新疆维吾尔自治区2019届高三第三次毕业诊断及模拟测试文科数学试题 21页

‎2019年高三年级第三次毕业诊断及模拟测试 文科数学试卷（问卷）‎ ‎（卷面分值：150分；考试时间：120分钟）‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.‎ ‎1.( )‎ A. i B. -i C. 0 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法运算，即得解.‎ ‎【详解】化简：‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.‎ ‎2.已知集合,集合,那么集合( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由交集的定义即得解.‎ ‎【详解】集合,集合,由交集的定义：‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了集合交集的运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.‎ ‎3.双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线，求得，再由离心率的公式，即可求解．‎ ‎【详解】由双曲线，可得，则，‎ 所以双曲线的离心率为，故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质求解，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎4.函数在上零点的个数是（ ）‎ A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，即，即，解得，再由，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由函数，令，即，即，‎ 所以，‎ 又由，所以，‎ 即函数在上有4个零点，故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，以及三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记函数零点的定义，准确利用正切函数的性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎5.运行如图所示的程序框图若输出的s的值为55则在内应填入( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序框图的循环条件，依次计算，即得解 ‎【详解】初始： ；‎ ‎，不满足条件；，不满足条件；‎ ‎，不满足条件；，不满足条件；‎ ‎，不满足条件；，不满足条件；‎ ‎，不满足条件；，不满足条件；‎ ‎，不满足条件；，满足输出条件；‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了程序框图的循环结构，考查了学生逻辑推理，数学运算能力，属于中档题.‎ ‎6.函数图象可能为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数定义域，函数为奇函数，，结合分析即得解.‎ ‎【详解】函数定义域：，在无定义，排除C，‎ 由于，故函数为奇函数，关于原点对称，排除B，‎ 且，故排除D 故选：A ‎【点睛】本题考查了由函数解析式研究函数性质辨别函数图像，考查了学生综合分析，数形结合的能力，属于中档题.‎ ‎7.已知,则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式，以及二倍角公式，即得解.‎ ‎【详解】由诱导公式：，‎ 再由二倍角公式：‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了诱导公式，二倍角公式综合应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.‎ ‎8.已知等比数列的各项均为正数,且,则( )‎ A. 6 B. ‎9 ‎C. 18 D. 81‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由对数运算律：，可得解，由等比中项的性质，‎ ‎，即得解.‎ ‎【详解】由于 由等比中项的性质，‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.‎ ‎9.偶函数在上是减函数，且，则满足的实数x的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用偶函数的定义把不等式变形后用单调性求解．‎ ‎【详解】∵是偶函数，，∴不等式可化为，‎ 又在上是减函数，∴，∴．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，属于基础题．‎ ‎10.已知抛物线的焦点为F准线为1,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,且Q位于第四象限,过Q作l的垂线QE,垂足为E,若PF的倾斜角为60°,则的面积是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 表示PF方程为,与抛物线方程联立，求解Q点坐标，求解面积.‎ ‎【详解】‎ 由已知条件抛物线的准线为，焦点为,‎ 直线PF倾斜角为60°,故斜率，方程为：‎ 代入抛物线方程可得：‎ 解得：‎ 由于Q在第四象限 故选：A ‎【点睛】本题考查了直线和抛物线综合，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.‎ ‎11.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等腰直角三角形，网格纸上的小正方形边长为1，则该几何体的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 还有出原几何体，找到外接球球心，求出半径可得表面积．‎ ‎【详解】由三视图知原几何体是三棱锥，其中平面与底面垂直，如图，是等腰直角三角形，记是斜边中点，则是外心，，则，由面面垂直的性质知平面，外接球球心在上，设，则同三视图提供的尺寸得，．∴．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查球的表面积，解题关键是确定三棱锥外接球球心．三棱锥外接球球心一定在过各面外心用与此面垂直的直线上．‎ ‎12.已知函数,,若与的图象上分别存在点M,N,使得点M,N关于直线对称,则实数k的取值范围是( )‎ A B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意与的图象上分别存在点M,N,使得点M,N关于直线对称，即，等价于，数形结合求解.‎ ‎【详解】由于与的图象上分别存在点M,N,使得点M,N关于直线对称,则 ‎，即 所以指数函数与在恒有交点 当直线与相切时，由于，设切点 此时切线方程：过（0，0）‎ 因此：‎ 数形结合可知：或时，与有交点 又要求在恒有交点，‎ 由图像，当时，，当时，‎ 综上：解得 故选：D ‎【点睛】本题考查了函数的对称性问题，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算能力，属于较难题.‎ 本卷包括必考题和选考题两部分第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22-23题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二、填空题 ‎13.已知向量,,且,则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量平行的坐标表示，计算即得解.‎ ‎【详解】由于向量,,且,‎ 由向量平行的坐标表示，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了向量平行坐标表示，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.‎ ‎14.若实数，满足，则的最小值为______.‎ ‎【答案】-3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出不等式组所表示的平面区域，结合图象，确定目标函数的最优解，代入即可求解．‎ ‎【详解】由题意，画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，‎ 目标函数，可化为直线，‎ 直线过点A时，此时直线在y轴上的截距最小，目标函数取得最小值，‎ 又由，解得，‎ 所以目标函数的最小值为．‎ ‎【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．‎ ‎15.中国最早的一部数学著作《周髀算经》的开头就记载了利用赵爽弦图证明了勾股定理，赵爽弦图（如图所示）是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成若在大正方形中随机取一点该点落在阴影部分的概率为，则直角三角形中较小角的正切值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设大正方形边长为1，由概率求得小正方形边长，然后由勾股定理求出直角三角形的边长可得．‎ ‎【详解】如图，设大正方形边长为1，则，，由题意，∴，解得，‎ ‎∴．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查几何概型的应用，考查数学文化，培养了学生的阅读理解能力，分析问题解决问题的能力．‎ ‎16.已知长方体，，，在上取一点M，在上取一点N，使得直线平面，则线段MN的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以为轴建立空间直角坐标系发，写出各点坐标，求出平面的法向量，由向量与平面的法向量垂直可得关系式，从而表示出的模，然后可求得最小值．‎ ‎【详解】如图，以为轴建立空间直角坐标系，‎ 则，‎ ‎，，设平面的一个法向量为，‎ 则，取，则，即，‎ 又，，，‎ 设，，则，‎ ‎，‎ 当，即时，取得最小值，即的长度的最小值为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查用向量法研究直线与平面平行，考查向量模的坐标表示．解题关键是建立空间直角坐标系，把线面平行转化为直线的方向向量与平面的法向量垂直，把向量的模用坐标表示后求得最小值．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知为数列的前n项和满足，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式 ‎（2）设，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）时，利用得出数列的递推关系，得出数列是等差数列，从而可求得通项公式；‎ ‎（2）用错位相减法求各．‎ 详解】解：（1）当时，有，‎ 两式相减得 ‎∵∴即 ‎∴为等差数列.‎ 由已知得∴‎ ‎（2）∵‎ ‎∴‎ 两式相减得 ‎∴‎ ‎【点睛】本题考查由和的关系式求通项公式，考查错位相减法求数列的和．在已知和的关系时，通过由得出数列的递推关系，再确定数列的性质．注意．‎ ‎18.‎ 某校高三共有1000位学生，为了分析某次的数学考试成绩，采取随机抽样的方法抽取了50位高三学生的成绩进行统计分析，得到如图所示频数分布表：‎ 分组 频数 ‎3‎ ‎11‎ ‎18‎ ‎12‎ ‎6‎ ‎（1）根据频数分布表计算成绩在的频率并计算这组数据的平均值（同组的数据用该组区间的中点值代替）；‎ ‎（2）用分层抽样的方法从成绩在和的学生中共抽取5人，从这5人中任取2人，求成绩在和中各有1人的概率.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频率分布表知成绩在内的人数，即可求解其概率，再根据平均数的计算公式，即可求解平均数；‎ ‎（2）根据分层抽样得应在和中分别抽取3人和2人，利用列举法求得基本事件的总数和所求事件包含基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解．‎ ‎【详解】（1）根据频率分布表知成绩在内的概率为，‎ ‎.‎ ‎（2）根据分层抽样得应在和中分别抽取3人和2人，将中的3人编号为1，2，3，将中的2人编号为，，则此事件中的所有基本事件为，，，，，，，，，，共10个，‎ 记成绩在和中各有1人为事件，事件包含的基本事件有6个，‎ 则.‎ ‎【点睛】本题主要考查了频率分布表的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中熟记频率分布表中的频率与平均数的计算公式，以及准确利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎19.如图1，在梯形中，，，，过，分别作的垂线，垂足分别为，，已知，，将梯形沿，同侧折起，使得平面平面，平面平面，得到图2.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，取中点，连接，证得，且，得到四边形为平行四边形，得出，利用线面平行的判定定理，即可证得平面.‎ ‎（2）证得，得到点到平面的距离等于点到平面的距离，再利用锥体的体积公式，即可求解.‎ ‎【详解】（1）设，取中点，连接，‎ ‎∵四边形为正方形，∴为中点，‎ ‎∵为中点，∴且，‎ 因为平面平面，平面平面，，‎ 平面，所以平面，‎ 又∵平面平面，∴平面平面，同理，平面，‎ 又∵，，∴，‎ ‎∴，且，∴四边形为平行四边形，∴，‎ ‎∵平面，平面，∴平面.‎ ‎（2）因为，平面，平面，所以 ‎∴点到平面的距离等于点到平面的距离.‎ ‎∴三棱锥的体积公式，可得.‎ ‎【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，以及三棱锥的体积的计算，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及合理利用等体积法求解三棱锥的体积，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．‎ ‎20.已知点，动点P到直线的距离与动点P到点F的距离之比为.‎ ‎（1）求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎（2）过点F作任一直线交曲线C于A,B两点，过点F作AB的垂线交直线于点N；求证：ON平分线段AB.‎ ‎【答案】（1）.（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，几何关系代数化，得到，化简即得解；‎ ‎（2）设AB的直线方程为，与椭圆联立得到M点坐标，表示直线ON方程，验证M在ON上即可.‎ ‎【详解】（1）设,则 化简得 ‎（2）设AB的直线方程为 则NF的直线方程为 联立得 ‎∴直线ON的方程为 联立得 设,,则 设AB的中点为,则 ‎∴‎ ‎∴‎ 将点M坐标代入直线ON的方程 ‎∴点M在直线ON上 ∴点M平分线段AB ‎【点睛】本题考查了直线和圆锥曲线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.‎ ‎21.已知函数（且）‎ ‎（1）若在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若有两个不同的极值点，记过点，的直线的斜率为k，求证：.‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由在上恒成立，再转化为求函数最值．‎ ‎（2）由（1）知时函数有两个极值点，，不妨设，从而有，求出，并凑配出，这样只要证明，再利用函数在单调性可证明．‎ ‎【详解】解：定义域，‎ 由在定义域内单调递增，等价于对任意，都有，‎ 即恒成立，而，‎ 故，又，所以.‎ ‎（2）定义域，设，其判别式，当时，由（1）得由在定义域内单调递增，无极值点，‎ 当时，，两根为，，当时，上；当时，；当时，.故在单调递增，在单调递减.即是函数的极值点，不妨设，则且.‎ ‎，所以 ‎，而，‎ 而且得，故，所以，.‎ 设，（），而，‎ 所以在上单调递增，所以，而，故.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查用导数研究函数的单调性，用导数研究函数极值点的问题，解题时需确定存在两个极值点的条件，极值点的关系，以便转化为一元函数，再由函数的知识获得证明．‎ 选考题：请考生在第22，23题中任选一题作答注意只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分.‎ ‎22.已知在极坐标系中,直线l的极坐标方程为,曲线C的极坐标方程为.以极点为原点极轴为x轴正半轴,建立平面直角坐标系.‎ ‎（1）写出直线l和曲线C的直角坐标方程;‎ ‎（2）已知过点且与直线l平行的直线与曲线C交于P,Q两点,求的值.‎ ‎【答案】（1）;.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用极坐标与直角坐标方程的互化公式，即得解直线l和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）表示直线l的参数方程与圆联立，利用t的几何意义，，借助韦达定理即得解.‎ ‎【详解】（1）由于 由于;‎ ‎（2）设过点且与直线l平行的直线的参数方程为(t为参数)‎ 由 得 设P,Q两点分别对应的参数为 则 ‎∴‎ ‎【点睛】本题考查了极坐标，参数方程综合，考查了极坐标与直角坐标互化，参数方程的几何意义，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）解不等式;‎ ‎（2）若恒成立,求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将f(x)分段表示，分段求解不等式即可；‎ ‎（2）令,表示过定点的一条直线,数形结合即得解a的范围.‎ ‎【详解】（1）‎ 当时原不等式可化为,解得,解集为 当时,原不等式可化为,解得,解集为 当时,原不等式可化为,解得,解集为 综上所述,原不等式得解集为 ‎（2）令,表示过定点的一条直线,‎ 分别作出,的图象如下:‎ 由图象可知,‎ ‎∴a的取值范围是 ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解和恒成立问题，考查了学生综合分析，分类讨论，数形结合的能力，属于中档题.‎