎ 又，，四边形为平行四边形，则，‎ 由，为中点，得为中点，而为中点，‎ ‎，，则四边形为平行四边形，则，‎ ‎，‎ 平面，平面，‎ 平面；‎ ‎（2）以为坐标原点，以垂直于得直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，‎ 则，，，‎ ‎，，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 由，取，得，‎ 又平面MAA1的一个法向量为，‎ ‎.‎ 二面角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查线面平行的证明，二面角的向量求法，属于中档题.‎ ‎21. （‎ 已知函数，（）‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．‎ ‎【答案】解：（1）‎ ‎…………………………………………………………………1分 当时，即时，，‎ 上递增；…………………………………………………3分 当时，即或时，，‎ 由求得两根为…………………………………5分 即在和上递增；‎ 在上递减，………………………………6分 的单调递增区间是：当时，‎ 当或时，和 的单调递减区间是：‎ 当或时，………………7分 ‎（2）（法一）由（1）知在区间上递减，‎ ‎∴只要 ‎∴解得：．‎ ‎………9分 ‎……………………………………………………………12分 ‎……………………………………………………14分 ‎【解析】‎ ‎（1）；（2）‎ ‎（1）求导：‎ 当时，，，在上递增 当，求得两根为 即在递增，递减，递增 ‎（2），且解得：‎ ‎22.已知函数，其中为常数．‎ ‎（）若函数是区间上的增函数，求实数的取值范围．‎ ‎（）若在时恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（）由题意可得，原问题等价于在区间上恒成立，结合一次函数的性质可得实数的取值范围是．‎ ‎（）原问题等价于在时恒成立，令，则，利用导函数研究函数的单调性可得，故实数的取值范围是．‎ 试题解析：‎ ‎（）由函数，得，‎ ‎∵函数是区间上的增函数，‎ ‎∴，即在区间上恒成立，‎ ‎∴当时，，‎ ‎∴．‎ ‎（）在时恒成立等价于在时恒成立，‎ 令，则，‎ ‎∵，‎ ‎∴在上单调递减，‎ ‎∵在区间上的最大值，‎ ‎∴，即实数的取值范围是．‎