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- 2021-06-16 发布
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江苏省盐城市2020届高三年级第四次模拟考试试题
第I卷(必做题,共160分)
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上.)
1.若集合A=,B=,且AB={m},则实数m的值为 .
2.已知i为虚数单位,复数z满足z(3+i)=10,则的值为 .
3.从数字0,1,2中任取两个不同的数字构成一个两位数,则所得的两位数大于10的概率为 .
4.如图所示,一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,图中小矩形从左向右所对应的区间依次为[0,50),[50,100),[100,150),[150,200),[200,250] .若一个月以30天计算,估计这家面包店一个月内这种面包的日销售量少于100个的天数为 天.
5.执行如图所示的流程图,输出k的值为 .
第4题
第5题
6.若双曲线(a>0,b>0)的渐近线为,则其离心率的值为 .
7.若三棱柱ABC—A1B1C1的体积为12,点P为棱AA1上一点,则四棱锥P—BCC1B1的体积为 .
8.“=2”是“函数的图象关于点(,0)对称”的 条件.(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一).
9.在△ABC中,C=B+,AB=AC,则tanB的值为 .
10.若数列的前n项和为,,则的值为 .
11.若集合P=,Q=,则PQ表示的曲线的长度为 .
12.若函数的图象上存在关于原点对称的相异两点,则实数m的最大值是 .
13.在△ABC中,AB=10,AC=15,∠A的平分线与边BC的交点为D,点E为边BC的中点,若=90,则的值是 .
14.若实数x,y满足4x2+4xy+7y2=l,则7x2﹣4xy+4y2的最小值是 .
二、解答题(本大题共6小题,共计90分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(本小题满分14分)
若函数(M>0,>0,0<<)的最小值是﹣2,最小正周期是2,且图象经过点N(,1).
(1)求的解析式;
(2)在△ABC中,若,,求cosC的值.
16.(本小题满分14分)
如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是菱形,PC⊥BC,点E是PC的中点,且平面 PBC⊥平面ABCD.求证:
(1)求证:PA∥平面BDE;
(2)求证:平面PAC⊥平面BDE.
17.(本小题满分14分)
如图,在一旅游区内原有两条互相垂直且相交于点O的道路l1,l2,一自然景观的边界近似为圆形,其半径约为1千米,景观的中心C到l1,l2的距离相等,点C到点O的距离约为 10千米.现拟新建四条游览道路方便游客参观,具体方案:在线段OC上取一点P,新建一条道路OP,并过点P新建两条与圆C相切的道路PM,PN(M,N为切点),同时过点P新建一条与OP垂直的道路AB(A,B分别在l1,l2上).为促进沿途旅游经济,新建道路长度之和越大越好,求新建道路长度之和的最大值.(所有道路宽度忽略不计)
18.(本小题满分16分)
如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆C:(a>b>0)的短轴长为2,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,过点F2的动直线与椭圆交于点P,Q,过点F2与PQ垂直的直线与椭圆C交于A、B两点.当直线AB过原点时,PF1=3PF2.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若点H(3,0),记直线PH,QH,AH,BH的斜率依次为,,,.①若,求直线PQ的斜率;②求的最小值.
19.(本小题满分16分)
如果存在常数k使得无穷数列满足恒成立,则称为P(k)数列.
(1)若数列是P(1)数列,,,求;
(2)若等差数列是P(2)数列,求数列的通项公式;
(3)是否存在P(k)数列,使得,,,…是等比数列?若存在,请求出所有满足条件的数列;若不存在,请说明理由.
20.(本小题满分16分)
设函数.
(1)若a=0时,求函数的单调递增区间;
(2)若函数在x=1时取极大值,求实数a的取值范围;
(3)设函数的零点个数为m,试求m的最大值.
第II卷(附加题,共40分)
21.【选做题】本题包括A,B,C三小题,请选定其中两题作答,每小题10分共计20分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
A.选修4—2:矩阵与变换
已知矩阵A=,若矩阵A属于特征值3的一个特征向量为,求该矩阵属于另一个特征值的特征向量.
B.选修4—4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,已知直线l:(m为实数),曲线C:,当直线l被曲线C截得的弦长取得最大值时,求实数m的值.
C.选修4—5:不等式选讲
已知实数x,y,z满足,求的最小值.
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
如图,抛物线C:(p>0)的焦点为F,过点P(2,0)作直线l与抛物线交于A,B两点,当直线l与x轴垂直时AB的长为.
(1)求抛物线的方程;
(2)若△APF与△BPO的面积相等,求直线l的方程.
23.(本小题满分10分)
若有穷数列共有k项(k≥2),且,,当1≤r≤k﹣1时恒成立.设.
(1)求,;
(2)求.
参考答案
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8.充分不必要 9. 10. 11. 12. 13. 14.
二、解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.
15.解析:(1)因为的最小值是-2,所以M=2. ………2分
因为的最小正周期是,所以, ………4分
又由的图象经过点,可得, ,
所以或,k∈Z,
又,所以,故,即.……………6分
(2) 由(1)知,又,,
故,即,
又因为△中,,
所以,,……10分
所以
. ………14分
16.证明:(1)设,连结, 因为底面是菱形,故为中点,
又因为点是的中点,所以. ……2分
又因为平面BDE,平面BDE, 所以平面BDE.………………6分
A
B
P
C
D
E
O
(2) 因为平面平面,,平面平面,平面,
所以平面. ………………9分
又平面,所以.
∵是菱形,∴,
又,,平面,平面,
所以平面. ……………12分
又平面,所以平面平面. ………14分
17.解析:连接CM,设,则,,
,,
设新建的道路长度之和为,
则,……6分
由得,设,,
则,,,
令得,…10分
设,,
的情况如下表:
+
0
-
↗
极大
↘
由表可知时有最大值,
此时,,,. ……………13分
答:新建道路长度之和的最大值为千米. ………14分
注:定义域扩展为,求出最值后验证也可.
18.解析:(1)因为椭圆的短轴长为2,所以,
当直线过原点时,轴,所以为直角三角形,
由定义知,而,故,
由得,化简得,
故椭圆的方程为. ……………4分
(2)①设直线,代入到椭圆方程得:,
设,则,………6分
所以,
化简可得, ………10分
解得:或,即为直线PQ的斜率. ……………12分
②当这两条直线中有一条与坐标轴垂直时,,
当两条直线与坐标轴都不垂直时,
由①知,同理可得, ………14分
故当且仅当即时取等号.
综上,的最小值为. ……16分
19.解析:(1)由数列是数列得,可得.………2分
(2)由是数列知恒成立,取得恒成立,
当时满足题意,此时,
当时,由可得,取得,
设公差为,则解得或者,
综上,或或,经检验均合题意.………………………………8分
(3)方法一:假设存在满足条件的数列,不妨设该等比数列的公比为,
则有,可得,①
,可得,②
综上①②可得, ………………………………10分
故,代入得,则当时,…………12分
又,
当时,不妨设,且为奇数,
由,
而,所以,,,
综上,满足条件的数列有无穷多个,其通项公式为.………………………………16分
方法二:同方法一得,当时,
当时,,而,,故,以下同方法一.
方法三:假设存在满足条件的数列,显然的所有项及k均不为零,,
不妨设该等比数列的公比为,
当时,,,两式相除可得,
故当时也为等比数列, ……………10分
故,则,,由得,且当时,……………………12分
则,,∴,∴,
故当时,
综上,满足条件的数列有无穷多个,其通项公式为.…………16分
20.解析:(1)当时,,所以,…1分
由得,当时,;当时,,
所以函数的单调增区间为. ……3分
(2)由题意得,
令,则,
当即时,恒成立,得在上递减,在上递增,所以是函数的极小值点;
当即时,此时恒成立,在上递减,在上递增,所以是函数的极小值点;
当即或时,易得在上递减,在上递增,所以是函数的极小值点; ……6分
当时,解得或(舍),
当时,设的两个零点为,所以,不妨设,
又,所以,故,
当时,;当时,;当时,;
当时,;∴在上递减,在上递增,在上递减,在上递增;所以是函数极大值点.
综上所述. ……10分
(3)①由(2)知当时,函数在上单调递减,在上单调递增,故函数
至多有两个零点,欲使有两个零点,需,得,
此时,,
当时,,此时函数在上恰有1个零点;…12分
又当时,,
由(1)知在上单调递增,
所以,故此时函数在恰有1个零点;
由此可知当时,函数有两个零点. ……14分
②当时,由(2)知在上递减,在上递增,在上递减,在上递增;
而,所以,
此时函数也至多有两个零点.
综上①②所述,函数的零点个数的最大值为2. …16分
附加题答案
21A.解:由题意知,所以,即,…………4分
所以矩阵的特征多项式,
由,解得或, …………8分
当时,,令,则,
所以矩阵的另一个特征值为,对应的一个特征向量为. …………10分
21B.解:由题意知直线的直角坐标方程为, …………2分
又曲线的极坐标方程,即,
所以曲线的直角坐标方程为,
所以曲线是圆心为的圆, …………8分
当直线被曲线截得的弦长最大时,得,解得.………10分
21C.解:由柯西不等式有, …6分
所以(当且仅当即,
时取等号), …………8分
所以的最小值是. ………10分
22.解:(1)当直线与轴垂直时的长为,又,取,…………1分
所以,解得,所以抛物线的方程为. ……2分
(2)由题意知,,
因,所以, ………4分
当时,直线与抛物线不存在两个交点,所以,
故设直线的方程为,代入抛物线方程得,
所以,, ………6分
当时,,,所以,,
所以,直线的方程为,…………8分
当时,同理可得直线的方程为,
综上所述,直线的方程为. ………10分
23.解:(1)当时,,由,得,,…1分
当时,或,由,得,
由,得,. ………3分
(2)因,由累乘法得,
所以,……5分
所以, ………6分
当时,也适合,
所以, ……8分
即,
所以. ………10分