2018-2019学年广东省深圳市高级中学高一下学期期中考试数学试题（解析版） 15页

‎2018-2019学年广东省深圳市高级中学高一下学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知，且，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由集合确定a值，然后取交集即可.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，且；‎ ‎∴；‎ ‎∴．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的交集并集的运算，属于简单题.‎ ‎2．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性和奇偶性对选项逐个进行判断即可.‎ ‎【详解】‎ 解：由题意，可知：‎ 对于A：很明显是偶函数，所以排除A；‎ 对于B：在其定义域内是减函数，所以排除B；‎ 对于C：不是奇函数，所以排除C；‎ 对于D：，由幂函数的性质可知是增函数，‎ ‎∵，∴是奇函数．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本初等函数的奇偶性和单调性的判断，属于基础题.‎ ‎3．是第三象限角，且，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据和角的范围求得，然后由可得答案.‎ ‎【详解】‎ 因为是第三象限角，且，‎ 所以，‎ 所以．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同角三角函数的平方关系和商数关系，易错点是忽略角的范围造成函数值符号错误.‎ ‎4．已知向量的夹角为60°，且，，则（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由向量的模长公式和数量积公式求解即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 根据已知条件，；‎ ‎∴．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的模以及向量数量积的运算法则，向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.‎ ‎5．中，角所对的边分别为，已知，，‎ ‎，则（　　）‎ A．45°或135° B．135° C．45° D．以上都不对 ‎【答案】C ‎【解析】由的度数求出的值，再利用正弦定理求出的值，由小于，得到小于，即可求出的度数．‎ ‎【详解】‎ 解：∵，，‎ ‎∴由正弦定理得：，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 则．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题。‎ ‎6．在中插入个数，使它们和组成等差数列，则（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据等差数列的性质，利用倒序相加法求得所求表达式的值.‎ ‎【详解】‎ 令，倒过来写，两式相加得，故，所以，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查等差数列的性质，即，考查倒序相加法，属于基础题.‎ ‎7．7．7．若则一定有（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题主要考查不等关系。已知,所以，所以，故。故选 ‎8．在等比数列中，若，前四项的和，则（　　）‎ A．1 B．﹣1 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用等比数列的基本量表示出已知条件可得到首项和公比，然后利用通项公式可得答案.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，设等比数列的公比为，‎ 若，即，‎ 若其前四项的和，则有，解可得，‎ 又由，则，‎ 则；‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎9．已知函数在上是增函数，则的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】若函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则x2‎ ‎﹣ax+3a＞0且f（2）＞0，根据二次函数的单调性，我们可得到关于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 若函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，‎ 则当x∈[2，+∞）时，‎ x2﹣ax+3a＞0且函数f（x）=x2﹣ax+3a为增函数 即，f（2）=4+a＞0‎ 解得﹣4＜a≤4‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调区间，其中根据复合函数的单调性，构造关于a的不等式，是解答本题的关键．‎ ‎10．圆锥的高和底面半径之比，且圆锥的体积，则圆锥的表面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据圆锥的体积求出底面圆的半径和高,求出母线长，即可计算圆锥的表面积．‎ ‎【详解】‎ 圆锥的高和底面半径之比，‎ ‎∴，‎ 又圆锥的体积，‎ 即，‎ 解得；‎ ‎∴，‎ 母线长为，‎ 则圆锥的表面积为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆锥的体积和表面积公式，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎11．函数的图象大致为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由函数的解析式 ，当时,是函数的一个零点,属于排除A,B,‎ 当x∈(0,1)时，cosx>0，,函数f(x) <0，函数的图象在x轴下方，排除D.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．‎ ‎12．设，则的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用1的代换化成，然后展开利用基本不等式求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴（当且仅当时取等号），‎ ‎∴，‎ 故当时，的最小值为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式的应用，考查“1”的代换和计算能力，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．在等比数列中，，，则 _____．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由等比数列的性质可得，结合通项公式可得公比q,从而可得首项.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，等比数列中，其公比为，‎ ‎，则，‎ 解可得，‎ 又由，则有，则，‎ 则；‎ 故答案为：1．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的通项公式以及等比数列性质（其中m+n=p+q）的应用，也可以利用等比数列的基本量来解决.‎ ‎14．已知，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分子分母同时除以，把目标式转为的表达式，代入可求.‎ ‎【详解】‎ ‎，则 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的化简求值，常用方法：(1)弦切互化法:主要利用公式, 形如等类型可进行弦化切；（2）“1”的灵活代换和的关系进行变形、转化.‎ ‎15．如图，正方体的棱长为1，为中点，连接，则异面直线和所成角的余弦值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】连接CD1，CM，由四边形A1BCD1为平行四边形得A1B∥CD1，即∠CD1M为异面直线A1B和D1M所成角，再由已知求△CD1M的三边长，由余弦定理求解即可．‎ ‎【详解】‎ 如图，‎ 连接，由，可得四边形为平行四边形，‎ 则，∴为异面直线和所成角，‎ 由正方体的棱长为1，为中点，‎ 得，．‎ 在中，由余弦定理可得，．‎ ‎∴异面直线和所成角的余弦值为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查异面直线所成角的求法，异面直线所成的角常用方法有：将异面直线平移到同一平面中去，达到立体几何平面化的目的；或者建立坐标系，通过求直线的方向向量得到直线夹角或其补角.‎ ‎16．在中，角所对的边分别是，是的中点，，，面积的最大值为_____．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】试题分析：在△ABM和△ABC中分别使用余弦定理得出bc的关系，求出cosA，sinA，代入面积公式求出最大值．‎ 解：在△ABM中，由余弦定理得：‎ cosB==．‎ 在△ABC中，由余弦定理得：‎ cosB==．‎ ‎∴=．‎ 即b2+c2=4bc﹣8．‎ ‎∵cosA==，∴sinA==．‎ ‎∴S=sinA=bc=．‎ ‎∴当bc=8时，S取得最大值2．‎ 故答案为2．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ 三、解答题 ‎17．已知，，求及．‎ ‎【答案】，．‎ ‎【解析】先求得集合A和B,然后对集合A和集合B取交集和并集即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，；‎ ‎∴，．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的交集和并集运算，属于简单题.‎ ‎18．已知在中，角的对边分别为，．‎ ‎（1）求角的值；‎ ‎（2）若，求．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式化简即可得到角C；（2）由余弦定理可得，再由正弦定理得sinA，由同角三角函数关系式即可得到tanA.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），由正弦定理可得,‎ ‎，是三角形内角，．‎ ‎（2）根据余弦定理 根据正弦定理，‎ 所以 所以．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查两角和差公式和同角三角函数关系式的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎19．北京某附属中学为了改善学生的住宿条件，决定在学校附近修建学生宿舍，学校总务办公室用1000万元从政府购得一块廉价土地，该土地可以建造每层1000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高0.02万元，已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为0.8万元．‎ ‎（1）若学生宿舍建筑为层楼时，该楼房综合费用为万元，综合费用是建筑费用与购地费用之和），写出的表达式；‎ ‎（2）为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，学校应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少万元？‎ ‎【答案】（1）；（2）学校应把楼层建成层，此时平均综合费用为每平方米万元 ‎【解析】由已知求出第层楼房每平方米建筑费用为万元，得到第层楼房建筑费用，由楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高万元，然后利用等差数列前项和求建筑层楼时的综合费用；‎ 设楼房每平方米的平均综合费用为，则，然后利用基本不等式求最值．‎ ‎【详解】‎ 解：由建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为万元，‎ 且楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高万元，‎ 可得建筑第1层楼房每平方米建筑费用为：万元．‎ 建筑第1层楼房建筑费用为：万元．‎ 楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高：万元．‎ 建筑第x层楼时，该楼房综合费用为：．‎ ‎；‎ 设该楼房每平方米的平均综合费用为，‎ 则：，‎ 当且仅当，即时，上式等号成立．‎ 学校应把楼层建成10层，此时平均综合费用为每平方米万元．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查简单的数学建模思想方法，训练了等差数列前n项和的求法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．‎ ‎20．已知．‎ ‎（1）求函数的最小正周期和对称轴方程；‎ ‎（2）若，求的值域．‎ ‎【答案】（1）对称轴为，最小正周期；（2）‎ ‎【解析】(1)利用正余弦的二倍角公式和辅助角公式将函数解析式进行化简得到，由周期公式和对称轴公式可得答案；(2)由x的范围得到，由正弦函数的性质即可得到值域.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 令，则 的对称轴为，最小正周期；‎ ‎（2）当时，，‎ 因为在单调递增，在单调递减，‎ 在取最大值，在取最小值，‎ 所以，‎ 所以．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦函数图像的性质，考查周期性，对称性，函数值域的求法，考查二倍角公式以及辅助角公式的应用，属于基础题.‎ ‎21．已知等比数列的前项和为，公比，，．‎ ‎（1）求等比数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求的前项和．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）将已知两式作差，利用等比数列的通项公式，可得公比，由等比数列的求和可得首项，进而得到所求通项公式；（2）求得bn＝n，，由裂项相消求和可得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）等比数列的前项和为，公比，①，‎ ‎②．‎ ‎②﹣①，得，则，‎ 又，所以，‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 所以；‎ ‎（2），‎ 所以前项和．‎ ‎【点睛】‎ 裂项相消法适用于形如(其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和，还有一类隔一项的裂项求和，如或.‎ ‎22．已知函数的图象上有两点，．函数满足，且．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）能否保证和中至少有一个为正数？请证明你的结论．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析（3）能 ‎【解析】（1）由f（1）＝0，且a＞b＞c，可判断a＞0，c＜0且b＝﹣a﹣c，所以a＞﹣a﹣c＞c，从而可证明；（2）由题可知f（m1）＝﹣a或f（m2）＝﹣a，即m1或m2是方程f（x）＝﹣a的一个实根，即ax2+bx+c+a＝0有根，结合二次方程的实根存在条件即可证；（3）由f（x）＝0的两根中，其中一根为1，另一根为，结合二次方程的根的存在及二次函数的单调性可证．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：，且，所以，‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ ‎（2）因为．‎ 所以或，即或是方程的一个实根，‎ 即有根，‎ 所以，‎ 因为，所以，‎ 即，即，因为，所以 ‎（3）设的两根为，显然其中一根为1，另一根为 设，‎ 若，则 所以，所以 又函数在上是增函数，所以．‎ 同理当时，‎ 所以中至少有一个是正数．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二次方程的根的存在及二次不等式的求解，二次函数性质的综合应用，属于中档题.‎