福建省厦门市湖滨中学2019-2020学年高一下学期测试（一）数学试题 7页

高一数学第二学期数学单元测试（一）‎ ‎1.cos‎2‎‎⁡75°＋cos‎2‎⁡15°＋cos⁡75°·cos⁡15°‎的值是(　   )‎ A.‎‎5‎‎4‎ B.‎‎6‎‎2‎ C.‎‎3‎‎2‎ D.‎‎1+‎‎2‎‎3‎ ‎2.sin‎2‎‎⁡‎35‎‎∘‎−‎‎1‎‎2‎sin‎20‎‎∘‎‎=‎（  ）‎ A.‎‎1‎‎2‎ B.‎‎−‎‎1‎‎2‎ C.－1  ‎ D.1‎ ‎3.若sin⁡α+cos⁡αsin⁡α−cos⁡α‎=‎‎1‎‎2‎，则tan2α＝(　  　)‎ A.‎‎−‎‎3‎‎4‎ B.‎‎3‎‎4‎ C.‎‎−‎‎4‎‎3‎ D.‎‎4‎‎3‎ ‎4.在△ABC中，A＝π‎3‎，BC＝3，AB＝‎6‎，则C＝(　　)‎ A.π‎4‎或‎3π‎4‎ B.‎‎3π‎4‎ C.‎π‎4‎ D.‎π‎6‎ ‎5.已知A、B、是ΔABC的三内角，且sin⁡A=2sin⁡Bcos⁡C，则此三角形的形状为（    ）‎ A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 ‎6.不等式x‎2‎‎+6‎x‎≤5‎的解集是（    ）‎ A.‎‎[2,3]‎ B.‎‎(−∞,−1]∪[6,+∞)‎ C.‎‎(−∞,0)∪[2,3]‎ D.‎‎(0,2)∪(3,+∞)‎ ‎7.已知a＞0，b＞0，则‎1‎a＋‎1‎b＋2ab的最小值是（  ）‎ A.2 ‎ B.2‎2‎ ‎ C.4 ‎ D.5‎ ‎8.在‎△‎ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，如果2b＝a＋c，B＝30‎∘‎，‎△‎ABC的面积为‎3‎‎2‎，那么b等于(　　)‎ A.1＋32 ‎ B.1＋‎‎3‎ C.‎2‎‎2‎‎2‎ ‎ D.2‎‎3‎ ‎9-10.填空题 ‎(1)设α∈(π‎16‎,π‎8‎)‎，sin⁡8α=‎‎3‎‎5‎，则cos⁡4α=‎_______.‎ ‎(2)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝________.‎ ‎11.已知‎△‎ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cos B＝‎3‎‎5‎.‎ ‎(1)若b＝4，求sin A的值；‎ ‎(2)若‎△‎ABC的面积S‎△‎ABC＝4，求b，c的值．‎ ‎12.已知函数f(x)=‎‎(sin⁡x−cos⁡x)sin⁡2xsinx.‎ ‎(1)求f(x)的定义域及最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)的单调递增区间．‎ 参考答案 ‎1.【能力值】无 ‎【知识点】(1)二倍角公式 ‎【详解】(1)原式‎=sin‎2‎⁡‎15‎‎∘‎+cos‎2‎⁡‎15‎‎∘‎+sin⁡‎15‎‎∘‎cos⁡‎15‎‎∘‎=1+‎1‎‎2‎sin⁡‎30‎‎∘‎=‎‎5‎‎4‎.‎ ‎【答案】(1)A ‎2.【能力值】无 ‎【知识点】(1)二倍角公式 ‎【详解】(1)原式‎=‎1−cos⁡‎‎70‎‎∘‎‎2‎‎−‎‎1‎‎2‎sin‎20‎‎∘‎=‎−‎1‎‎2‎cos⁡‎‎70‎‎∘‎sin‎20‎‎∘‎=−‎‎1‎‎2‎.‎ ‎【答案】(1)B ‎3.【能力值】无 ‎【知识点】(1)二倍角公式 ‎【详解】(1)本题考查三角恒等变换，“弦”化“切”．由sin⁡α+cos⁡αsin⁡α−cos⁡α‎=‎‎1‎‎2‎得tan⁡α+1‎tan⁡α−1‎‎=‎‎1‎‎2‎即2tanα＋2＝tanα－1，‎ ‎∴tanα＝－3，‎∴tan⁡2α=‎2tan⁡α‎1−tan⁡2α=‎2×(−3)‎‎1−(−3‎‎)‎‎2‎=‎−6‎‎−8‎=‎‎3‎‎4‎，“弦”化“切”，“切”化“弦”都体现了转化与化归思想．‎ ‎【答案】(1)B ‎4.【能力值】无 ‎【知识点】(1)正弦定理 ‎【详解】(1)由BCsinA‎=‎ABsinC，得sin⁡C=‎‎2‎‎2‎.‎ ‎∵BC＝3，AB＝‎6‎，∴A>C，则C为锐角，故C＝π‎4‎.‎ ‎【答案】(1)C ‎5.【能力值】无 ‎【知识点】(1)判断三角形的形状 ‎【详解】(1)‎∵2sin⁡Bcos⁡C=sin⁡A=sin⁡[π−(B+C)]=sin⁡(B+C)=sin⁡Bcos⁡C+cos⁡Bsin⁡C，‎ ‎∴sin⁡Bcos⁡C−cos⁡Bsin⁡C=0‎‎，即sin⁡(B−C)=0‎，‎ ‎00‎时，不等式x‎2‎‎+6‎x‎≤5‎可化为x‎2‎‎−5x+6≤0‎，解得‎2≤x≤3‎；‎ 当x<0‎时，不等式x‎2‎‎+6‎x‎≤5‎可化为x‎2‎‎−5x+6≥0‎，此时，解得x<0‎.‎ 所以原不等式的解集为‎(−∞,0)∪[2,3]‎.‎ 故选：C.‎ ‎【答案】(1)C ‎7.【能力值】无 ‎【知识点】(1)均值不等式的应用 ‎【详解】(1)‎1‎a‎+‎1‎b+2ab⩾2‎1‎a‎⋅‎‎1‎b+2ab=‎2‎ab+2ab⩾2‎2‎ab‎⋅2‎ab=4‎，‎ 当且仅当‎{‎‎1‎a‎=‎‎1‎b‎2‎ab‎=2‎ab即a＝b＝1时取等号，故选C.‎ ‎【答案】(1)C ‎8.【能力值】无 ‎【知识点】(1)余弦定理、三角形的面积公式 ‎【详解】(1)∵S△ABC=‎1‎‎2‎acsinB，∴ac＝6.‎ 又∵‎b‎2‎‎＝a‎2‎＋c‎2‎－2accosB ‎＝(a＋c‎)‎‎2‎－2ac－2ac·cos30°＝4b‎2‎－12－6‎‎3‎‎，‎ ‎∴b‎2‎‎＝4＋2‎3‎，∴b＝1＋‎‎3‎.‎ ‎【答案】(1)B ‎9.【能力值】无 ‎【知识点】(1)二倍角公式 ‎(2)余弦定理 ‎【详解】(1)因为α∈(π‎16‎,π‎8‎)‎，所以‎4α∈(π‎4‎,π‎2‎)‎，‎8α∈(π‎2‎,π)‎，‎ 所以cos⁡4α>0‎，cos⁡8α<0‎，‎ 又因为sin⁡8α=‎‎3‎‎5‎，所以cos⁡8α=−‎‎4‎‎5‎，‎ 结合cos⁡8α=2cos‎2‎4α−1‎，解得cos⁡4α=‎‎10‎‎10‎,‎ 故答案为：‎10‎‎10‎.‎ ‎(2)由3sin A＝5sin B，得3a＝5b.‎ 又因为b＋c＝2a，‎ 所以a=‎5‎‎3b,c=‎7‎‎3‎b，‎ 所以cos⁡C=a‎2‎‎+b‎2‎−‎c‎2‎‎2ab=‎(‎5‎‎3‎b)‎‎2‎‎+b‎2‎−‎‎(‎7‎‎3‎b)‎‎2‎‎2×‎5‎‎3‎b×b=−‎‎1‎‎2‎.因为C∈(0，π)，所以C=‎‎2π‎3‎.‎ ‎【答案】(1)‎‎10‎‎10‎ ‎(2)‎‎2π‎3‎ ‎10.【能力值】无 ‎【知识点】(1)二倍角公式、正弦定理 ‎(2)余弦定理、三角形的面积公式 ‎【详解】(1)‎∵‎cos B＝‎3‎‎5‎‎>‎0，且0‎<‎B‎<π，‎ ‎∴sin⁡B=‎1−cos⁡2B=‎‎4‎‎5‎‎.（3分）‎ 由正弦定理得asinA＝bsinB，‎ sin⁡A=asinBb=‎2×‎‎4‎‎5‎‎4‎=‎‎2‎‎5‎‎.（4分）‎ ‎(2)‎∵‎S‎△‎ABC＝‎1‎‎2‎acsin B＝4，（2分）‎ ‎∴‎‎12‎×‎2‎×‎c‎×‎‎4‎‎5‎＝4，‎∴‎c＝5.（2分）‎ 由余弦定理得b‎2‎‎＝a‎2‎＋c‎2‎－2accosB＝‎2‎‎2‎＋‎5‎‎2‎－2×2×5×‎3‎‎5‎＝17‎，（2分）‎∴‎b＝‎17‎.（2分）‎ ‎【答案】(1)‎‎2‎‎5‎ ‎(2)‎‎17‎ ‎11.【能力值】无 ‎【知识点】(1)Asin(ωx+ψ)形式函数的性质 ‎(2)Asin(ωx+ψ)形式函数的性质 ‎【详解】(1)由sinx‎≠‎0得x‎≠‎kπ(k‎∈‎Z)，故f(x)的定义域为{x‎|‎x‎∈‎R且x‎≠‎kπ，k‎∈‎Z}．（2分）‎ ‎∴‎f(x)＝‎‎(sin⁡x−cos⁡x)sin⁡2xsinx ‎＝2cosx(sinx－cosx)＝sin2x－cos2x－1‎ ‎＝‎2‎sin(2x－π‎4‎)－1，（4分）‎∴‎f(x)的最小正周期T＝‎2π‎2‎＝π.（1分）‎ ‎(2)函数y＝sinx的单调递增区间为[2kπ－π‎2‎，2kπ＋π‎2‎](k‎∈‎Z)．‎ 由2kπ－π‎2‎‎≤‎2x－π‎4‎‎≤‎2kπ＋π‎2‎，x‎≠‎kπ(k‎∈‎Z)，（2分）‎ 得kπ－π‎8‎‎≤‎x‎≤‎kπ＋‎3π‎8‎，(2分）x‎≠‎kπ(k‎∈‎Z)．（2分）‎ ‎∴‎f(x)的单调递增区间为[kπ－π‎8‎，kπ)或(kπ，kπ＋‎3π‎8‎](k‎∈‎Z).（2分）‎ ‎【答案】(1)‎π ‎(2)[kπ－π‎8‎，kπ)或(kπ，kπ＋‎3π‎8‎](k‎∈‎Z)‎