2021届课标版高考理科数学大一轮复习课件：7-2　二元一次不等式（组）与简单的线性规划（讲解部分） 14页

7.2 　二元一次不等式 ( 组 ) 与简单的线性规划 高考理数 考点    简单的线性规划 考点清单 考向基础 一、平面区域问题 1.在平面直角坐标系中,平面内所有的点被直线 Ax + By + C =0( A 、 B 不同时为 0)分成三类:(1)坐标满足 Ax + By + C =0的点;(2)坐标满足 Ax + By + C >0的点; (3)坐标满足 Ax + By + C <0的点. 2.在平面直角坐标系中, Ax + By + C >0(或 Ax + By + C <0)表示直线 Ax + By + C =0 某一侧的所有点组成的 平面区域 ,且不含边界,作图时边界应画成 虚线 ;在 平面直角坐标系中,画 Ax + By + C ≥ 0(或 Ax + By + C ≤ 0)表示的平面区域时,边 界应画成 实线 . 3. 由于将直线 Ax + By + C =0 同一侧的所有点 ( x , y ) 代入 Ax + By + C 所得到的实数 的符号相同 , 所以只需在此直线的某一侧任取一特殊点 ( x 0 , y 0 ), 由 Ax 0 + By 0 + C 的符号即可判断不等式 Ax + By + C >0( 或 Ax + By + C <0) 所表示的平面区域在 直线的哪一侧. 4.二元一次不等式组表示的平面区域 二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集, 即各个不等式表示的平面区域的 公共部分 . 画二元一次不等式(组)表示的平面区域的一般步骤: 直线定界,虚实分明;特 殊点定域,优选原点;阴影表示 . 注意不等式中有无等号,无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实线, 特殊点一般选一个,当直线不过原点时,优先选原点. 二、线性规划问题 1.简单的线性规划问题的有关概念 名称 意义 约束条件 由变量 x , y 组成的不等式(组) 线性约束条件 由变量 x , y 组成的 一次 不等式(组) 目标函数 关于 x , y 的函数解析式 线性目标函数 关于 x , y 的 一次函数 解析式 可行解 满足约束条件的解( x , y ) 可行域 所有 可行解 组成的集合 最优解 使目标函数取得 最大值或最小值 的可行解 线性规划问题 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题 说明　如果目标函数存在一个最优解,那么最优解通常在可行域的顶点处 取得;如果目标函数存在多个最优解,那么最优解一般在可行域的边界上取 得. 2.对线性目标函数 z = Ax + By 中的 B 的符号 一定要注意,当 B >0 时,直线 z = Ax + By 过可行域且在 y 轴上 截距最大 时, z 值最大 ,在 y 轴上截距 最小 时, z 值 最小 ; 当 B <0 时,直线 z = Ax + By 过可行域且在 y 轴上截距 最大 时, z 值 最小 ;在 y 轴上截 距 最小 时, z 值 最大 . 考向突破 考向一    平面区域问题 例1     (2018江西南昌二模,7)若 A 为不等式组   表示的平面区域,则 a 从 -2连续变化到1时,动直线 x + y = a 扫过 A 中的那部分区域的面积为   (　　) A.9   　　　　    B.3   　　　　    C.   　　　　    D.   解析 　如图,不等式组表示的平面区域是△ BOC 及其内部,当 a 从-2连续变 化到1时,动直线 x + y = a 扫过 A 中的那部分区域为图中的四边形 BODE ,其面 积为 S △ BOC - S △ DEC =   × 2 × 2-   × 1 ×   =   .   答案     D 考向二    线性目标函数的最值问题 例2     (2018课标Ⅱ,14,5分)若 x , y 满足约束条件   则 z = x + y 的最大 值为 　　　     . 解析 　由线性约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示). 当直线 x + y - z =0经过点 A (5,4)时, z = x + y 取得最大值,最大值为9. 答案 　9 考向三    非线性目标函数的最值问题 例3     (2019陕西模拟,9)若变量 x , y 满足约束条件   则   的最大值是   (　　) A.-   　　　　    B.-   　　　　    C.-2　　　　    D.-   解析　 由约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示).     的几何意义是可行域内的点( x , y )与坐标原点的连线的斜率,由图可知点 A (-2,1)与坐标原点(0,0)的连线的斜率最大,即   =   =-   . 答案     B 方法      目标函数最值(范围)问题的求解方法 1.求目标函数的最值的方法:图解法(数形结合法); 2.求目标函数的最值的步骤:①画出可行域;②根据目标函数的几何意义确 定最优解对应的点;③求出最优解所对应的点的坐标,并代入目标函数,进 而确定目标函数的最值. 3.有关非线性目标函数的问题的解决思路:将非线性目标函数进行转化变 形,直到可以看出其所表示的几何意义为止,从而利用几何意义解题. 4.常见的目标函数: (1)截距型:形如 z = ax + by ,可以转化为 y =-   x +   ,利用直线在 y 轴上的截距大 小确定目标函数的最值; 方法技巧 (2) 点与点的距离型 : 形如 z =( x - a ) 2 +( y - b ) 2 , 表示区域内的动点 ( x , y ) 与定点 ( a , b ) 的距离的平方 ; (3)斜率型:形如 z =   ,表示区域内的动点( x , y )与定点( a , b )连线的斜率; (4)点到直线的距离型:形如 z =| Ax + By + C |,表示区域内的动点( x , y )到直线 Ax + By + C =0的距离的   倍. 5.对于目标函数中含参数问题,解题时一般需要对参数进行分类讨论,利用 数形结合的方法求解. 例     (2017课标Ⅰ,14,5分)设 x , y 满足约束条件   则 z =3 x -2 y 的最小值 为 　　　     . 解题导引   解析　 由约束条件作出可行域,如图中阴影部分所示(含边界).   平移直线3 x -2 y =0可知,目标函数 z =3 x -2 y 在 A 点处取最小值,又由   解得   即 A (-1,1),所以 z min =3 × (-1)-2 × 1=-5. 答案 　-5