2018届二轮复习 立体几何 课件（全国通用） 28页

立体几何 高考定位 　 高考对本内容的考查主要有： (1) 空间概念，空间想象能力，点线面位置关系判断，表面积与体积计算等， A 级要求； (2) 线线、线面、面面平行与垂直的证明， B 级要求；证明或探究空间中线线、线面、面面平行与垂直的位置关系，一要熟练掌握所有判定定理与性质定理，梳理好几种位置关系的常见证明方法，如证明线面平行，既可以构造线线平行，也可以构造面面平行．而证明线线平行常用的是三角形中位线性质，或构造平行四边形；二要用分析与综合相结合的方法来寻找证明的思路；三要注意表述规范，推理严谨，避免使用一些虽然正确但不能作为推理依据的结论． 真 题 感 悟 1. (2015· 江苏卷 ) 现有橡皮泥制作的底面半径为 5 ，高为 4 的圆锥和底面半径为 2 、高为 8 的圆柱各一个 . 若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 ________. 2. (2015· 江苏卷 ) 如图，在直三棱柱 ABCA 1 B 1 C 1 中，已知 AC ⊥ BC ， BC ＝ CC 1 . 设 AB 1 的中点为 D ， B 1 C ∩ BC 1 ＝ E . 求证： (1) DE ∥ 平面 AA 1 C 1 C ； (2) BC 1 ⊥ AB 1 . 考 点 整 合 1. 四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系 . 3. 直线、平面平行的判定及其性质 (1) 线面平行的判定定理： a ⊄ α ， b ⊂ α ， a ∥ b ⇒ a ∥ α . (2) 线面平行的性质定理： a ∥ α ， a ⊂ β ， α ∩ β ＝ b ⇒ a ∥ b . (3) 面面平行的判定定理： a ⊂ β ， b ⊂ β ， a ∩ b ＝ P ， a ∥ α ， b ∥ α ⇒ α ∥ β . (4) 面面平行的性质定理： α ∥ β ， α ∩ γ ＝ a ， β ∩ γ ＝ b ⇒ a ∥ b . 4. 直线、平面垂直的判定及其性质 (1) 线面垂直的判定定理： m ⊂ α ， n ⊂ α ， m ∩ n ＝ P ， l ⊥ m ， l ⊥ n ⇒ l ⊥ α . (2) 线面垂直的性质定理： a ⊥ α ， b ⊥ α ⇒ a ∥ b . (3) 面面垂直的判定定理： a ⊂ β ， a ⊥ α ⇒ α ⊥ β . (4) 面面垂直的性质定理： α ⊥ β ， α ∩ β ＝ l ， a ⊂ α ， a ⊥ l ⇒ a ⊥ β . 探究提高 　 涉及柱、锥、台、球及其简单组合体的侧面积和体积的计算问题，要在正确理解概念的基础上，画出符合题意的图形或辅助线 ( 面 ), 分析几何体的结构特征 , 选择合适的公式，进行计算 . 另外要重视空间问题平面化的思想和割补法、等积转换法的运用 . 【训练 1 】 (1) (2015· 苏、锡、常、镇调研 ) 如图，正方体 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 1 ， E ， F 分别为线段 AA 1 ， B 1 C 上的点，则三棱锥 D 1 EDF 的体积为 ________. (2) (2013· 江苏卷 ) 如图，在三棱柱 A 1 B 1 C 1 ABC 中， D ， E ， F 分别是 AB ， AC ， AA 1 的中点，设三棱锥 F ADE 的体积为 V 1 ，三棱柱 A 1 B 1 C 1 ABC 的体积为 V 2 ，则 V 1 ∶ V 2 ＝ ______. 热点二　空间中点线面位置关系的判断问题 【例 2 】 (2015· 安徽卷改编 ) 已知 m ， n 是两条不同直线， α ， β 是两个不同平面，给出以下命题： ① 若 α ， β 垂直于同一平面，则 α 与 β 平行； ② 若 m ， n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行； ③ 若 α ， β 不平行，则在 α 内不存在与 β 平行的直线； ④ 若 m ， n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 . 则上述命题错误的是 ________( 填序号 ). 解析　 对于 ① ， α ， β 垂直于同一平面， α ， β 关系不确定， ① 错；对于 ② ， m ， n 平行于同一平面， m ， n 关系不确定，可平行、相交、异面，故 ② 错；对于 ③ ， α ， β 不平行，但 α 内能找出平行于 β 的直线，如 α 中平行于 α ， β 交线的直线平行于 β ，故 ③ 错；对于 ④ ，若假设 m ， n 垂直于同一平面，则 m ∥ n ，其逆否命题即为 ④ 选项，故 ④ 正确 . 答案　 ①②③ 探究提高 　长方体 ( 或正方体 ) 是一类特殊的几何体，其中蕴含着丰富的空间位置关系 . 因此，对于某些研究空间直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行、垂直关系问题，常构造长方体 ( 或正方体 ) ，把点、线、面的位置关系转移到长方体 ( 或正方体 ) 中，对各条件进行检验或推理，根据条件在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，判断条件的真伪，可使此类问题迅速获解 . 【训练 2 】 设 l 是直线， α ， β 是两个不同的平面， ① 若 l ∥ α ， l ∥ β ，则 α ∥ β ； ② 若 l ∥ α ， l ⊥ β ，则 α ⊥ β ； ③ 若 α ⊥ β ， l ⊥ α ，则 l ⊥ β ； ④ 若 α ⊥ β ， l ∥ α ，则 l ⊥ β . 则上述命题中正确的是 ________. 解析　 利用线与面、面与面的关系定理判定，用特例法 . 设 α ∩ β ＝ a ，若直线 l ∥ a ，且 l ⊄ α ， l ⊄ β ，则 l ∥ α ， l ∥ β ，因此 α 不一定平行于 β ，故 ① 错误；由于 l ∥ α ，故在 α 内存在直线 l ′ ∥ l ，又因为 l ⊥ β ，所以 l ′ ⊥ β ，故 α ⊥ β ，所以 ② 正确；若 α ⊥ β ，在 β 内作交线的垂线 l ，则 l ⊥ α ，此时 l 在平面 β 内，因此 ③ 错误；已知 α ⊥ β ，若 α ∩ β ＝ a ， l ∥ a ，且 l 不在平面 α ， β 内，则 l ∥ α 且 l ∥ β ，因此 ④ 错误 . 答案　 ② 热点三　线线、线面、面面平行与垂直的证明问题 【例 3 】 (2014· 江苏卷 ) 如图，在三棱锥 P ABC 中， D ， E ， F 分别为棱 PC ， AC ， AB 的中点 . 已知 PA ⊥ AC ， PA ＝ 6 ， BC ＝ 8 ， DF ＝ 5. 求证： (1) 直线 PA ∥ 平面 DEF ； (2) 平面 BDE ⊥ 平面 ABC . 探究提高 　 垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型 . (1) 证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行 . (2) 证明线面垂直，需转化为证明线线垂直 . (3) 证明线线垂直，需转化为证明线面垂直 . (4) 证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直 . 【训练 3 】 (2013· 江苏卷 ) 如图，在三棱锥 SABC 中，平面 SAB ⊥ 平面 SBC ， AB ⊥ BC ， AS ＝ AB . 过点 A 作 AF ⊥ SB ，垂足为 F ，点 E ， G 分别是棱 SA ， SC 的中点 . 求证： (1) 平面 EFG ∥ 平面 ABC ； (2) BC ⊥ SA . 证明　 (1) 因为 AS ＝ AB ， AF ⊥ SB ，垂足为 F ，所以 F 是 SB 的中点 . 又因为 E 是 SA 的中点，所以 EF ∥ AB . 因为 EF ⊄ 平面 ABC ， AB ⊂ 平面 ABC ，所以 EF ∥ 平面 ABC . 同理 EG ∥ 平面 ABC . 又 EF ∩ EG ＝ E ，所以平面 EFG ∥ 平面 ABC . (2) 因为平面 SAB ⊥ 平面 SBC ，且交线为 SB ，又 AF ⊂ 平面 SAB ， AF ⊥ SB ，所以 AF ⊥ 平面 SBC . 因为 BC ⊂ 平面 SBC ，所以 AF ⊥ BC . 又因为 AB ⊥ BC ， AF ∩ AB ＝ A ， AF ⊂ 平面 SAB ， AB ⊂ 平面 SAB ，所以 BC ⊥ 平面 SAB . 因为 SA ⊂ 平面 SAB ，所以 BC ⊥ SA . 1. 求解几何体的表面积或体积 (1) 对于规则几何体，可直接利用公式计算 . (2) 对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解 . (3) 求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用 . (4) 注意几何体的表面积与侧面积的区别，侧面积只是表面积的一部分，不包括底面积，而表面积包括底面积和侧面积 . 5. 垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下： (1) 证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换：三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换 . (2) 证明线线垂直常用的方法： ① 利用等腰三角形底边中线即高线的性质； ② 勾股定理； ③ 线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可， l ⊥ α ， a ⊂ α ⇒ l ⊥ a . 6. 在应用直线和平面平行的性质定理时，要防止出现 “ 一条直线平行于一个平面就平行于这个平面内的所有直线 ” 的错误 .