山西省朔州市怀仁县怀仁一中云东校区2019-2020学年高二下学期期中考试数学文科试题 7页

数学试题（文）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 ）‎ ‎1.已知集合 ,，则（ ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.设复数z满足，则=（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3.极坐标系中，圆到直线的距离最大值为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表： ‎ 广告费用(万元）‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 销售额 (万元）‎ ‎49‎ ‎26‎ ‎39‎ ‎54‎ 根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）‎ A． 63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元 ‎6.用反证法证明结论为“自然数中恰有一个偶数”的某命题时，应假设（ ）‎ A．都是奇数 B．都是偶数 ‎ ‎ C．中至少有两个偶数 D．中至少有两个偶数或都是奇数 ‎7.在平面几何中，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的.”拓展到空间中，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.化极坐标方程为直角坐标方程为( 　)‎ A． B． C． D．‎ ‎ A．[2，+∞） B．（1，2） C．（1，2] D．（2，+∞）‎ ‎10.已知函数满足，且的导函数，则的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11、已知定点（2，3），为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，则 的最小值为 （ ）‎ A.5 B.4.5 C.3.5 D.不能确定 ‎ ‎12、函数在点处的切线率2，则 的最小值是（ ）‎ A．10 B．9 C．8 D．‎ 二、 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13.若复数是纯虚数，则实数a的值为 .‎ ‎14.函数f（x）=x-lnx的单调减区间为 ．‎ ‎16.已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数 的图象如图所示.下列关于的命题：‎ ‎0‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎①函数的极大值点为，；②函数在上是减函数；‎ ‎③如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；‎ ‎④当时，函数有个零点。‎ 其中正确命题的个数有 个.‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17.（10分）在直角坐标系中，圆的方程为，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求圆的极坐标方程；‎ ‎（2）直线与圆交于点，求线段的长.‎ ‎18.（12分）在直角坐标系中，直线，圆,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求，的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求的面积．‎ ‎19.（12分）为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，调查了105个样本，统计结果为：服药的共有55个样本，服药但患病的仍有10个样本，没有服药且未患病的有30个样本． （1）根据所给样本数据完成2×2列联表中的数据； （2）请问能有多大把握认为药物有效？ ‎ ‎21.（12分）已知顶点为O的抛物线y2=2x与直线y=k（x﹣2）相交于不同的A，B两点．‎ ‎（1）求证：OA⊥OB；‎ ‎（2）当k=时，求△OAB的面积．‎ ‎22（12分）已知函数.‎ （1） 求函数的的单调区间；‎ ‎（2）若恒成立，试确定实数的取值范围.‎ 文科数学答案 一． 选择题DCBCB DBCAD CB 二． 填空题13. 1 14. 15. 16. 2‎ 三．解答题 ‎17.【答案】（1）；（2）.‎ 试题分析：（1）由，得到圆的极坐标方程；（2）将直线的极坐标方程代入，得到，所以.‎ 试题解析：（1）可化为，‎ 故其极坐标方程为.‎ ‎（2）将代入，得，‎ ‎∴，，∴.‎ ‎18.【答案】(1),；(2)．‎ 试题分析：(1)利用把普通方程化为极坐标方程；(2)利用直线参数方程的几何意义,求出,再算出的面积．‎ 试题解析：（1）因为的极坐标方程为,的极坐标方程为．‎ ‎（2）将代入,得，解得,因为的半径为，则的面积．‎ ‎19.解：（1）解依据题意得，服药但没有病的45人，没有服药且患病的20可列下列22联表 ‎ ‎ ‎ 患病 ‎ 不患病 ‎ 合计 ‎ 服药 ‎ 10‎ ‎ 45‎ ‎ 55‎ ‎ 没服药 ‎ 20‎ ‎ 30‎ ‎ 50‎ ‎ 合计 ‎ 30‎ ‎ 75‎ ‎ 105‎ ‎（2）假设服药和患病没有关系，则Χ2的观测值应该很小，而Χ2==6.109．6.109＞5.024，由独立性检验临界值表可以得出，有97.5%的把握药物有效．‎ ‎20.解　(1)因为椭圆C：x‎2‎a‎2‎＋y‎2‎b‎2‎＝1(a>b>0)过点(1，‎3‎‎2‎)，所以‎1‎a‎2‎＋‎9‎‎4b‎2‎＝1.①又因为离心率为‎1‎‎2‎，所以ca＝‎1‎‎2‎，所以b‎2‎a‎2‎＝‎3‎‎4‎.②解①②得，a2＝4，b2＝3.所以椭圆C的方程为x‎2‎‎4‎＋y‎2‎‎3‎＝1.‎ ‎(2)当直线的倾斜角为时，A(－1，‎3‎‎2‎)，B(－1，－‎3‎‎2‎)，＝‎1‎‎2‎|AB|×|F1F2|＝‎1‎‎2‎×3×2＝3≠‎12‎‎2‎‎7‎.‎ 当直线的倾斜角不为时，设直线方程为y＝k(x＋1)，代入x‎2‎‎4‎＋y‎2‎‎3‎＝1，得(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－‎8k‎2‎‎4k‎2‎‎+3‎，x1x2＝‎4k‎2‎‎-12‎‎4k‎2‎‎+3‎，所以＝‎1‎‎2‎|y1－y2|×|F1F2|‎ ‎＝|k|x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎‎-4‎x‎1‎x‎2‎＝|k|‎-‎‎8k‎2‎‎4k‎2‎‎+3‎‎2‎‎-4路‎4k‎2‎‎-12‎‎4k‎2‎‎+3‎＝‎12‎kk‎2‎‎+1‎‎4k‎2‎‎+3‎＝‎12‎‎2‎‎7‎，所以17k4＋k2－18＝0，‎ 解得k2＝1(k2＝－‎18‎‎17‎舍去)，所以k＝±1，所以所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.‎ ‎21.解：（1）证明：将直线y=k（x﹣2）代入抛物线的方程y2=2x，‎ 消去y可得，k2x2﹣（4k2+2）x+4k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=4+，x1x2=4，y1y2=k2（x1﹣2）（x2﹣2）=k2[x1x2+4﹣2（x1+x2）]=k2（4+4﹣8﹣）=﹣4‎ 即有x1x2+y1y2=0，则=0，即有OA⊥OB；‎ ‎（2）因为k=，由（1）可得x1=1，x2=4，代入直线方程可得y1=﹣，y2=2，‎ ‎∴A（1，﹣），B（4，2），∴|OA|==，|OB|==2，‎ ‎∴S△OAB=|OA||OB|=××2=3．‎ ‎22.【答案】（1）当时，在上是增函数，当时，在 上是增函数，在上是减函数；（2）．‎ 试题解析：（1）函数的定义域为，‎ 当时，在上是增函数，‎ 当时，若时，有，‎ 若时，有，则在上是增函数，在上是减函数.‎ ‎（2）由（1）知时，在上是增函数，而不成立，故，又由（1）知的最大值为，要使恒成立，则即可，‎ 即，得.‎